3.3.2 Высвобождающие связи
Рассмотрим снова функционал вида
.
Пусть на переменные x и y
наложена связь вида
.
Это значит, что графики сравниваемых
функций y(x)
должны быть расположены в заданной
замкнутой области
(т.е.
с присоединенной границей) плоскости
x,y. Типичным
примером является задача о кротчайшем
пути, соединяющем по заданной области
две заданные точки (рис.15).
Здесь - не заштрихованная часть плоскости. Таким образом, здесь рассматривается задача о минимизации функционала
.
(*)
График функции
,
реализующей экстремум, состоит из
участков, расположенных строго внутри
(на
рис.15 это AD, EK
и LB), и участков, расположенных
на границе
(DE
и KL). Рассуждая, как и в
п.3.2, можно показать, что первые из
перечисленных участков являются
экстремалями, т.е. вдоль них удовлетворяется
уравнение Эйлера. Конечно, участки
второго типа экстремалями не являются,
так что и в целом значении
,
вообще говоря, не будет стационарным,
а имеет характер краевого экстремума.
Необходимое условие экстремума на этих
участках зависит от типа экстремума и
от направления, в котором происходит
высвобождение от связи. Пусть, например,
речь идет о минимуме, а высвобождение
на некотором участке происходит, как
на рис.15, в сторону увеличения y.
Варьируя y на этом
участке и выполняя интегрирование по
частям, получим обычное выражение для
вариации
.
Но теперь уже требуется, чтобы
для любой
.
Отсюда видно, что на рассматриваемом
участке должно быть
.
Это и есть необходимое условие экстремума. При однократной перемене типа экстремума или направления высвобождения это неравенство надо заменить на противоположное. Например, для функционала (*)
и полученное условие равносильно тому,
что
.
Таким образом получим наглядно очевидный
факт, что экстремаль-ная линия на рис.15
может огибать заштрихованную зону лишь
на участках выпуклых наружу от зоны.
Чтобы выяснить условие в точке выхода
графика функции
на границе области
,
рассмотрим
при произвольной вариации
вблизи этой точки (рис.16).
рис.16
С
учетом отбрасываемого интеграла по
получаем
,
где под k понимается
угловой коэффициент границы области в
точке D выхода. Так как
может
быть любого знака, то получим необходимое
условие в точке выхода на границу:
(29)
Это условие наверняка выполняется, если
,
т.е. если в точке выхода график
не претерпевает излома: Действительно,
левую часть (29) можно представить в виде
Это значит, если
в
точке D при всех
не меняет знака и не равна тождественно
нулю, то обязательно
4.Разрывные задачи
До сих пор мы рассматривали вариационные задачи, в которых искомая функция y=y(x) предполагалась непрерывной и имеющей непрерывную производную. Во многих задачах последнее требование являлось излишним. Более того, в некоторых классах задач решение достигается как раз на экстремалях, имеющих угловые точки. Такими задачами, например, являются задачи на отражение и преломление света. Такие задачи называются разрывными, в которой отыскивается экстремум функционала
,
где функции
и
удовлетворяют граничным условиям
(30)
(рис.17). Обычными рассуждениями можно
показать, что для пары функций
и,
,
реализующих экстремум,
будет
решением уравнения Эйлера для
,
а
- для
.
Как и в п.3.2, получаем
Поэтому из общего необходимого условия экстремума и равенства (30) получаем необходимое условие на линии отражения
Если
,
то лучше говорить о преломлении
экстремали. Если линия отражения
расположена произвольно, то, рассуждая,
как при выводе формулы (28), получим более
общее условие отражения
где
-
это соответственно угловые коэффициенты
линии отражения, падающей экстремали
и отраженной экстремали в точке отражения.
Пример 15. Найти условие, которое должно выполнятся в точке перелома:
Решение. В данном случае:
,
т.е. производная
в
точке
непрерывна, и точки перелома нет.
Следовательно, в данной задаче экстремум
может достигаться лишь на гладких кривых
.