Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 3000401.doc

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1912 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

4.6. Условие Якоби

Рассмотрим функционал и граничные условия . Пусть для некоторой функции удовлетворяется уравнение Эйлера и указанные граничные условия, т.е. функционал получает стационарное значение. Обозначим для краткости и т.д. Обозначим временно в функционале (33), в который подставлено :

(41)

Те из функций z(x),для которых I=0 и выполняются условия (41), доставляют минимум функционалу. .По анологии с (40) уравнение Эйлера можно записать в виде

(42)

Это уравнение называется уравнением Якоби.

При выполнении условия Лежандра: , , из условий следует, что . Точки и на экстремали называются сопряженными, если , причем 0, .

Условие Якоби. Если экстремаль ,доставляет минимум функционалу , то она не содержит точек, сопряженных точке

Пример 17

Выполнено ли условие Якоби для экстремали функционала , проходящей через точки А(0;0) и В(0;0)?

Решение

Запишем уравнение Якоби. Здесь ; поэтому и . Его общее решение можно представить в виде , так как z(0)=0, то

Функция z(x) обращается в нуль в точке , где k-целое. Следовательно, если , то на отрезке , то на отрезке функция z(x) обращается в нуль только в точке x=0 и условие Якоби выполнено. Если , то на отрезке функция z(x) обращается в нуль еще, по крайней мере, в одной точке и условие Якоби не выполнено.

Пример 18

Выполнено ли условие Якоби для экстремали функционала , проходящей через точки А(0;0) и В(0;0)?

Решение

Поэтому . Уравнение Якоби

Его общее решение . Представим его в виде . Из условия z(0)=0 следует, что С₂=0 и Кривые пучка пересекают ось Ох лишь в точке х=0. Условие Якоби выполнено при любом а

4.7.Условия сильного экстремума. Функция Вейерштрасса

Вернемся к простейшей задаче об экстремуме функционала при граничных условиях Пусть , -экстремаль (С) удовлетворяющая этим граничным условиям и условию Якоби. Следовательно экстремаль С, проходящая через точки А(x₀,y₀) и В(x_1,y₁),может быть включена в центральное поле, наклон которого равен Р(x,y) рис.23

Условия Якоби достаточны для слабого минимума, но они существенно недостаточны для сильного минимума. Добавочное условие, достаточное вместе с условием Якоби для сильного минимума представляет собой условие Вейерштрасса.

Для определения знака приращения функционала I при переходе от экстримали С к некоторой близко допустимой

Рис 23

кривой преобразуем приращение к более удобному виду:

Символы представляют значения функционала , взятые сответственно по дугам и С. Рассмотрим вспомогательный функционал

который на экстремали С обращается в так как на экстремалях поля С другой стороны тот же вспомогательный функционал

(43)

является интегралом от полного дифференциала. Действи-тельно, функционал на экстремалях поля превращается в функцию . Как доказывается в курсах вариационного исчисления, дифференциал этой функции имеет вид

И лишь обозначением углового коэффициента касательной к экстремали поля отличается от подынтегрального выражения в (43) таким образом, интеграл на экстремали С совпадает с интегралом

Так как функционал является интегралом от полного дифференциала и, следовательно, не зависит от пути интегрирования, то не только при но и при любом выборе . Поэтому приращение

может быть преобразовано к следующему виду

Подынтегральная функция носит название функции Вейерштрассе и обозначается :

В этих обозначениях

Очевидно, что достаточным условием достижения функционалом минимума на кривой С будет неотрицательность функции Е, так как если , то и . Достаточным условием максимума будет ,так как в этом случае и . При этом для слабого минимума достаточно чтобы неравенство выполнялось для значений х и у на исследуемой экстремали С, и для значений близких к на той же экстремали. Для сильного минимума то же неравенство должно быть справедливо для тех же х и у, но уже для произвольных , так как в этом случае близкие кривые могут иметь произвольные направления касательных. В случае же слабого экстремума значения на близких кривых близки к значениям на экстремали С.

