Лекция №16 Моделирование процессов разрушения деталей. Прочность и долговечность

Теоретические вопросы:

16.1. Основы механики разрушения

16.2. Исследования усталостного разрушения. Критерий Гриффитса

16.3. Испытания на вязкость разрушения

16.1. Основы механики разрушения

В общем случае процесс разрушения представляет собой такой процесс, при котором физическое тело делится на две или более части. Разрушения можно наблюдать в различных масштабах: от больших разрушений конструкций до очень малых, представляющих собой расхождение атомов. Механика разрушения имеет две стороны, одна из которых представляет собой анализ (расчет) напряжений, возникающих в элементе конструкции или детали с трещиной. Другой стороной являются экспериментальные исследования на вязкость разрушения (трещинностойкость). В области, где не удовлетворяется условие маломасштабной текучести, нельзя использовать коэффициент интенсивности напряжений. Для описания характеристик трещиностойкости при полномасштабной, или полной, текучести находят применение такие параметры, как J-интеграл и раскрытие в вершине трещины COD. Понятие J-интеграла было введено с целью исследования свойств концентрации деформаций, которые происходят в окрестности вершины трещины в материале, поведение которого носит нелинейных характер. Такие материалы рассматриваются с различных сторон. Большое внимание, в частности, уделяют упругопластическому поведению металлов при их разрушении. Обычно при описании такого поведения используют представленные в форме приращений зависимости напряжение-деформация. В общей постановке задач механики напряжений зависимости напряжения - деформация являются нелинейными. Поэтому наиболее удобным здесь является такой подход, при котором постепенно увеличивают нагрузку и на каждом шаге следят за получаемыми результатами. И наиболее полно процессы, происходящие в рассматриваемом случае, позволяет отследить на ЭВМ метод конечных элементов, основанный на применении определяющих уравнений в приращениях. Программы расчета и ввода-вывода данных, используемые в механике разрушений, предназначены для решения упругопластических задач и составляются таким образом, что позволяют используя лишь исходные данные, определить коэффициент интенсивности напряжений, J-интеграл и раскрытие трещины. Основные возможности программ перечислим ниже:

1. можно решать задачи, соответствующие плоскому напряженному состоянию и плоской деформации;

2. в программе использованы треугольные элементы с постоянной деформацией;

3. для решения системы линейных уравнений вся рассматриваемая область разбивается на элементы;

4. для упругопластических задач используют теорию течения, так и деформационную теорию. В качестве условия текучести применяется условие Мизеса;

5. упругопластические задачи решаются методом наращивания нагрузки.

Таким образом, изучение хрупкого разрушения связано с использованием закономерностей развития трещины при средних напряжениях ниже предела текучести. Одним из самых надежных подходов к оценке возможности хрупкого разрушения является такой подход, который основан на учете коэффициента интенсивности напряжений. Для реальных конструкций, содержащих трещины, получение аналитических решений связано со значительными математическими трудностями. Поэтому при расчетах коэффициента интенсивности напряжений становится необходимым использование численных методов, обладающих наименьшими ограничениями, является метод конечных элементов. Существующие методы расчета можно разделить на две большие группы, состоящие из расчетов, основанных на обычных и специальных сетках. В последнем случае применяются конечные элементы, среди которых есть один или несколько таких, структура которых учитывает трещину. И к основным методам вычисления коэффициента интенсивности напряжений можно отнести следующие: прямой метод, метод линейного интегрирования и метод податливости.

Прямой метод вычисления коэффициента интенсивности напряжений. Этот метод основывается на том факте, что распределение напряжений для упругого решения вблизи вершины трещины. Зная распределение напряжений вокруг вершины трещины, можно определить величину коэффициента интенсивности напряжений K. Наиболее важным вопросом при проведении расчетов данным методом является выбор размера элемента сетки. Ведь, как показывают проведенные многочисленные расчеты для определения коэффициента К данным методом необходима очень мелкая сетка элементов. И насколько малы должны же быть элементы? Каков должен быть характер изменения размера элемента по мере удаления от вершины трещины?

