Лекция №18 Ударные нагружения в системах кузнечно-штамповочных машин. Уравнение движения механического пресса

Теоретические вопросы:

18.1. Ударные нагружения в системах кузнечно-штамповочных машин

18.2. Упрощенная модель передаточного механизма кузнечно-штамповочной машины

18.3. Уравнение движения механического пресса

18.1. Ударные нагружения в системах кузнечно-штамповочных машин

Ударные нагружения в машинах возникают во всех случаях: когда имеются относительные скорости движения деталей к моменту их соприкосновения и процессы перехода кинетической энергии в потенциальную энергию деформации. Ударные процессы сопровождаются возникновением нагрузок, в десятки и тысячи раз превышающих расчетные, что приводит к разрушению машины. Поэтому первым требованием при эксплуатации машины является исключение причин возникновения ударного нагружения, а если это неизбежно, то необходимо предотвратить его распространение и снизить действующие при ударе силы.

В наиболее тяжелых условиях работают КШМ ударного действия, например, молоты, принцип действия которых основан на ударном воздействии на деформируемую заготовку. В КШМ статического действия, например, гидравлических прессах, в процессе их работы зачастую возникают не предусмотренные ударные нагрузки, приводящие к возникновению в сочетаниях деталей и узлов КШМ зазоров и неизбежному возникновению ударов. В результате удара возникают весьма сложные процессы, и на сегодняшний день никакие количественные оценки не позволяют дать определение явлению удара.

Наиболее полно это явление характеризует следующая формулировка. Механическим ударом называется явление, возникающее при столкновении тел, сопровождающееся полным или частичным переходом кинетической энергии тел в энергию их деформации.

Момент встречи тел, движущихся до этого с различными скоростями, называют началом удара. Момент, когда взаимодействие тел прекращается – концом удара. Интервал между этими двумя моментами называют временем, или продолжительностью удара. При ударе напряжения передаются всем точкам соударяющихся тел, находящихся как на, так и вне площадки контакта, в связи, с чем все точки обоих тел получают деформации и испытывают напряжения.

Для сплошных тел значения возникающих напряжений и деформаций связаны известными уравнениями теории упругости (уравнениями Ламэ), которые являются наиболее общими и применимыми к любому телу.

Начальные условия до удара добавляются к общим уравнениям и содержат начальные напряжения ₀₁ и ₀₂ и скорости точек тел до удара. Чтобы общие уравнения соответствовали форме данных конкретных тел, добавляют граничные условия – уравнения граничных поверхностей тел, на которых нормальные и касательные напряжения равны нулю. После начала удара с появлением контактной площадки возникают дополнительные граничные условия, относящиеся к точкам, находящимся на контактной площадке fk. На этой площадке перемещения, скорости и ускорения имеют одинаковые координаты, но принадлежат разным телам. Напряжения в точках обоих тел на контактной площадке равны по значению и противоположны по направлению. Решение задачи соударения тел в общем виде сводится к совместному решению уравнений Ламэ с учетом граничных и начальных условий. В настоящее время для решения различных задач теории удара находят широкое применение приближенные методы расчета ударной системы:

1. классический ньютоновский метод;

2. метод Герца, в соответствии с которым области контакта предполагаются упругими, а тела – твердыми;

3. метод, в соответствии с которым тела предполагаются полностью упругими, но распространение напряжений по телам – мгновенным;

4. метод плоской волны Сен-Венана, предполагающий, что поверхность контакта плоская и все точки на поверхности контакта обоих тел находятся в одинаковых условиях, скорость и напряжения в каждом сечении постоянны;

5. комбинированный метод, сочетающий статические решения теории упругости для прикантактной зоны и метода плоской волны для остальной части соударяющихся тел.

18.2. Упрощенная модель передаточного механизма кузнечно-штамповочной машины

Кузнечно-штамповочная машина может быть представлена как совокупность двигателя, передаточного и исполнительного механизмов.

Так, например, для кривошипных прессов исполнительным будет кривошипно-ползунный механизм, передаточным – привод, включающий в себя клиноременную и зубчатые передачи. Под упрощенной моделью передаточного механизма КШМ будем понимать схему машины, показанной на рис. 21.

Рис. 21. Упрощенная модель передаточного механизма

Относительная сложность даже этой простой схемы требует рассмотрения уравнения движения машины при различных режимах нагружения. Механические системы двигателя и исполнительного механизма будем рассматривать как механизмы с жесткими звеньями, имеющими одну степень подвижности, а передаточный механизм считаем безинерционным упругодиссипативным элементом. К системам такого вида можно привести с определенными допущениями (например, применяя методы Рэлея) приводы кривошипных прессов и автоматов.

