Задачи для самостоятельного решения

1. Найти решение с одной угловой точкой в задаче о минимуме функционала .

2. Существуют ли решения с угловыми точками в задаче об экстремуме функционала ; .

3. Существуют ли решения с угловыми точками в задаче об экстремуме функционала .

4. Найти условие для функционала .

5. Пользуясь основным необходимым условием экстремума δI=0, найти функцию, на которой может достигаться экстремум функции ; не задано.

6. Найти кривые, на которых может достигаться экстремум функционала y(0)=0; y(10)=0 при условии, что допустимые кривые не могут проходить внутри круга, ограниченного окружностью .

7. Найти функцию, на которой может достигаться экстремум функционала, если другая граничная точка может скользить по прямой .

8. Пользуясь лишь основным необходимым условием экстремума δI=0, найти кривую, на которой может достигаться экстремум функционала, если вторая граничащая точка может перемещаться по окружности .

Ответы и указания

1. y= -x при 0≤x≤1; y=x-2 при 1≤x≤4 и y= x при 0≤x≤3; y= -x+6 при 3≤x≤4. На той и другой ломаной функционал достигает абсолютного максимума.

2. Не существует.

3. Ломаные, проходящие через заданные граничные точки, составленные из прямолинейных отрезков с угловыми коэффициентами и .

4. , т.е. экстремумы должны пересекать кривую

, по которой скользит граничная точка, под углом .

5.

6. ; при при при т.е. кривая состоит из отрезка прямой, касающейся окружности, дуги окружности и снова отрезка касательной к окружности.

7.

8. Дуга окружности

4. Достаточные условия экстремума

4.1 Вариации высших порядков

Запишем для приращения функционала ряд, аналогичный ряду Тейлора

(31) Здесь -вариации второго, третьего и т.д. порядков функционала I. Каждая из них получается путём варьирования предыдущей ( и т.д.), в процессе которого считается не зависящим от y, т.е не варьируется.

Члены в правой части (31) имеют последовательно первый, второй, третий и т.д. порядки малости относительно . С учётом членов второго порядка малости приращение функционала имеет вид

 (32)

В конкретных примерах разложения (31) и (32) получаются с помощью обычного ряда Тейлора.

Пример 16. (*) Найти .

Решение: Запишем

где в и т.д. должны быть подставлены значения . Отсюда следует уже ранее полученное выражение для первой вариации

и

(3.3)

здесь, очевидно, .

4.2 Условия экстремума в терминах второй вариации

Пусть функционал I[y] принимает для стационарное значение , т.е. выполнено основное необходимое условие для экстремума . Тогда при в правой части (2) первый член отсутствует, поэтому главный становится второй. Поэтому, как и в случае экстремума функции нескольких переменных, приходим к следующим выводам:

если для любой , то при функционал имеет минимум;

если для любой , то при функционал имеет максимум;

если может принимать значения обоих знаков, то при функционал имеет минимакс и экстремума нет.

Единственный случай, когда по нельзя судить о наличии экстремума, тот, когда менять знак не может, но может обращаться в нуль.