- •1. Основные понятия
- •Функционал
- •1.2. Предмет вариационного исчисления
- •2. Первая вариация и необходимое условие экстремума
- •2.1. Приращения (вариация) аргумента функционала
- •2.2. Вариация функционала
- •2.3. Экстремум функционала
- •2.4. Необходимое условие экстремума
- •2.5. Уравнения Эйлера
- •2.5.1. Функционал
- •2.5.2. Функционал
- •2.5.3. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера
- •2.6. Функционалы, содержащие производные высшего порядка
- •2.7. Функционалы от нескольких функций
- •Ответы и указания
- •3.1 Условный экстремум с интегральными связями
- •3.2. Условный экстремум с конечными или дифференциальными связями
- •3.3. Задачи с подвижными граничными на плоскости
- •3.3.1. Условия трансверсальности
- •3.3.2 Высвобождающие связи
- •4.Разрывные задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы и указания
- •4. Достаточные условия экстремума
- •4.1 Вариации высших порядков
- •4.2 Условия экстремума в терминах второй вариации
- •4.3 Необходимые условия Лежандра
- •4.4 Поле экстремалей
- •4.6. Условие Якоби
- •4.7.Условия сильного экстремума. Функция Вейерштрасса
- •5. Канонические уравнения и вариационные принципы
- •5.1 Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду
- •5.2. Первые интегралы
- •6. Вариационные принципы
- •6.1 . Принцип Гамильтона в простейшем случае
- •6.2. Принцип Гамильтона для систем с конечным числом степеней свободы
- •6.3. Принцип наименьшего действия в форме Лагранжа и Якоби
- •6.4. Вывод уравнения малых колебаний струны
- •6.5. Продольные колебания стержня
- •6.6. Поперечные колебания стержня
- •7. Общая схема вариационного подхода к физическим задачам
- •7.2. Диссипативные системы
- •7.3. Принцип минимума потенциальной энергии
- •7.3.1 Запас устойчивости
2. Первая вариация и необходимое условие экстремума
2.1. Приращения (вариация) аргумента функционала
Вариация аргумента функционала вводится по аналогии с приращением аргумента функции f(x). А именно,
Определение 1. приращением или вариацией аргумента y(x) функционала называется разность между двумя функциями . При этом предполагается, что y(x) меняется произвольно в некотором классе функций.
Определение 2. Функционал называется непрерывным, если малому изменению y(x) соответствует малое изменение функционала .
Данное определение аналогично определению непрерывности функции f(x): малому изменению x, соответствует малое изменение функции f(x).
Здесь следует уточнить, какие изменения функции y(x), являющейся аргументом функционала, считаются малыми или когда кривые и считаются близкими.
Можно считать близкими функции и в том случае, если мал для всех значений x, для которых задаются функции и . Это значит, что соответствующие кривые близки по ординатам.
Однако при таком определении близости кривых часто встречаемые в приложениях функционалы вида
из-за наличия в подынтегральной функции аргумента очень редко будут непрерывными. Поэтому во многих случаях естественно считать близкими только те кривые, которые близки по ординатам и по направлению касательных в соответствующих точках, т.е. требуется, чтобы были малы модули разностей не только функций , но и производных . Иногда требуется малость модуля разностей производных более высоких порядков.
Поэтому вводят следующие определения близости кривых и .
Кривые и называются близкими, в смысле близости нулевого порядка, если модуль разности мал.
Кривые и близки в смысле близости первого порядка, если модули разностей и малы. Кривые , близки в смысле к-го порядка, если модули разностей ; ; …; малы.
Н а рис. 4 изображены кривые, близкие в смысле близости нулевого порядка, но не близкие в смысле близости первого порядка, так как ординаты у них близки, а направления касательных не близки. На рис. 5 изображены кривые, близкие в смысле близости первого порядка.
Из этих определений следует, что если кривые близки в смысле к-го порядка, то они тем более близки в смысле близости любого меньшего порядка.
2.2. Вариация функционала
Линейным функционалом называется функционал ,
удовлетворяющий следующим условиям:
и
где с – производная постоянная.
Примером линейного функционала является
Для функций: линейной функцией называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:
и .
Линейная функция одной переменной имеет вид , где k-постоянная.
Вариация функционала при изучении нелинейных функционалов играет ту же роль, что понятие дифференциала при изучении нелинейных функций. Если приращение функции может быть представлено в виде
,
где не зависит от , а при , то функция называется дифференцируемой, а линейная по отношению к часть приращения называется дифференциалом функции . Разделив на и переходя к пределу при , получим, что и, следовательно,
.
Определение. Если приращение функционала
можно представить в виде
, (1)
где -линейный по отношению к функционал, -максимальное значение и при , то называется вариацией функционала и обозначается . Если для краткости обозначить второе слагаемое в (1) через , то
, (2)
Таким образом, вариация нелинейного функционала равна главной линейной части его приращения. Замена приращения на вариацию означает линеаризацию функционала при переходе от одной функции к другой, близкой функции .
Здесь -произвольная функция, мало уклоняющаяся от нуля и добавляемая к исходной функции для получения новой функции (рис. 6).
Пример 1. Дан функционал . Найти его вариацию.
Решение. При переходе от к функционал получит приращение
.
При фиксированной функции функционал состоит из двух частей. Каждая из этих частей представляет собой функционал относительно . Первое слагаемое есть линейный функционал относительно , а второе слагаемое при малых имеет высший порядок малости. Таким образом,
.
В конкретных задачах вариация функционалов вычисляется с помощью формулы Тейлора. Так, для функционала вида
, (3)
где при интегрировании считается , имеет
. (*)
Т.к. высшего порядка, то подставляя в (*) и отбрасывая эти члены, получим
. (4)
Для функционала
(5)
аналогично получаем
, (6)
где можно понимать и как , и как , т.к. (производная от разности двух функций равна разности производных).
Действительно, высшего порядка.