Учебное пособие 1816

б) координаты вектора v = B x в базисе i , j,k , если x = 3 j −k .

Таким образом, вектор v =19i −3 j −9k .

8.4. Операции над линейными преобразованиями

Пусть заданы два линейных преобразования A и B в линейном пространстве R и соответствующие им матрицы A и B в некотором базисе.

1. Сложение линейных преобразований

Суммой преобразований A и B называется такое преобразование D =A +B , которое определяется равенством

81

D x = A x + B x для любых x R .

Ясно, что преобразованию D =A +B будет соответствовать сумма матриц A и B . Кроме того, понятно, что рассмотренное преобразование D будет линейным, так как линейны преобразования A и B .

2. Умножение линейного преобразования на число

Произведением линейного преобразования A на вещественное число λ называется такое преобразование D = λA , которое определяется равенством

D x = λA x для любых x R .

Ясно, что преобразованию D = λA будет соответствовать матрица λA . Кроме того, понятно, что рассмотренное преобразование D будет линейным, если A – линейное преобразование. Действительно,

D (x + y)= λA (x + y)= λ(A x + A y)= λA x +λA y = D x + D y ;

D (αx )= λA (αx )=αλ(A x )=αD x .

3. Умножение линейных преобразований

Произведением линейных преобразований A и B называется такое преобразование D = AB , которое определяется равенством

D x = A (B x ) для любых x R .

Таким образом, произведение линейных преобразований представляет собой последовательное применение преобразований: сначала к элементу x применяется преобразование B , а затем к вектору B x применяется преобразование A . В итоге получается суперпозиция преобразований. Преобразование D = AB является линейным (см., например, [3, §5, с.45]).

Как известно, каждому линейному преобразованию в заданном базисе соответствует некоторая матрица. Пусть D матрица линейного преобразования D , X – координатный столбец произвольного вектора x R , Z – координатный столбец вектора z = D x . В матричной форме равенство z = D x имеет вид

Z = D X = A (B X) = (A B) X .

82

– существует обратная матрица A−1. Эта матрица A−1 является матрицей линейного преобразования A -1 в базисе {e1, e2 ,..., en } (см., например, [1, гл. 3, §2, с. 110]).

Заметим, что если A и B – невырожденные линейные преобразования, то таким же будет и их произведение, причем

(AB)−1 =B −1A −1.

Для матриц A и B этих преобразований соответственно имеет место формула (AB)−1 =B−1A−1 ([1, гл. 3, §2, с. 111]).

8.5. Изменение матрицы линейного преобразования при переходе к новому базису

Теорема. Пусть {e1, e2 ,..., en } и {e1', e2 ',..., en '} – два базиса линейного

пространства Rn , A – линейное преобразование, которому соответствуют матрицы A и A' в данных базисах. Тогда справедлива формула

A' = P−1AP ,

где P – матрица перехода от старого базиса к новому.

Доказательство. Разложим произвольный вектор x Rn по векторам старого и нового базисов:

x= x1e1 + x2e2 +... + xnen ,

x= x1' e1'+x2 ' e2 '+... + xn 'en ' .

Вматричной форме связь между координатами вектора в старом базисе

ив новом можно записать следующим образом:

84

Обозначим

тогда

X = PX' или X' = P−1X .

Аналогично, разложим вектор y = A x Rn по векторам старого и нового базисов:

y = y1e1 + y2e2 +... + ynen ,

y= y1' e1'+y2 ' e2 '+... + yn ' en ' .

Вматричной форме связь между координатами вектора в старом базисе

ив новом можно записать в следующем виде:

Y = PY' или Y' = P−1Y ,

где

С другой стороны,

Y = AX или Y' = A' X' .

85

Тогда

Y' = P−1Y = P−1AX = P−1APX' .

Отсюда следует

A' = P−1AP .

Таким образом, для того, чтобы иметь матрицу линейного преобразования в любом базисе, достаточно знать эту матрицу в некотором базисе и соответствующую матрицу перехода к новому базису.

Следствие. Определитель матрицы линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Действительно, detA' = (detP−1 ) (detA) (detP)= detA .

86

Лекция 9

Собственные векторы и собственные значения линейных преобразований

9.1. Определения и свойства собственных векторов и собственных значений

Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного

Число λ называется собственным значением линейного преобразования A , соответствующим вектору x .

Свойства собственных векторов и собственных значений

1. Если x – собственный вектор линейного преобразования A с собственным значением λ , то вектор αx также будет собственным вектором с тем же самым собственным значением λ . Другими словами, собственные векторы определяются с точностью до постоянного множителя.