И в связи с этим был разработан такой подход при использовании рассматриваемого метода, при котором решение методом конечного элемента производится дважды. Вначале решение строится на грубой сетке элементов, а затем из рассматриваемого тела выделяется небольшая область вокруг вершины трещины, которая идеализируется более мелкими конечными элементами. Ее анализ проводится также, причем в качестве граничных условий берутся величины, найденные в первом решении.

Метод линейного интегрирования. Дж. Р. Райс показал, что в упругой области значение контурного интеграла определяется следующим образом:

, (16.1)

пропорционально квадрату коэффициента интенсивности напряжений. Здесь Г – произвольный контур, окружающий вершину трещины, W₀ – плотность энергии деформации; T, u – векторы нагрузки и перемещения соответственно.

Данные численных проверок показывают, что этот метод обеспечивает примерно ту же точность, что и прямой метод, и соответственно ему свойственны те же недостатки.

Энергетический метод или метод податливости. Метод состоит в определении упругой энергии W для двух или более состояний равновесия тела с трещиной. Величина W может вычисляться при этом по следующей формуле

, (16.2)

Здесь - обобщенные внешние усилия, u_i – соответствующие им узловые перемещения.

Специальные методы определения коэффициентов интенсивности напряжений. Трещина представляет собой бесконечно острый разрез, точное распределение напряжений вокруг которого не может быть найдено с помощью сетки обычных структурных элементов. Однако ценой измельчения сетки можно приблизиться к действительному распределению напряжений, однако при этом значительно увеличивается время счета. Однако, решая эту задачу с помощью специальной сетки, затруднения могут возникнуть при получении матрицы жесткости, особенно в тех случаях, когда специальный элемент имеет сложную форму. Но этот этап существенно упрощается, когда элемент представляет собой правильный многоугольник, симметричный относительно трещины и имеющий четыре узла. К недостаткам данного метода можно отнести то, что при расчете тела с симметричной трещиной необходимо производить идеализацию всей модели, а не только симметричной части.

Определение коэффициента интенсивности напряжений методом граничных коллокаций. Метод граничных коллокаций (МГК) не обеспечивает такого общего подхода к решению задач, как метод конечных элементов (МКЭ). Но есть определенный класс задач, где возможно его применение, и где все преимущества МГК становятся неоспоримыми. И основным преимуществом МГК является обеспечение достаточно высокой точности при малых объемах исходных данных, что приводит к сравнительно небольшим системам линейных уравнений.

16.2. Исследования усталостного разрушения. Критерий Гриффитса

Одной из актуальнейших проблем современного кузнечно-прессового машиностроения является проблема повышения долговечности элементов машин по критериям прочности при одновременном снижении их металлоемкости. Это в свою очередь поставило задачу проведения дальнейших более глубоких исследований в области вопросов определения и оценки величины усталостной прочности материалов и конструкций. Сегодня при моделировании процессов циклического разрушения ввиду недостаточной изученности механизма разрушения реальных материалов и отсутствия надежных расчетных способов предсказания характеристик прочности и долговечности особое значение приобрели экспериментальные методы исследования.

При этом применяют два вида моделей реальных объектов: геометрически подобные модели и так называемые «условно-подобные» модели, тождественные по характеру напряженного состояния в поверхностном слое с натурными образцами. Каждый из этих типов моделей имеет ограниченную область применения в силу специфики характера явлений усталости. Геометрически подобные образцы, удовлетворяющие критериям кинетического подобия, позволяют судить по данным испытаний моделей о положении фронта трещины, скоростях процесса разрушения и относительных величинах длительности разрушения натурных испытаний.

Из экспериментальных данных известно, что условие образования макротрещины на поверхности детали при усталостном разрушении с достаточной точностью может быть представлено уравнением

, (16.1)

где - максимальное приведенное напряжение;

N_t – число циклов, соответствующее началу образования трещины; m – показатель степени;

C – некоторая константа.

