6.5. Продольные колебания стержня

Рассмотрим колебания прямолинейного стержня располо-женного вдоль оси х в ненагруженном состоянии от х=0 до x=l. Пусть U(x,t) – отклонение точки х стержня в момент t вдоль оси х. На стержень действует продольная внешняя сила с плотностью f(x,t), а концы стержня упруго заделаны с коэффициентами упругости α_l и α₀. При относительном удлинении элемента стержня в этом элементе по закону Гука возникает сила упругости

, (*)

где S площадь поперечного сечения стержня, Е – модуль упру-гости. Работа, необходимая для такого удлинения стержня из состояния U=0 равна

Коэффициент ½ появляется при вычислении среднего значе-ния силы при u=0 и u=dx.

Потенциальная энергия стержня в произвольно растянутом состоянии равна

Кинетическая энергия стержня равна ,

где  - объемная плотность материала стержня.

Считая стержень однородным, и применяя принцип Гамильтона, приходим к дифференциальному уравнению колебаний стержня:

f(x,t)- . (59)

Разделив обе части на S и обозначив и , получаем окончательно

Из формулы (*) получаются естественные граничные условия , , (**)

Это – однородные граничные условия 3-го рода. Если какой-либо из концов, например, правый, свободен, то α_l=0, и соответствующее граничное условие имеет вид:

Это граничное условие 2-го рода. Наконец, абсолютно жесткий заделке отвечает α_l= . Поделив второе условие (**) на α_l и устремив α_l к , получаем граничное условие 1-го рода .

6.6. Поперечные колебания стержня

Пусть стержень длины l имеет линейную плотность =(x) и направлен вдоль оси х. На стержень действует сила F(x,t), рассчитанная на единицу массы и направлена перпендикулярно к стержню в положении равновесия. Стержень работает на изгиб (но не на растяжение). Обозначим через U(x,t) отклонение точки стержня от положения равновесия. Начальные условия:

U=f(x), при t=0.

Краевые условия: U(0,t)=U(l,t); .

При изгибе стержня в каждом его элементе возникает восстанавливающий момент М, который будем считать пропорциональным кривизне с постоянным коэффициентом пропорциональности , (зависящим от материала стержня и момента инерции поперечного сечения стержня). Работа, совершаемая для такого изгиба из прямолинейного состояния, равна . Так как , , то работа преобразуется к виду . Проведя линеаризацию, получим для малых колебаний приближенное значение . Таким образом, с учетом действия внешней силы потенциальная энергия стержня равна . Кинетическая энергия стержня равна и функция Лагранжа имеет вид L=T-U