Учебное пособие 1816

Пример 1. Рассмотрим подробнее пример о векторе напряжений, вычисляемый по формуле

σn =S n ,

где nr – единичный вектор нормали, а S – тензор (матрица) напряжений

которая является симметричной на основании закона парности касательных напряжений. При переходе к новому базису, составленному из собственных ортонормированных векторов, матрица напряжений принимает диагональный вид

где числа σ1,σ2 , σ3 – собственные значения преобразования S , называемые главными напряжениями, соответствующие главным направлениям n1 , n2 , n3 .

σn1 =σ1 n1

n1

Рис. 8. Главные векторы и главные направления

Пусть вектор nr1 – собственный вектор, отвечающий собственному значению σ1 , то есть S nr1 =σ1 n1 , с другой стороны, σrn1 = S nr1 , тогда,

101

Решаем полученное квадратное уравнение и находим главные напряжения:

Приводя подобные, окончательно получим формулу

Пример 3. Пусть A – линейное преобразование, действующее в трехмерном евклидовом пространстве, имеет в ортонормированном базисе e1, e2 , e3 матрицу

Требуется указать ортонормированный базис пространства, в котором матрица линейного преобразование A имеет диагональный вид, и привести матрицу A к диагональному виду.

Найдем собственные значения и собственные векторы матрицы A в базисе e1,e2 ,e3 . Для этого составим характеристическое уравнение

и решим его:

λ1 = λ2 = −1, λ3 = 2 .

Поскольку матрица A симметричная в ортонормированном базисе, то линейное преобразование A является симметричным и соответствующие ему собственные векторы будут попарно ортогональны. Найдем эти собственные векторы. Для этого составим систему (см. формулу (9.2)):

103

Для λ1 = λ2 = −1 система (10.4) принимает вид

x1 + x2 + x3 = 0,x1 + x2 + x3 = 0,

x1 + x2 + x3 = 0.

Второе и третье уравнения эквивалентны первому, поэтому их можно не рассматривать и решать только одно уравнений:

x1 + x2 + x3 = 0 .

Его решением будет

x2 = C2 , x3 = C3 , x1 = −C2 −C3 , где −∞ < C2 ,C3 < +∞.

Полагая C2 = 0, C3 =1, получим x3 =1, x2 = 0, x1 = −1. Следовательно, один собственный вектор, отвечающий собственному значению λ = −1, име-

ет вид x1 = (−1,0,1) .

Для нахождения второго собственного вектора, соответствующего тому же самому собственному значению λ = −1, будем использовать ортогональность собственных векторов, т.е. условие

(x1, x2 )= −1 x1 +0 x2 +1 x3 = 0 .

При этом получим неопределенную систему

− x1 + x3 = 0,x1 + x2 + x3 = 0.

Найдем ее решение:

x3 = C , x1 = C , x2 = −2C , где −∞ < C < +∞.

Полагая, например, C =1, получим x3 =1, x1 =1, x2 = −2 . Следователь-

104

но, второй собственный вектор, отвечающий кратному собственному значению λ = −1, имеет вид x2 = (1,−2,1) .

Для λ3 = 2 система (10.4) принимает вид

−2x1 + x2 + x3 = 0,x1 −2x2 + x3 = 0,

x1 + x2 −2x3 = 0.

Третье уравнение системы является следствием предыдущих (проверьте это), поэтому

x3 = C , x2 = C , x1 = C , где −∞ < C < +∞.

Полагая, например, C =1, получим x3 =1, x2 =1, x1 =1. Следовательно, собственный вектор, отвечающий собственному значению λ3 = 2 , имеет вид x3 = (1,1,1) .

Проверка для каждого собственного вектора легко осуществляется.

Составим ортонормированный базис e1',e2 ',e3 ' из полученных собственных векторов. Для этого сначала найдем длину каждого собственного вектора, а затем пронормируем его:

105

Отметим, что матрица P является ортогональной ( P−1 = PT ), так как столбцы являются ортонормированными, и собственной, так как det P =1.

В итоге мы получаем, что в ортонормированном базисе e1',e2 ',e3 ' матрица A примет диагональный вид A' :

Для того, чтобы проверить правильность полученного результата воспользуемся известной формулой, связывающей матрицы линейного преобразования в разных базисах:

A' = P−1AP = PT AP .

Действительно,

10.4. Ортогональные преобразования.

