Построение математических моделей загрузки оборудования

Первая модель позволяет распределить детали по технологическим маршрутам при минимуме общего времени штамповки деталей на всех прессах. Ограничения по плану производства деталей – ресурсу прессового оборудования:

, (11.12)

(11.13)

Специальные ограничения ;

Целевая функция – минимум общего времени загрузки прессов:

, (11.14)

где i – индекс штампуемой детали, ;

j – индекс пресса, ;

k – индекс варианта технологического процесса;

X_ik – переменная величина, определяющая количество i-ых деталей, изготовленных в соответствии с k-ым технологическим маршрутом;

a_ijk – нормативные затраты времени на штамповку i-ой детали на j-ом прессе по k-ому технологическому маршруту;

A_j – ресурс времени по j-ому прессу;

B_i – план выпуска i-ой детали;

Z_i – суммарное время на штамповку деталей для каждого типа пресса;

Z_j – суммарное время на обработку детали на j-прессе;

M – количество наименований деталей;

L – количество маршрутов обработки;

N – количество прессов.

Результатом решения задачи является максимальная загрузка наиболее экономичных (с точки зрения трудозатрат, затрат энергии и др.) прессов и возможная недогрузка тихоходных (гидравлических) прессов, что потребует привлечения дополнительной штампуемой номенклатуры изделий по кооперации.

Вторая модель предусматривает равномерную загрузку всех прессов, установленных на участке. Ограничения по плану производства деталей и ресурсам оборудования:

, (11.15)

, (11.16)

целевая функция – минимум среднего времени загрузки прессов:

(11.17)

В соответствии со второй моделью загружаются все прессы равномерно. Поэтому общее время работы всех прессов будет несколько большим, чем по первой модели.

С помощью описанных методик составляются карты основного технологического маршрута и несколько возможных альтернативных маршрутов для деталей с многопереходной технологией, выполняемой последовательно на нескольких единицах оборудования.

Вопросы для самоподготовки:

1. Как выполняется постановка задачи оптимизации при проектировании технологических процессов с помощью ЭВМ?

2. На чем основана оптимизация процесса штамповки?

3. Какие задачи решает оптимизация загрузки кузнечно-штамповочного оборудования?

ЧАСТЬ 2

проектирование механизмов и машин на основе методов математического моделирования

Лекция №12

Современные подходы к проектированию. Формализация процедур проектирования кузнечно-штамповочных машин

Теоретические вопросы:

12.1. Современные подходы к проектированию

12.2. Формализация проектных процедур

12.1. Современные подходы к проектированию

При проектировании с применением методов математического моделирования используют системный подход.

Суть системного подхода при проектировании сводится к создании части с учетом целого. При этом, как правило, выделяют следующие принципы системного подхода:

1. иерархичность. Каждая система или элемент может рассматриваться как отдельная система;

2. структурность. Состоит в возможности описания системы через описание коммутационных связей между ее элементами;

3. взаимозависимость. Заключается в проявлении свойств системы только при взаимодействии с внешней средой;

4. множественность описания. Заключается в описании системы на основе множества взаимодействующих математических моделей;

5. целостность. Свойства всей системы определяются на основе анализа свойств ее частей.

Постепенно с учетом требований современной экономики сформировались следующие этапы системного подхода (см. табл. 5).

Таблица 5

Системный подход к проектированию
Маркетинговые исследования	Прогнозирование потребностей
	Прогнозирование возможностей
	Разработка ТТТ
Уяснение задачи	Ранжирование ТТТ
	Изучение аналогов
	Формулирование противоречий
Составление списка альтернатив	Выбор физических эффектов
	Выбор носителей
	Построение структур
Оптимизация альтернатив	Абстрактное моделирование
	Идентификация
	Физическое моделирование
Разработка технической документации