График функции (11.1) принято называть кривой усталости по первой макротрещине. В общем случае при сложном напряженном состоянии функция S определяется величиной главных напряжений ₁, ₂, ₃ в рассматриваемой точке образца.

На основании анализа опытных данных можно сформулировать общую гипотезу макроскопического разрушения в произвольной точке с координатами, , учитывающую индивидуальную предысторию нагружения всех точек сечения, по которым продвигается фронт трещин. Обобщая соотношение (16.1) на случай движущейся трещины, будем считать, что фронт трещины проходит через точку , в момент времени по числу N при условии

Для элементов машин и конструкций в экстремальных условиях нагружения (в зонах концентрации, в местах действия высоких температурных и остаточных напряжений, в окрестности трещин) используются традиционно применяемые в инженерной практике расчеты прочности, основанные на определении номинальных и местных напряжений (методы сопротивления материалов), оказываются недостаточными и в целом ряде случаев неправомерными.

Поэтому запасы прочности и долговечности в рамках проверочных расчетов устанавливают на базе деформационных критериев разрушения, т.е. по предельным нагрузкам, местным упругопластическим деформациям, коэффициентам интенсивности напряжений и деформаций по размерам дефектов типа трещин.

Большинству базовых или несущих деталей машин характерны неоодносные и неоднородные напряженные состояния. Эти состояния наиболее характерны для зон конструктивной концентрации напряжений – отверстий, выточек, галтелей, патрубков, мест изменения толщин и присоединения укрепляющих элементов, резьб и т.п. Разрушение узла, детали или соединения представляет собой заключительный этап работы элемента конструкции при заданном силовом, деформационном или тепловом воздействии. Действительный процесс нагружения проходит в несколько этапов:

1) инкубационный период;

2) торможение;

3) стационарный период;

4) заключительное ускоренное разрушение.

Каждый из этих периодов характеризуется определенным размером трещины, скоростью ее распространения, ускорением и т.д. Долговечность детали с трещиной полностью определяется кинетическими зависимостями разрушения и является интегральной характеристикой процесса.

Раскрытие трещины в твердом теле может осуществляться по трем различным путям, показанным на рис. . При нормальных напряжениях возникают трещины типа «разрыв» (тип I), перемещения берегов трещины перпендикулярны плоскости трещины. При плоском сдвиге образуется трещина типа II, или трещина типа «сдвиг», перемещения берегов трещины происходит в плоскости трещины и перпендикулярно ее фронтальной линии.

Трещина типа «среза», или типа III, образуется при анти-плоском сдвиге: перемещения берегов трещины совпадают с плоскостью трещины и параллельны ее направляющей кромке. В технике наиболее важное значение имеет трещина типа I. Одно из основных уравнений механики разрушения было получено Гриффитсом еще в 1921 г.

Рассмотрим бесконечную пластину единичной толщины с центральной поперечной трещиной длиной 2a. Края пластины неподвижны, а напряжение в ней равно σ, как показано на рис. , а. На рис. б приведена диаграмма «нагрузка—удлинение». Запасенная в пластине упругая энергия представлена площадью OAB. Если длина трещины увеличится на величину ∂a, то жесткость пластины уменьшится (линия ОС); это означает, что нагрузка несколько уменьшится, поскольку края пластины неподвижны.

Следовательно, упругая энергия, запасенная в пластине, уменьшится до величины, равной площади ОСВ. Увеличение длины трещины с a до a+dа приведет к освобождению упругой энергии, равной по величине площади ОАС.

Если пластина нагружена до более высокого напряжения, то при увеличении длины трещины на величину dа освободится большая энергия. Гриффитс предположил, что трещина будет расти лишь в том случае, если освобождаемая при этом энергия достаточна для обеспечения всех затрат энергии, связанных с этим ростом. В противном случае необходимо увеличить напряжение. Треугольник ODE представляет собой энергию, выделяемую при распространении трещины.