Ясно, что в случае максимума должно быть . Таким образом, достаточными для достижения функционалом экстремума на кривой С будут следующие условия

Для слабого экстремума.

1.Кривая С является экстремалью, удовлетворяющей граничным условиям.

2. Экстремаль С может быть включена в поле экстре-малей, это условие можно заменить условием Якоби.

3. Функция не меняет знак во всех точках (х;у), близких к кривой С, и для значений , близких к В случае минимума в случае максимума .

Для сильного экстремума

1. Кривая С являются экстремалью, удовлетворяющим граничным условием.

2. Экстремаль С может быть включена в поле экстремалей. Это условие можно заменить условием Якоби.

3. Функция не меняет знак во всех точках (х;у), близких к кривой С, и для произвольных значений . В случае минимума , в случае максимума

Пример 19.

Исследовать на экстремум функционал

Решение

Составим уравнение Эйлера Так как

то .

Таким образом Экстремалями являются прямые так как то

Это пучок прямых с центром в точке (0;0), образующей центральное поле. Так как точка В(а;b), то экстремум может достигаться лишь на прямой , входящей в поле экстремалей:

. Подставим значения F и p:

Преобразуем правую часть :

На экстремали наклон поля и если принимает значения близкие к то и, следовательно, все условия, достаточные для слабого минимума, выполнены. На экстремали достигается слабый минимум.

Если же принимает произвольные значения, то может иметь любой знак и, следовательно, функция Е знак не сохраняет. Достаточные условия для сильного минимума не выполнены

Пример 20

Исследовать на экстремум функционал

в классе непрерывной первой производной.

Решение

Составим и решим уравнение Эйлера,

Здесь .

Тогда и Экстремалями являются прямые Учитывая граничное условие , получаем пучок экстремалей, образующих центральное поле. Второе граничное условие дает Таким образом, экстремаль включается в пучок экстремалей, образующих центральное поле. Запишем функцию

Разложим правую часть на множители:

Знак функции Е противоположен знаку последнего множи-теля :

Найдем корни этого трехчлена: . В окрестности корней функция Е меняет знак.

При или при любом имеем

Если или , то выражение меняет знак. Если при этом достаточно мало отличается от , то последние выражение сохраняет положительный знак при и отрицательный знак при .

Следовательно, при или имеем слабый минимум, так как при значениях , близких к Р. При или имеем слабый максимум. При имеем сильный максимум, так как при любых значениях

Даже в рассмотренных простых примерах исследование знака функции Е было сопряжено с некоторыми затруднениями. Поэтому желательно условие сохранения знака Е заменить более легко проверяемым условием.

Предположим, что функция трижды дифференцируема по аргументу . По формуле Тейлора получим:

где q заключено между и p

В функции

заменим ее разложением по формуле Тейлора. Тогда:

Отсюда видно, что функция Е сохраняет знак, если сохраняет знак .

При исследовании на слабый экстремум функция должна сохранять знак для значений x и у в точках, близких к точкам исследуемой экстремали и для значений q, близких к р. Если в точках экстремали С, то в силу непрерывности эта вторая производная сохраняет знак и в точках, близких к кривой С, и для значений . Таким образом, при исследовании на слабый минимум условие может быть заменено условием на экстремали С. При исследовании на слабый максимум условие можно заменить условием на кривой C.

Условия или носят название усиленных условий Лежандра.

При исследовании на сильный минимум условие может быть заменено условием в точках (х.у), близких к точкам кривой С при произвольных значениях q. При исследовании на сильный максимум, соответственно, меняется знак неравенства второй производной

Пример 21.

Рассмотрим решенный ранее пример 19, упростив исследование слабого экстремума. Исследовать на экстремум функционал:

Мы видим, что экстремалями являются прямые линии. Пучок образует центральное поле, включающее экстремаль . На этой экстремали вторая производная Следовательно, прямая реализует слабый минимум. При произвольных вторая производная знак не сохраняет; следовательно, указанные выше условия для достижения сильного минимума не выполнены. Однако отсюда нельзя заключить, что сильный экстремум не достигается.