2.5. Уравнения Эйлера

Во многих задачах, пользуясь необходимым условием экстремума, удается найти искомое решение . Однако форма (7) для этого неудобна, т.к. она содержит произвольную функцию . Поэтому необходимое условие преобразуется к другой, равносильной форме, содержащей только искомое решение. Такое преобразование различно для разных классов функционалов.

Необходимое условие, получающееся для решения, обычно состоит из двух частей: из уравнения Эйлера (как правило, дифференциального), которому решение должно удовлетворять внутри области своего определения, и из добавочных граничных условий, которые могут быть частично заданы заранее, а частично – выведены из условия (7). Рассмотрим различные частные случаи.

2.5.1. Функционал

Необходимое условие экстремума для этого функционала в силу (4) имеет вид

(10)

Пусть, для определенности, задача рассматривается для всех непрерывных , т.е. в классе функций . Тогда условие (10) должно выполняться для любой непрерывной функции . Но отсюда следует, что

(11)

В самом деле, обозначив и получив просто из (10) получим

,

откуда и следует, что , т.е. (11). Таким образом, уравнение Эйлера для рассматриваемого функционала имеет вид

(12)

2.5.2. Функционал

Этот функционал встречается часто. Его значения будем сравнивать для всех непрерывно дифференцируемых функций, т.е. , удовлетворяющих граничным условиям

, (13)

Из формул (7) и (6) следует, что

(14)

для любой функции , удовлетворяющей условиям (9). Для получения условия для функции , проинтегрируем второй член (14) по частям, учитывая условия (9):

Подставляя полученный результат в (14), имеем

Отсюда следует, что выражение в фигурных скобках тождественно равно нулю при , т.е. в сокращенной записи

. (15)

Здесь под понимается производная, взятая с учетом зависимости и от . Доказывается аналогично доказательству (11).

Если раскрыть выражение полной производной по по формуле производной сложной функции, и заменить на , получим уравнение Эйлера в виде

(16)

Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Всякое решение уравнения (16) называется экстремалью рассматриваемого функционала. Оно придает этому функционалу стационарное значение.

Совокупность экстремалей как общее решение обыкновенного дифференциального уравнения (16) второго порядка, содержит две произвольные постоянные. Двух граничных условий (13) как раз достаточно для отыскания частных решений. Однако уравнение Эйлера редко интегрируется в квадратурах, поэтому приходится пользоваться численным решением краевых задач.

Чтобы упростить вывод условий (12) или (16) пользуются основной леммой вариационного исчисления.

Л емма. Если функция непрерывна на отрезке и для каждой непрерывной функции

, то на том же отрезке.

Док-во. Предположим, что в точке , лежащей на отрезке Рис.7. , . Тогда легко получается противоречие. Действительно, так как функция непрерывна, то из следует, что сохраняет знак в некоторой окрестности точки . Выберем функцию так же сохраняющей знак в этой окрестности и равной нулю вне этой окрестности (рис. 7). Тогда получим

,

так как произведение сохраняет знак на отрезке и обращается в нуль вне этого отрезка. Пришли к противоречию. Следовательно, . Замечание. Утверждение Леммы справедливо и в случае , непрерывной в некоторой области D.

Во многих вариационных задачах существование решения очевидно из физического или геометрического смысла задачи. Если при этом решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным условиям, единственно, то эта единственная экстремаль и будет решением рассматриваемой вариационной задачи.

Пример 2. На каких кривых может достигать экстремума функционал

, ; ?

Решение. Здесь ; ; ; . Подставляя эти значения в (15), получим уравнение Эйлера в виде . Решаем его с помощью характеристического уравнения ; . Общее его решение имеет вид . Используем граничное условие для нахождения значений и :

, откуда получаем и .

Следовательно, экстремум может достигаться лишь на кривой .

Пример 3. На каких кривых может достигать экстремума функционал

, ; ?

Решение. Здесь .

; ; . Уравнение Эйлера (15) имеет вид . Дважды интегрируя по , получим . Используем начальные условия:

Отсюда , и .

.

Следовательно, экстремум может достигаться лишь на кривой .

В рассмотренных двух примерах уравнение Эйлера легко интегрировалось, но так бывает далеко не всегда, так как уравнения второго порядка интегрируются в конечном виде лишь в исключительных случаях.