Учебное пособие 1816
.pdf
|
|
№14. |
Найти |
собственные |
|
|
значения |
и |
собственные |
векторы |
линейного |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
−3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
преобразования, заданного матрицей |
|
A = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
№15. |
Даны |
координаты |
векторов |
a = (2,4,1) , |
|
|
= (−1,1,1) , c = (2,4,2) |
|
и |
||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= (0,6,4) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
а) доказать, что векторы a , |
|
|
и c образуют базис; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
б) найти координаты вектора d |
в базисе a , b , c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров |
1×3 |
|
|
со |
|||||||||||||||||||||||
скалярным |
произведением |
(x, y)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , |
где |
|
x = (x1 |
x2 |
x3 ), |
||||||||||||||||||||||
|
y = (y1 |
y2 |
y3 ) по данному базису |
g1 = (1 |
3 |
|
− 2), g2 = (0 |
4 |
4), g3 = (2 0 |
|
|
1) |
|||||||||||||||||
построить |
ортонормированный |
базис |
e1, e2 , e3 . |
Найти |
угол |
между |
векторами |
||||||||||||||||||||||
x = −7e1 + e2 −2e3 , y = e1 −5e2 + e3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a |
и B x =[x, a ] |
евклидова |
|||||||||||||||||||||||||
пространства свободных векторов найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i |
j, k , |
если a = 2i +4 j +k ;
б) координаты векторов u = A x и v = B x в базисе i , j, k , если x = −5i + j .
2 |
2 |
0 |
|
|
|
|
1 |
−3 |
1 |
|
e1 , e2 , |
№18. Дана матрица A = |
линейного преобразования в базисе |
||||
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании №15.
2 |
3 |
−4 |
||
|
3 |
2 |
0 |
|
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = |
|
|||
|
−4 |
0 |
2 |
|
|
|
линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить линию, определяемую данным уравнением:
10x2 +6xy + 2 y 2 +9 10x −5 10 y +100 = 0 .
152
|
|
|
|
№14. |
Найти |
собственные |
|
|
значения |
и |
|
|
собственные |
|
векторы |
линейного |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
преобразования, заданного матрицей |
|
A = |
|
−1 |
5 |
|
|
−1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
№15. Даны координаты векторов |
a = (2,1,4) , |
|
|
= (−1,1,1) , |
c = (2,2,4) |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= (8,11,22) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) доказать, что векторы a , |
|
|
и c образуют базис; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в базисе a , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
б) найти координаты вектора d |
b , c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
№16. В евклидовом пространстве |
вещественных |
|
матриц |
|
размеров 1×3 |
со |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
скалярным |
произведением |
(x, y) |
= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , |
где |
|
x = (x1 |
|
|
x2 |
|
|
x3 ), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = (y1 |
y2 |
|
|
y3 ) по данному базису |
g1 = (1 |
0 |
|
|
0), g2 = (0 |
5 |
|
1), g3 = |
(2 3 5) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
построить |
|
|
ортонормированный |
базис |
e1, e2 , e3 . |
Найти |
угол |
|
между |
|
векторами |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = −e1 +3e2 + e3 , y = e1 + 2e2 + e3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a |
и B x =[x, a ] евклидова |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространства свободных векторов найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i |
, j, k , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
если a = i |
−3 j ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
б) |
координаты |
векторов |
|
|
u = A x |
и |
|
v = B x |
в |
базисе |
|
|
, |
|
|
|
|
|
если |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
j, k , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x = 2i |
+3 j +k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
№18. Дана матрица A = |
|
−1 линейного преобразования в базисе e1 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , |
|
и |
c , указанном в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
задании №15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−2 |
|
|
0 |
|||||||||
|
|
|
№19. |
Указать |
базис |
пространства, |
в |
котором матрица |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A = −2 |
|
|
−2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
−2 |
5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить линию, определяемую данным уравнением:
5x2 +6xy +5y 2 −8 2x −16 2 y +10 = 0 .