Доказательство. Пусть выполняется условие (9.1), тогда

A(αx )=αA (x )=αλx = λ(αx ).

2.Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение.

Доказательство. Предположим, что вектору x соответствуют два собственных значения λ1 и λ2 , тогда

A x = λ1x , A x = λ2 x .

Вычитая из первого равенства второе, получим

θ = (λ1 −λ2 )x .

Так как x по определению ненулевой вектор, то λ1 = λ2 .

87

3. Сумма линейно независимых собственных векторов, отвечающих одному собственному значению, будет собственным вектором с тем же самым собственным значением.

Доказательство. Пусть x1 и x2 – собственные векторы линейного преобразования A , причем обоим соответствует одно собственное значение λ . Тогда

A x1 = λx1 и A x2 = λx2 ;

A(x1 + x2 )= A x1 + A x2 = λ(x1 + x2 ).

Всилу линейной независимости векторов x1 и x2 , (x1 + x2 )≠θ и учитывая последнее равенство, получаем, что вектор (x1 + x2 ) является собственным вектором линейного преобразования с собственным значением λ .

4.Число линейно независимых собственных векторов линейного преобразования не превышает размерности пространства.

5.Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство. Данное свойство доказывается по индукции. Мы ограничимся проверкой свойства для двух собственных векторов, принадлежащих различным собственным значениям. Полное доказательство можно найти в [2, гл. 4, §4, с. 217].

Пусть x1 и x2 – собственные векторы линейного преобразования с соответствующими различными собственными значениями λ1 и λ2 . Предположим противное, т.е. что x1 и x2 линейно зависимы, тогда существует нетривиальная комбинация

α1x1 +α2 x2 =θ .

Пусть для определенности α1 ≠ 0 , тогда

x1 = −α2 x2 = Cx2 , C ≠ 0 .

α1

Вектор x2 является собственным с собственным значением λ2 , но, с другой стороны, так как x1 = Cx2 , то вектор x1 является собственным с собственным значением λ2 и, следовательно, λ1 = λ2 , что противоречит условию.

88

9.2. Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного преобразования

Рассмотрим n -мерное линейное пространство, в нем некоторый базис и линейное преобразование A , действующее в этом пространстве. Пусть матрица этого преобразования в данном базисе имеет вид

Поставим задачу нахождения собственных векторов и собственных значений линейного преобразования A . Пусть искомый собственный вектор x имеет координаты (x1, x2 ,..., xn ), а соответствующее ему собственное значение равно λ . По определению собственного вектора A x = λx , или в матричной форме

A X = λ X или (A − λE) X = 0,

x1

где X = xM2 – неизвестная пока ненулевая матрица-столбец, а λ – неизвест-

xn

ное число. Последнее матричное уравнение эквивалентно системе линейных уравнений:

Получена система линейных однородных уравнений для определения собственных значений λ и собственных векторов x . Эта система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, то есть.

89

Последнее условие означает, что собственное значение λ удовлетворяет уравнению (9.3).

Левая часть уравнения (9.3) представляет собой многочлен ϕn (λ) n -ой степени относительно λ . Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы A , а уравнение (9.3), записанное в виде

называется характеристическим, или вековым уравнением.

Уравнения (9.3) и (9.3′) позволяют определить собственные значения преобразования A (или матрицы A ), а по собственным значениям λ далее становится возможным нахождение собственных векторов из системы (9.2).

Согласно основной теореме алгебры, многочлен n -ой степени имеет ровно n корней вещественных или комплексных с учетом их кратности. Нас будут интересовать только вещественные корни характеристического уравнения. Может случиться так, что характеристическое уравнение не имеет ни одного вещественного корня и, следовательно, линейное преобразование не имеет вещественных собственных значений и собственных векторов. Таким образом, не у всякого линейного преобразования есть собственные векторы (см. ниже пример 3).

Покажем, что характеристический многочлен не зависит от выбора ба-

зиса.

Пусть

ϕn (λ) = det(A − λE)

–характеристическое уравнение для матрицы A в старом базисе, а P – матрица перехода от старого базиса к новому. Тогда в новом базисе характеристический многочлен примет вид

ϕ~n (λ) = det(P−1AP −λP−1EP)= det P−1 det(A −λE)det P = det(A −λE).

Пример 1. Тождественное преобразование E x = x . Согласно формуле (9.1) любой ненулевой вектор линейного пространства является собственным для преобразования E , причем соответствующее собственное значение равно единице (E x = x =1 x ).

Пример 2. Проектирование векторов трехмерного пространства на плоскость (рис. 5). В этом случае любой вектор плоскости будет

90