2.3. Экстремум функционала
Если функционал
исследуется на экстремум и функция
«подозрительна» в качестве «точки»
экстремума, то значение функционала
сопоставляется с его значениями на
некотором множестве функций
,
называемых функциями сравнения. К
этому множеству принадлежит и
.
Составим разность
на указанном множестве сравнения.
Если
,
то имеет место минимум, а если
,
то максимум.
Окрестностью нулевого порядка или
сильной окрестностью
называется множество непрерывных
функций сравнения
таких, что при некотором числе
,
,
.
Окрестностью первого порядка или слабой окрестностью называется множество кусочно-гладких функций сравнения таких, что при некотором ,
,
.
Минимум (максимум) функционала , достигаемый на в ее сильной окрестности, называется сильным минимумом (максимумом) функционала .
Минимум (максимум) функционала
,
достигаемый на
в ее слабой окрестности, называется
слабым минимумом (максимумом) функционала
.
Очевидно, что если на кривой
достигается сильный экстремум, то
подавно достигается и слабый, т.к. если
кривая близка к
,
в смысле близости первого порядка, то
она близка и в смысле близости нулевого
порядка.
При постановке задач вариационного исчисления следует указывать какого характера экстремум разыскивается и в каком классе функций. Далее будут использоваться следующие классы функций:
- непрерывных на отрезке
,
- имеющих непрерывную производную
(гладких) на
,
- имеющих непрерывную производную
порядка m на
,
- непрерывных, имеющих кусочно-непрерывную
производную, причем производная имеет
разрывы лишь первого рода.
2.4. Необходимое условие экстремума
Это условие совершенно аналогично
необходимому условию экстремума функций
одной или нескольких переменных. Пусть
некоторая функция
реализует локальный экстремум функционала
в выбранном классе функций, причем этот
функционал имеет вариацию
,
т.е. допускает вблизи
линеаризацию.
Теорема. Если функционал , имеющий вариацию, достигает экстремума при , где -внутренняя точка определения функционала, то при
(7)
Пусть для определенности при
функционал имеет минимум, и
для некоторой
.
Запишем приращение функционала для
,
где k-скаляр. Получим в
соответствии с (2):
.
При малых
левая часть должна быть положительной
(для минимума!), а правая имеет знак k,
учитывая оценку члена
.
То есть она может быть как больше нуля,
так и меньше нуля. Получили противоречие,
что и доказывает необходимость условия
(7).
Замечание. В ряде задач рассматривается экстремум функционала не среди всех функций, а только среди функций, удовлетворяющих некоторым добавочным линейным неоднородным условиям, например
,
(8)
В этом случае необходимое условие экстремума (7) должно восполняться для любой вариации , удовлетворяющей однородным условиям
,
(9)
Действительно, для таких
функция
также удовлетворяет условиям (8) и можно
повторить то же доказательство, что и
для вывода условия (7).