7. Общая схема вариационного подхода к физическим задачам

Принцип Гамильтона в соответственном видоизменении можно применять к широкому классу физических колебаний. В его основе всегда лежит функция Лагранжа, а для полей – плотность функции Лагранжа. При этом составление функции Лагранжа не всегда так просто, как в задачах механики, поскольку для других типов полей часто трудно бывает отчетливо отделить кинетическую энергию от потенциальной. Например, энергия заряда, движущегося в магнитном поле, имеет черты как кинетической энергии (зависит от скорости движения), так и потенциальной (зависит от поля). Поэтому иногда приходится исходить в простейших задачах из уравнений движения, подгонять их под вид уравнений Эйлера, а затем, сравнивая несколько простейших задач, пытаться определить функцию Лагранжа, которую можно было распространить и на более сложные задачи. Помогает при этом выявление скалярных инвариантов рассматриваемой задачи, так как функция Лагранжа и ее плотность должны выражаться через эти инварианты.

Пусть плотность L функции Лагранжа выбрана. Обычно она выражается через некоторые скалярные полевые переменные _i=_i(₁,₂,₃,₄) (i=1, 2, … n). Это величины, значения которых характеризуют состояние поля в данной точке пространства (₁,₂,₃) в данный момент времени t=₄, а также их производные . Некоторые из полевых переменных могут служить компонентами вектора или тензора. Кроме того, в случае неоднородного поля L может зависеть непосредственно от ₁,₂,₃, а в неавтономном – от ₄. Тогда полный интеграл, который служит обобщением интеграла действия, имеет вид

. …………………. (63)

и должен быть инвариантом относительно преобразований, допустимых в рассматриваемой теории. Требование стацио-нарности интеграла (63) при заданных граничных условиях приводит к системе уравнений Эйлера

, … (64)

которые в механике называются уравнениями Лагранжа.

При включении в рассмотрение точечных, линейных и поверхностных масс, зарядов и т.п. к интегралу (63) могут добавиться интегралы меньшей размерности.

Если к L добавляется выражение дивергентного типа

,

к интегралу (63) добавится слагаемое, определяемое граничными условиями, а система уравнений Эйлера не изменяется.

Величина

(i=1,2,…,n) ………………(65)

Называется плотностью канонического импульса.

В задачах механики она называется плотностью обобщенного импульса. Перепишем уравнения (64) в виде, подобном закону Ньютона.

.

В правой части получаем аналог плотности обобщенной силы; при этом первый член часто бывает, связан с наличием внешних сил, действующих на поле, а второй – с воздействием поля на величину .

Квадратная матрица W четвертого порядка с элементами ,(i≠j), , …………. (66)

Называется матрицей напряжения - энергии. В частности , (67)

есть плотность энергии поля. Если L, а также пространствен-ная область G, занятая полем, и значения всех величин на границе G не зависят от t, то интеграл не зависит от t.

Выразив, если это возможно, из равенств (65) величины через все остальные и подставив результат в (67), получим выражение H через координаты, полевые переменные, их пространственные производные и канонические импульсы. Если, переписать интеграл (63) в виде

и записать соответствующую систему уравнений Эйлера, то получим каноническую форму

, , (r=1, 2, …,n) (68)

системы (64).

Исходя из выражений (66) и пользуясь уравнениями (64), можно проверить непосредственно, что

(i=1,2,..,n)…………….... (69)

Здесь в левой части стоят полные производные, составленные с учетом зависимости от всех и , тогда как в правой части производная берется лишь по _I, явно входящему в L.

Будем для простоты считать координаты , , декартовыми ( =х, =y, =z) и обозначим вектор .

Тогда, если L не зависит от t, то из (69) при i=4 получаем .

Следовательно, вектор представляет плотность потока энергии поля, поэтому его называют вектором интенсивности поля. Вектор называется плотностью импульса поля. Из (69) видно, что если L не зависит от , , , то

( , , ).

7.1. Уравнения движения упругой среды.

Рассмотрим вывод основных уравнений движения упругой среды в однородном изотропном случае. Пусть , , - декартовы координаты и - поле перемещений упругой среды.

Возьмем тензор деформации с компонентами

ﻉ_ij …………………….. (70)

Наряду с ним в теории упругости рассматривается, евклидов тензор напряжений с компонентами , каждая из которых равна j-й проекции силы (отнесенной к единице площади), с которой среда действует на малую площадку с внешней нормалью по i-й оси. Это симметрические тензоры, связанные в случае изотропной среды при малых деформациях (при линейном законе упругости) соотношением: ﻉ_rr ﻉ_ij, где постоянные и  определены упругими свойствами среды. Они связаны с другими упругими характеристиками. Так, в случае простого растяжения, т.е. когда , будет

ﻉ₁₁= , , ﻉ₁₂=ﻉ₂₃=ﻉ₁₃=0.

Поэтому - это и есть модуль упругости Е. Отношение - поперечного сжатия к продольному растяжению называется коэффициентом Пуассона. В случае всестороннего сжатия, т. е. когда (изотропное давление), получаем . Так как сумма равна относительному увеличению элементарного объема, то константа является модулем всестороннего сжатия изотропной упругой среды.

Мысленно выделив элементарный кубик с ребрами, параллельными осям координат, и проследив за его деформацией при возрастании напряжения от нуля, получаем, что при этом накапливается потенциальная энергия с плотностью

.

В силу (70) отсюда получаем

Плотность кинетической энергии равна

,

где - плотность среды. Отсюда можно написать выражение для плотности функции Лагранжа T – U. Полевыми парамет-рами будут служить три проекции вектора перемещения. Уравнение Лагранжа-Эйлера (64) принимает вид

(i=1,2,3).

Умножая на орты координатных осей и складывая, приходим к уравнению свободных колебаний упругой однородной изотропной среды

,

являющееся основным в теории упругости.