Процедура поиска технических решений заключается в составлении функционального и структурного описания объекта проектирования. Функциональное описание строится на основе концептуального. В зависимости от того, на что направлено проектирование – на улучшение существующей конструкции, создание новой или обеспечение определенного состояния того или иного процесса, выбирается метод выполнения всей процедуры. Для автоматизированного поиска средств улучшения конструкции наиболее целесообразен метод использования И-ИЛИ дерева. Техническое решение, как описание структуры технической системы, включает информацию о функциональных элементах (комплекты, сборочные единицы, детали), их взаимном расположении и взаимосвязи, а также об особенностях конструктивного исполнения, геометрической формы, основных признаках и параметрах. Функциональные элементы представляют собой конечное множество деталей, узлов, комплектов, предназначенное для выполнения определенной функции, входящей в функциональное описание. Функциональным элементом может быть и отдельная деталь, и машина в целом. Все зависит от функции. В описание функционального элемента должны входить функция и признаки. Например, такой функциональный элемент механического пресса, как главный двигатель, должен быть представлен, во-первых, сообщением о том, для привода каких подсистем машины он предназначен, а, во-вторых, о его основных признаках. Для представления свойств элементов и их взаимосвязей используются обыкновенные дифференциальные уравнения. Форма их с точностью до обозначения физических величин оказывается одинаковой для элементов с различной физической природой. Так, для механических систем с поступательным движением в механических прессах основными элементами являются: масса (отображение свойства инерционности), гибкость (свойство упругости), механическое сопротивление (потеря механической энергии на трение). Фазовые переменные: сила и скорость либо сила и перемещение.

Компонентные уравнения для массы и гибкости (пружина, стержень) соответственно:

, (12.1)

где m – масса элементарного участка; F – сила; U – скорость; P – механическое напряжение, действующее в продольном направлении; E_ю – модуль упругости (модуль Юнга); l – размер элемента в продольном направлении; l – изменение размера под воздействием напряжения. Для механических упругих систем в качестве элементов выбирается гибкость участков сплошной среды, а фазовых переменных – силу и скорость или силу и перемещение. Топологические уравнения выражают условие равновесия:

(12.2)

и условие совместимости деформаций, означающее равенство нулю суммарной деформации элементов вдоль любого замкнутого контура.

Компонентные уравнения отражают относительную деформацию, например, при продольной деформации стержня

, (12.3)

где l – продольный размер элемента (вдоль оси x); l – изменение продольного размера; - коэффициент Пуассона; d – поперечный размер элемента; d – изменение поперечного размера; P_x, P_y, P_z – напряжения вдоль координатных осей.

Для механических вращательных систем элементами являются: моменты инерции относительно осей вращения (l), вращательная гибкость (L_вр) и вращательное сопротивление (R_вр). Фазовые переменные: вращательный момент (M) и угловая скорость ( Топологические уравнения по аналогии с поступательным движением выражаются в следующем виде:

; . (12.4)

Компонентные уравнения:

; (12.5)

(12.6)

, (12.7)

где ₁, ₂ – угловые скорости концов элементарного участка.

Переходя к этапу проектирования, названному принятием решения, конструктор располагает некоторыми вариантами технического решения. На данном этапе ему необходимо выбрать лучший из них. Руководствуясь основным принципом проектирования, эта процедура отвечает отображению множества вариантов технического решения на множество оценок и выбор оптимального из них:

. (12.8)

Выполнить процедуру принятия решений было бы просто, если бы все варианты можно было бы измерить по одной шкале. Однако в действительности каждый вариант характеризуется многими измерениями. Кроме того, не всегда можно воспользоваться абсолютной шкалой. Варианты технического решения представлены пока лишь принципиальной (структурной) схемой, и дать количественную даже таким свойствам объекта как масса, производительность, стоимость – сложно. Еще сложнее обстоит дело с оценкой надежности, эргономичности, эстетичности.

Общая постановка решаемой задачи будет выглядеть следующим образом:

1. каждый вариант технического решения характеризуется некоторыми параметрами .

2. оценку вариантов производят по совокупности критериев: ;

3. в качестве критериев выбираются признаки, отвечающие наиболее важным целям проектирования.