Условие, необходимое для роста трещины, следующее:

(16.2)

где U — упругая энергия, а W — энергия, необходимая для роста трещины. Основываясь на расчетах поля напряжений для эллиптического отверстия, выполненных Инглисом, Гриффитс получил выражение для dU/da в виде

(16.3)

на единицу толщины пластины, где Е — модуль Юнга. Обычно величину dU/da заменяют величиной

(16.4)

которая называется «скоростью высвобождения упругой энергии», приходящейся на каждую вершину трещины. Величину G называют также трещинодвижущей силой; ее размерность — энергия, деленная на единицу толщины пластины и на единицу изменения длины трещины, что также может быть представлено в виде силы, приходящейся на единицу изменения длины трещины. Энергию, расходуемую на распространение трещины, обозначают через R=dW/da и называют сопротивлением росту трещины. В первом приближении можно считать, что энергия, необходимая для образования трещины (для разрыва атомных связей), одинакова для любых приращений dа. Это означает, что R — константа.

Теперь энергетическое условие (11.2) можно перефразировать следующим образом: для распространения трещин необходимо, чтобы G было, по крайней мере, равно R. Если R — константа, то, значит, величина G должна превысить некоторое критическое значение GIc. Следовательно, распространение происходит при следующем условии:

, или (16.5)

Критическое значение G1с (критическую скорость высвобождения энергии) можно получить, измерив напряжение σс, необходимое для разрушения пластины с трещиной размером 2а, и вычислив из уравнения (11.5) величину G1с.

Гриффитc вывел свое уравнение для стекла — очень хрупкого материала. Он предположил, что величина R определяется только поверхностной энергией. В вязких материалах, например металлах, при вершине трещины образуются пластические деформации. Для образования новой зоны пластических деформаций при вершине трещины необходима большая энергия. Поскольку эта пластическая зона должна быть образована в процессе роста трещины, то энергию, необходимую для распространения трещины, можно положить равной энергии, необходимой для образования этой трещины. Это означает, что в металлах величина R определяется главным образом энергией деформации в пластической зоне; поверхностная энергия в этом случае настолько мала, что ею можно пренебречь.

Энергетический критерий есть необходимое условие распространения трещины. Этот критерий не обязательно должен быть достаточным. Если материал при вершине трещины не находится на грани разрушения, то трещина не будет расти даже при достаточной энергии для ее развития: материал должен до конца исчерпать свою способность воспринимать нагрузку и продолжать деформироваться. Однако последний критерий эквивалентен энергетическому критерию:

(16.6)

Очевидно, критерий по напряжениям и энергетический критерий выполняются одновременно. Уравнение (11.6) справедливо для случая плоского напряженного состояния, а в случае плоского деформированного состояния его следует дополнить коэффициентом (1-ν²), что приведет к соотношениям

и (16.7)

16.3. Испытания на вязкость разрушения

Расчетные методы анализа ползучести элементов машин применяются в настоящее время в основном для деталей достаточно простой конфигурации. Сегодня известно два принципиально различных метода моделирования напряженно-деформированного состояния в задачах ползучести. Каждый из этих методов связан с теорией ползучести. Один из них основан на теории старения, другой базируется на гипотезе упрочнения. В основу теории старения положено предположение, что при определенной температуре между деформацией, напряжением и временем существует зависимость

, (16.7)

где e – сумма упругой и пластической деформации;  - действующее напряжение;  – время. Согласно теории упрочнения в качестве уравнения состояния процесса ползучести принимается функциональная связь между пластической деформацией p, скоростью пластической деформации , напряжением и температурой

(16.3)

Вопросы для самоподготовки:

1. Приведите основные положения механики разрушения?

2. На чем основаны исследования усталостного разрушения?

3. Охарактеризуйте значения критерия Гриффитса?