В качестве обобщенных координат выберем угол поворота вала двигателя _Д и угол поворота входного звена исполнительного механизма (например, угол поворота эксцентрикового вала) _И, приведенный к валу двигателя. Разность этих углов q=_И-_Д представляет собой приведенную к валу двигателя деформацию пресса.

Через J₁ и J₂ обозначим приведенные к валу двигателя моменты инерции частей привода и исполнительного механизма. В первом приближении будем считать их постоянными. На систему воздействуют следующие внешние нагрузки: МД – момент двигателя; МС – приведенный момент сопротивления от исполнительного механизма (в том числе и от деформирования заготовки). Применив уравнения Лагранжа и проведя некоторые преобразования, получаем следующую систему уравнений:

(18.1)

Первое из уравнений системы (18.1) может быть сведено к виду интеграла Дюмеля:

(18.2)

где - собственная частота демпфированной системы.

Таким образом, одна степень свободы q является “колебательной”, а вторая _Д описывает движение модели как жесткого целого. Эту координату часто называют циклической. Коэффициенты уравнения для степени свободы q, приведенного к виду (13.2), будут иметь вид:

;

; (18.3)

Решение уравнения колебания связи позволяет определить динамическую ошибку и значения нагрузок в связи при определенных режимах нагружения. Существуют следующие основные варианты решения для следующих частных случаев:

1. уравнение колебаний при ступенчатом нагружении. Под ступенчатым нагружением понимают внешнюю нагрузку типа Q=0 при и при t > 0. К такой нагрузке в первом приближении можно привести нагружение привода при глубоком выдавливании, включении муфты, кроме того, анализ поведения системы при ступенчатом нагружении дает возможность найти верхнюю оценку коэффициента динамичности при отсутствии резонанса. Подставляя в закон изменения внешней нагрузки Q в подынтегральное выражение уравнение (13.2) при нулевых начальных условиях, получим

. (18.4)

Отношение представляет собой статическую деформацию связи, а выражение в квадратных скобках при малых значениях h имеет максимум, близкий двум. Поэтому максимальная динамическая ошибка привода при отсутствии резонанса не может превышать двукратной деформации под действием статической нагрузки той же амплитуды;

2. уравнение колебаний при гармоническом нагружении. Гармоническим возбуждением считается нагрузка вида , где p – частота колебаний вынуждающей силы. К гармоническому закону можно прийти, рассматривая работу кривошипных прессов и автоматов на холостых ходах. Тогда инерционная нагрузка привода от перемещения рабочих частей будет близка к гармонической. Общее уравнение (18.2) при гармонической вынуждающей силе будет иметь вид:

(18.5);

3. уравнения колебаний при периодической возмущающей силы. Основные соотношения, полученные для случая действия гармонической возмущающей силы, оказываются полезными при анализе периодического нагружения.

К периодическому нагружению может быть в первом приближении сведена задача о технологическом нагружении КШМ, работающей на автоматических ходах. Поскольку в этом случае нагружение машины повторяется через равные промежутки времени (период), то функция нагружения может быть разложена в ряд Фурье:

, (18.6)

где - основная частота возмущающей силы; T – период повторения нагружения. Коэффициенты Q₀, Q_1i, Q_2i для наиболее употребимых случаев могут быть найдены из таблиц или по известным из литературы формулам.

18..3. Уравнение движения механического пресса

Для математического описания движения динамической модели используют различные методы. Среди них можно упомянуть уравнения Лагранжа с неопределенными множителями, уравнение Аппеля, уравнение кинетической энергии и обобщенное уравнение динамики, принцип Даламбера.

Наибольшее распространение получила методика, основанная на применении уравнений Лагранжа второго рода с неопределенными множителями. Эти уравнения, которые иногда также называются уравнениями Раусса-Феррерса, пригодны для составления уравнений движения механизмов с голономными, неголономными и избыточными связями и могут быть записаны в следующем виде:

(18.7)

где i = 1…H - число обобщенных координат; j = 1…h - число неголономных и избыточных связей; T, U - кинетическая и потенциальная энергии системы соответственно;  - диссипативная функция Рэлея для сил трения, пропорциональных обобщенных скоростям; q_i, - обобщенные координаты и обобщенные скорости соответственно; Q_i - неконсервативные обобщенные силы; l_j - неопределенные множители Лагранжа. Величины A_ji являются коэффициентами при обобщенных скоростях в уравнениях связи.

Для голономных избыточных связей, выражающих уравнением , эти коэффициенты принимают вид . Уравнения Лагранжа дополняются уравнениями связей, и в этом виде система уравнений является замкнутой. В общем случае используют следующий способ введения независимых обобщенных и избыточных координат. В качестве одной из обобщенных координат выделяют абсолютную координату входного звена, определяющую движение механизма при абсолютно жестких звеньях.