Определение. Линейное преобразование в евклидовом пространстве

En называется ортогональным, если в некотором ортонормированном базисе его матрица является ортогональной.

Напомним, что ортогональные матрицы определяются как удовлетво-

106

ряющие соотношению QT = Q−1 .

Кроме того, важно, что ортогональное преобразование переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный.

Теорема. Ортогональное преобразование не меняет скалярного произведения векторов евклидова пространства En , т.е.

(Qx,Qy)= (x, y) для любых x, y En .

Доказательство. Пусть e1,e2 ,...,en – некоторый ортонормированный базис в En , в котором матрица преобразования Q ортогональна, Для векторов x, y En верны следующие разложения:

x = x1e1 + x2e2 +... + xnen , x En ,

y = y1e1 + y2e2 +... + ynen , y En .

Можно записать:

(x, y)= x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn .

Найдем соответствующие образы:

Qx = x1Qe1 + x2Qe2 +... + xnQen ,

Qy = y1Qe1 + y2Qe2 +... + ynQen .

Здесь Qe1,Qe2 ,...,Qen будет ортонормированным базисом. Следовательно,

(Qx,Qy)= x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn ,

т.е.

(Qx,Qy)= (x, y).

107

Следствия из теоремы

1.Ортогональное преобразование не меняет норму вектору.

2.Ортогональное преобразование не меняет углов между векторами.

Свойства ортогональных преобразований

Приведем свойства ортогональных преобразований, которые соответствуют свойствам ортогональных матриц.

1.Ортогональные преобразования являются невырожденными.

2.Для ортогонального преобразования существует обратное преобразование, которое также является ортогональным.

3.Преобразование, соответствующее матрице транспонированной к матрице ортогонального преобразования в ортонормированном базисе, является обратным преобразованием.

4.Произведение ортогональных преобразований также является ортогональным преобразованием.

10.5. Построение ортогонального преобразования

Для построения ортогонального преобразования в евклидовом пространстве En достаточно найти ортогональную матрицу Qn×n . Как известно, у ортогональной матрицы столбцы (строки), если их рассматривать как векторы, образуют ортонормированную систему (см. лекцию 7). Следовательно, необходимо построить систему n ортонормированных векторов (строк или столбцов). Для этого можно применить процедуру ортогонализации ГрамаШмидта к некоторой системе векторов или осуществить следующий эвристический прием.

Сначала строиться n попарно ортогональных ненулевых n -мерных векторов, а потом каждый вектор нормируется. Матрица, в столбцах которой расположены компоненты этих векторов, будет ортогональной.

Для построения n попарно ортогональных ненулевых n -мерных векторов в качестве первого рассматривают любой вектор

108

x1 = (q11, q21,..., qn1 ),

у которого хотя бы одна из компонент отлична от нуля. Второй вектор системы

x2 = (t1,t2 ,...,tn )

определяют как ненулевой вектор такой, чтобы x2 и x1 были ортогональны, т.е.

q11t1 + q21t2 +... + qn1tn = 0 .

Последнее уравнение имеет бесчисленное множество решений. Это одно уравнение с n неизвестными, где, по крайней мере, один коэффициент отличен от нуля. Выбираем какое-нибудь ненулевое решение:

t1 = q12 , t2 = q22 ,..., ti = qi2 ,..., tn = qn2 .

Далее по аналогии определяем третий и последующие векторы. Если

гонален каждому вектору x1, x2 ,..., xk , то есть

(xi , xk +1 )= 0 , i =1,2,...,k .

Расписывая указанные k равенств в координатной форме, получаем систему k линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, которая имеет бесконечное множество решений, из которого выбираем любое ненулевое решение:

Далее полученная система векторов x1, x2 ,..., xn нормируется и их координатами заполняют столбцы (строки) ортогональной матрицы.

Пример. Построить ортогональное преобразование трехмерного евклидова пространства, отличное от тождественного.

109

Решение. Построим сначала ортогональную матрицу третьего порядка. Возьмем произвольный ненулевой вектор

x1 = (−2,1, 2).

Координаты вектора x2 = (t1,t2 ,t3 ) найдем из уравнения

−2t1 +t2 +2t3 = 0 .

Его решением будет

является ортогональной, следовательно, преобразование Q , имеющее в ортонормированном базисе матрицу Q , является ортогональным.

110