6.3. Принцип наименьшего действия в форме Лагранжа и Якоби

Если в потенциал и в уравнения связей (60) не входит время , то система называется автономной. В этом случае не входит также и в правые части (61) и в подынтегральное выражение функционала. Тогда представляет собой квадратную форму относительно и функция Гамильтона (49) имеет особенно простой смысл:

, т.е. - есть полная энергия системы, так как в автономном случае функция под знаком интеграла (62) не зависит от , то мы получаем первый интеграл:

Т.е. полная энергия системы сохраняет постоянное значение (закон сохранения энергии).

При этих обстоятельствах, если функционал исследовать в классе линий, на которых полная энергия сохраняет своё значение, имеем

; ,

и принцип Гамильтона принимает форму принципа наименьшего действия Лагранжа:

для движения рассматриваемой системы при заданном значении полной энергии h имеет стационарное значение функция (действие по Лагранжу) , (56)

т.е.  ; .

Так как

то принципу наименьшего действия можно придать форму Якоби.



в которой при помощи закона сохранения энергии исключается время.

6.4. Вывод уравнения малых колебаний струны

Принцип Гамильтона имеет ту особенность, что он формулируется не в терминах координат, а в терминах кинетической и потенциальной энергии системы. Это позволяет с помощью предельного перехода распространить принцип на сплошные среды, а также на физические поля, например, электромагнитные.

П усть гибкая материальная нить длины l c линейной плотностью =(x) закреплена в точках х=0 и х=l. Предполагается, что струна не сопротивляется изгибу, ее натяжение T₀ в процессе колебаний не изменяется (малая амплитуда колебаний) и что каждая точка х струны в процессе колебаний смещается перпендикулярно оси х. Колебания струны происходят в плос-кости Охy. Обозначим ор-динату точки х в момент времени t через U(x,t)

(рис. 24).

1. В начальный момент времени форма U и скорость струны известны: Работа, совершаемая при деформировании струны равна произведению натяжения струны. Т_о на ее удлинение. Она равна (57)

2. Здесь интеграл, стоящий в скобках дает длину деформированной струны, а все выражение – удлинение струны. Разложим радикал в биноминальный ряд, пренебрегая в силу малости |х| членами, содержащими в степени выше второй

≈1+ .

Тогда

и получаем для потенциальной энергии струны выражение

Если на струну действует внешняя сила F(x,t), рассчитан-ная на единицу массы, то к потенциальной энергии следует добавить член . Следовательно, потенциальная энергия струны равна U= Кинетическая энергия струны равна , где - известная плотность струны. Для функции Лагранжа получаем выражение или .

Действие выражается двойным интегралом

.

Так как действие должно иметь стационарное значение I=0, то должно удовлетворяться уравнение Эйлера

или .

Если струна однородна, то (х)=₀. Обозначив , получаем

(*)

Это – уравнение вынужденных колебаний струны. Если внеш-няя сила отсутствует F=0, то получаем уравнение свободных колебаний струны

. (**)

Мы приходим к краевой задаче:

Найти решение уравнения (*) или (**) при начальных усло-виях

и краевых условиях

U(c,t)=0, U(l,t)=0. (58)