Для остальных независимых координат используют так называемые динамические ошибки, которыми являются деформации упругих звеньев, вызывающие искажения относительного движения соответствующих звеньев по сравнению с идеальным механизмом. В качестве избыточных обобщенных координат используют выходные перемещения избыточных связей.

При таком выборе обобщенных координат обеспечивается наиболее простая форма записи выражений для потенциальной и кинетической энергии, кроме того, уменьшаются ошибки вычислений при дальнейшем численном решении полученных уравнений. Далее попытаемся конкретизировать методику составления динамических и математических моделей на примере кривошипного горячештамповочного пресса (рис. 22).

Будем считать, что двигатель работает в квазистатическом режиме, и его момент М_Э может быть описан формулой Клосса. Ротор двигателя вместе со шкивом клиноременной передачи имеет момент инерции J_p. Клиноременная передача характеризуется передаточным числом i_КЛ, упругим скольжением s_КЛ и КПД _КЛ. На промежуточном валу с крутильной жесткостью C_n и моментом инерции J_П расположены маховик и шестерни зубчатой передачи с моментом инерции J_M и J_c.

Зубчатая передача имеет передаточное отношение i_З, приведенную крутильную жесткость с_З и КПД _З. На эксцентриковом валу с моментом инерции J_Э и крутильной жесткостью С_З расположено зубчатое колесо с моментом инерции J_K. Шатун обладает массой m_Ш, моментом инерции J_Ш и жесткостью С_Ш на растяжение-сжатие.

Рис. 22. Расчетная схема кривошипного

горячештамповочного пресса

Коэффициент трения в шарнирах - m. Массы ползуна, траверсы и стоек соответственно - m_n, m_TP, m_CT. Жесткость траверсы и стоек в направлении действия усилия деформирования - С_ТР, С_СТ. Для этапа рабочего хода можно составить упрощенную динамическую модель (рис. 23). В такой модели обычно принимают, что муфта включена и в ней отсутствует проскальзывание. Конструкционное демпфирование и внутреннее трение в деталях считаем пренебрежимо малым. Все вращательные движения приведены к эксцентриковому валу.

Рис. 23. Упрощенная динамическая модель

кривошипного горячештамповочного пресса

Динамическая модель имеет следующие параметры:

; ; ,

; ; ; (18.8)

;

В нашем случае движение механизма определяется вращением входного вала, поэтому в качестве независимой координаты q₁ примем угол поворота инерционного элемента J₁. В качестве остальных обобщенных координат принимаем деформации соответствующих упругих элементов. Избыточная координата описывает идеальное движение ползуна x_ПН без учета упругости звеньев:

; ; ; (18.9)

; (18.10)

Тогда

(18.11)

;  = 0 (18.12)

Обобщенные силы определяются как размерные коэффициенты, в выражении работы при возможных перемещениях W для соответствующей вариации; при этом с избыточными координатами следует обращаться так же, как с независимыми:

(18.13)

Отсюда

, ; ; (18.14)

Поскольку функция положения , уравнение связи

(18.15)

Тогда

, , (18.16)

Подставляя приведенные выражения в уравнение Лагранжа, получим следующую систему уравнений:

(18.17)

Система состоит из семи уравнений и имеет семь неизвестных - шесть обобщенных координат q_i и неопределенный множитель Лагранжа. Используя седьмое уравнение, можно выразить избыточную координату q₆ через значения независимых координат. Анализируя пятое и шестое, можно найти выражение для неопределенного множителя Лагранжа =-c₅q₆.

Таким образом, система может быть преобразована к виду, включающему только независимые обобщенные координаты, и будет содержать пять дифференциальных уравнений второго порядка, что соответствует пяти степеням свободы системы. Неопределенный множитель Лагранжа представляет собой реакцию избыточной связи.

Этот вывод имеет общий характер и положен в основу еще одного метода составления уравнений движения механизмов - метода освобождения от связей. Особенно удобно использовать этот метод при учете сил трения и зазоров в кинематических парах.

Продолжая рассмотрение нашего примера, будем считать, что в кривошипно-ползунном механизме существует зазор, причем его значение, приведенное к перемещению ползуна, равно . В зависимости от текущего значения обобщенной координаты q₅, равного разности идеального и реального перемещений ползуна, получим следующие значения для усилия и связи:

если , то

если , то

если , то

Подставляя в уравнения движения вместо неопределенного множителя Лагранжа выражения для реакции в связи, получим систему уравнений движения кривошипного пресса с учетом выбранных зазоров в кривошипно-ползунном механизме.

Вопросы для самоподготовки:

1. В связи с чем возникают ударные нагружения в системах кузнечно-штамповочных машин?

2. Из каких соображений получается упрощенная модель передаточного механизма кузнечно-штамповочной машины?

3. Приведите уравнение движения механического пресса?