Процедура анализа принятия решения на этапе разработки технических предложений проводится в целях получения необходимой информации об объекте проектирования.

К моменту выполнения процедуры составлено лишь структурное описание.

В ходе анализа проверяются работоспособность объекта, особенности его взаимодействия с факторами окружения, взаимосвязи составляющих подсистем и элементов. Зависимость между техническими параметрами КШМ и их стоимостью теоретически установить весьма затруднительно. Однако можно использовать предшествующий опыт создания КШМ, собрав и обработав статистику. На базе этих данных принципиально возможно методами факторного и регрессивного анализа построить приближенные аналитические зависимости от значений составляющих вектора внешних параметров. В данном случае предлагается использовать функцию Кобба-Дугласа, имеющую следующий вид:

, (12.9)

где  – величина, характеризующая стоимость изделия; k – константа; x_j – j-я составляющая вектора внешних параметров X; _j некоторая константа, характеризующая вес затрат для достижения заданного значения j-й составляющей вектора качества; m – число внешних параметров.

12.2. Формализация проектных процедур

Процесс проектирования может быть выражен как переход от одного описания объекта к другому следующим образом

, (12.10)

где O_O – означает процесс проектирования;

- описание объекта проектирования на разных этапах его разработки.

Описание объекта проектирования, определяющее достигаемые с его созданием и использованием цели, назовем целевым:

. (12.11)

Описание объекта проектирования, дающее представление об идее его технического решения, назовем концептуальным. Математические модели объекта при таком описании включают множество целей и множество признаков, характеризующих объект в целом на всех этапах его жизненного цикла:

. (12.12)

Описание, дающее представление о функционировании объекта, назовем функциональным. Математические модели, относящиеся к этому описанию, содержат множество признаков, определяющих взаимодействие системы со средой P_C, и правило упорядочения смены состояний H

. (12.13)

Математические модели, относящиеся к структурному описанию системы, включают следующие множества: элементов, составляющих систему Е; признаков, характеризующих элементы на всех этапах жизненного цикла P_связей между всеми элементами Q, т.е.

. (12.14)

Динамическое описание включает математические модели, построенные на множестве признаков, определяющие взаимодействие со средой P_C, множестве элементов времени Т и математических схемах, описывающих отношения между признаками элементов и признаками системы:

. (12.15)

Описание, определяющее параметры объекта, назовем параметрическим. В его состав входит множество параметров:

. (12.16)

В автоматизированном проектировании специфика выполняемых процедур проявляется прежде всего в математических моделях объекта проектирования (МОП), зависящих от предметной области. МОП может быть представлена как математическими соотношениями, так и графически в виде графов или эквивалентных схем.

Наглядное представление о структуре объекта проектирования ОП и взаимосвязи его элементов дает изображение в виде орграфа, на котором вершины обозначают элементы, а дуги – их взаимосвязи, характеризуемые фазовыми переменными. Представление ОП в виде конечного множества элементов означает дискретную модель.

Если же структурирование не производится и процессы рассматриваются протекающими в сплошной среде, то модель будет относиться к распределенным. Общая модель ОП, полученная объединением моделей его элементов, называется полной моделью.

По характеру переменных различают фазовые и факторные модели. Первые из них используют фазовые переменные. Если же, кроме того, фазовые переменные рассматриваются в функции времени, то фазовые модели получают название имитационных. Факторные модели оперируют с векторами параметров.

Если искомые переменные в модели явно выражены через известные величины, то она носит название аналитической; если же для выражения значений искомых переменных необходимо решать систему уравнений, то модель называется алгоритмической.

Все методы построения моделей объекта проектирования разделены на две группы. Первая из них предназначена для построения моделей элементов и всего объекта и предполагает использование неформальных (эвристических) приемов для выбора математических соотношений.

Вопросы для самоподготовки:

1. Охарактеризуйте современные подходы к проектированию?

2. В чем заключается процедура поиска технических решений?

3. Приведите основные положения формализации проектных процедур?