154
№14. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
|
|
2 |
5 |
−6 |
|
преобразования, заданного матрицей A = |
|
4 |
6 |
−9 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
№15. |
Даны координаты |
|
векторов a = (2,1,3) , |
|
= (−1,5,4) , |
c = (−3,1,2) |
|
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= (−9,20,15) в базисе e1 , e2 , |
e3 линейного пространства R ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) доказать, что векторы a , |
|
|
и c образуют базис; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
б) найти координаты вектора d |
в базисе a , b , c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц |
размеров |
1×3 |
|
|
со |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
скалярным |
произведением |
(x, y)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , |
где |
|
|
x = (x1 |
|
|
x2 |
|
|
|
x3 ), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = (y1 |
|
y2 |
|
y3 ) |
по |
данному |
базису |
|
|
g1 = (− 2 |
−1 |
0), g2 = |
(0 |
|
4 |
|
|
|
3), |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
g3 = (2 |
2 |
|
1) построить |
ортонормированный |
базис e1, e2 , e3 . |
|
Найти |
угол |
между |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторами x = e1 +8e2 + e3 , y = e1 +5e2 −6e3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a |
и B x =[x, a ] |
|
евклидова |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространства свободных векторов найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i |
|
j, k , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
если a = i |
−4 j +k ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
б) |
|
координаты |
векторов |
|
|
u = A x |
и |
|
v = B x |
в |
базисе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
, j, k , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x = 6i |
+2 j +k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
№18. Дана матрица |
A = |
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
линейного преобразования в базисе |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
−2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , |
|
и |
c , |
указанном в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
задании №15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
№19. Указать базис пространства, |
в котором матрица |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A = |
линейного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить линию, определяемую данным уравнением:
2x2 +12xy +7 y 2 − 32132 x − 74132 y + 40 = 0 .
156
|
|
№14. |
Найти |
собственные |
значения |
и |
|
|
собственные |
|
|
векторы |
линейного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
преобразования, заданного матрицей |
|
|
0 |
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
A = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
№15. Даны координаты векторов |
a = (2,3,1) , |
|
= (−1,4,5) , c = (−3,2,1) |
|
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= (0,1,−3) в базисе e1 , e2 , |
e3 линейного пространства R ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) доказать, что векторы a , |
|
|
и c образуют базис; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в базисе a , |
|
|
, c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
б) найти координаты вектора d |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
№16. В евклидовом пространстве |
вещественных матриц |
|
|
размеров |
1×3 |
|
|
со |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
скалярным |
произведением |
(x, y)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , |
где |
|
|
x = |
(x1 |
|
x2 |
x3 ), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = (y1 |
y2 |
|
y3 ) по |
данному |
базису |
g1 = (1 |
0 |
2), g2 = (0 |
− 3 1), g3 = (1 1 |
|
|
1); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
построить |
ортонормированный |
базис |
e1, e2 , e3 . |
Найти |
угол |
|
|
между |
векторами |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = 3e1 + 2e2 + e3 , y = e1 −9e2 +11e3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a |
и B x =[x, a ] |
евклидова |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространства свободных векторов найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i |
j, k , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если a = i |
−6k ; |
векторов u = A x |
|
|
|
v = B x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
б) |
координаты |
и |
|
в |
базисе |
i |
, j, k , |
если |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x = −3i |
−2 j +k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 , |
|||||
|
|
№18. Дана матрица A = |
−2 линейного преобразования в базисе |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , |
|
|
и c , указанном в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
задании №15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
0 |
|||||||||
|
|
№19. |
Указать |
базис |
пространства, |
в |
котором матрица |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
−1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить линию, определяемую данным уравнением:
5x2 +12xy +5y 2 − 2x −10 2 y + 20 = 0 .
158
№14. Найти собственные |
значения |
и |
собственные векторы линейного |
||
преобразования, заданного матрицей |
|
3 |
1 |
0 |
|
|
−1 |
1 |
0 |
. |
|
|
A = |
|
|||
|
|
0 |
−1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
№15. Даны координаты векторов |
a = (−3,3,1) , |
|
= (5,1,−4) , |
c = (6,1,−2) |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= (−8,−4,−9) в базисе e1 , |
e2 , e3 линейного пространства R ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) доказать, что векторы a , |
|
|
и c образуют базис; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в базисе a , |
|
|
|
c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
б) найти координаты вектора d |
b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров |
1×3 |
|
со |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
скалярным |
произведением |
(x, y) |
= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , |
где |
x = |
(x1 |
|
|
x2 |
|
x3 ), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = (y1 |
y2 |
|
|
y3 ) по данному базису |
g1 = (1 5 |
|
|
0), g2 = (0 |
2 |
|
2), g3 = |
(1 0 3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
построить |
|
|
ортонормированный |
базис |
e1, e2 , e3 . |
Найти |
угол |
между |
|
векторами |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = 9e1 + e2 −8e3 , y = e1 + 2e2 + e3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a |
и B x =[x, a ] |
|
евклидова |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространства свободных векторов найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i |
|
j, k , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
если a = 2i |
+ j −2k ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
б) |
координаты |
векторов |
|
u = A x |
и |
|
v = B x |
в |
базисе |
|
|
|
|
|
|
|
если |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
, j, k , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x = 3i |
+9 j +k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№18. Дана матрица A = |
|
|
|
линейного преобразования в базисе e1 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , |
|
и |
c , указанном в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
задании №15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−4 |
−3 |
||||||||||
|
|
|
|
№19. |
Указать |
базис |
пространства, в |
котором матрица |
|
|
|
−4 |
1 |
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить линию, определяемую данным уравнением:
10x2 +14xy +10 y 2 −4 2x −13 2 y −40 = 0 .
160