Учебное пособие 1816

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

и квадратичную форму в матричном виде:

Φ(x, y) = XT A1X = (x y)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1912 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Лекция 11

Квадратичные формы

11.1. Основные определения

Рассмотрим применение линейной алгебры для исследования специального класса функций нескольких переменных, которые называются квадратичными формами.

Примерами квадратичных форм могут являться следующие функции:

1.Φ(x, y) = x2 −3xy +2 y2 ;

2.Ψ(x1, x2 , x3, x4 ) = x12 + x1x2 + x1x3 +2x3x4 − x32 .

Выражения, стоящие в правых частях таких функций, возникают, например, в уравнениях кривых и поверхностей. Переменные в эти функции входят либо во второй степени, либо перемножаются друг на друга.

Определение. Функция n переменных Φ(x1, x2 ,..., xn ) называется

квадратичной формой, если она имеет вид

n	n
Φ(x1, x2 ,..., xn ) = ∑∑aij xi x j ,			i, j =1,2,...,n .	(11.1)
i =1 j =1
Числа aij образуют квадратную матрицу размера n ×n
An×n	= (aij ), i,j =1,2,...,n ,
называемую матрицей квадратичной формы.
Введем обозначение вектора-столбца
	x1

	x2		,
	X =	M	,
		M


	xn

111

тогда выражение (11.1) можно записать в матричной форме:

a11

Φ(x1, x2 ,..., xn )= XTAX = (x1 x2 K xn ) aM21

an1

a12 K a1n

a22 K a2n

M O M

an2 K ann

x1xMn .xn

Отметим, что матрица A одной и той же квадратичной формы неоднозначна, так как фактически коэффициент cij при произведении переменных


xi	x j , i ≠ j равен сумме cij = aij +a ji . Поэтому, взяв произвольное значение
aij	и a ji = cij − aij , получим одну и ту же функцию Φ(x1, x2 ,..., xn ) . Учитывая
вышесказанное, в матрице A		берут aij = a ji =	cij	. Коэффициенты квадратич-

ной формы cii при xi2 = xi xi		2
		будут равны диагональным элементам матрицы

A , cii = aii . Тогда матрица квадратичной формы будет определяться однозначно по ее коэффициентам и будет всегда симметричной.

Пример 1. Рассмотрим квадратичную форму Φ(x, y) = x2 −3xy +2 y2 . Запишем матрицу квадратичной формы:

A1		1		− 3	2	,
A1	=	− 3		2	2	,
		− 3	2	2
			2

Пример 2. Рассмотрим квадратичную форму

Ψ(x1, x2 , x3, x4 ) = x12 + x1x2 + x1x3 +2x3x4 − x32 .

Запишем матрицу квадратичной формы:

112

	1		1	2	1	2	0
	1
		2	0		0		0	,
A2 =	1		0		−1		1
		2

	0		0		1		0

и квадратичную форму в матричном виде:

					1		1	2	1	2	0	x1
					1			2		2	0
Φ(x1, x2 , x3, x4 )= X	T	A2X = (x1	x2		1	2	0		0		0	x2
Φ(x1, x2 , x3, x4 )= X		A2X = (x1	x2	x3 x4 )	1	2	0						.
					1	2	0		−1 1			x3
						2	0		1		0
					0		0		1		0	x4

Пример 3. Дана матрица

1		−2	3
	−2	5
A =			−1 .
	3	−1	0

Требуется написать квадратичную форму, матрицей которой является симметричная матрица A , то есть требуется решить обратную задачу.

	1	− 2	3	x1
	−2	5			,
Φ(x1, x2 , x3 )= (x1 x2 x3 )	−2	5	−1	x2	,
	3	−1	0
	3	−1	0	x3

Φ(x1, x2 , x3 )= x12 +5x22 −4x1x2 +6x1x3 −2x2 x3 .

Рангом квадратичной формы называется ранг соответствующей матрицы квадратичной формы.

Квадратичная форма называется невырожденной, если ее матрица невырожденная. Очевидно, ранг невырожденной квадратичной формы равен числу переменных.

Квадратичные формы – это функции n переменных, принимающие любые действительные значения. Так как переменные квадратичных форм имеют одинаковые области определения, то равенство квадратичных форм

113

Φ1(x1, x2 ,..., xn ) и Φ2 (x1, x2 ,..., xn )

возможно тогда и только тогда, когда их матрицы совпадают.

11.2. Изменение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных

Определение. Линейным преобразованием переменных называется преобразование

x1 = b11 y1 +b12 y2 +... +b1n yn1,
	+b22 y2	+ +b2n yn ,
x2 = b21 y1			(11.2)

..............................................
	+bn2 y2	+ +bnn yn
xn = bn1 y1

или в матричной форме записи

X = BY ,

x1 где X = xM2 , Y

=yM2 ,yn

b11		b12	K b1n
		b22
b21			K b2n
B =	M	M	O M	.


		bn2
bn1			K bnn

Матрица B называется матрицей линейного преобразования перемен-

ных.

Линейное преобразование переменных называется невырожденным, если его матрица B невырожденная.

Линейное преобразование переменных называется ортогональным, если матрица B линейного преобразования ортогональная.

Рассмотрим квадратичную форму

n n

Φ(x1, x2 ,..., xn )= XT AX = ∑∑aij xi x j .

i=1 j =1

Преобразуем ее, используя формулу (11.2), Найдем новую матрицу C квадратичной формы:

114

Φ~ (y1, y2 ,..., yn )= YTCY .

Очевидно, что

Φ~ (y1, y2 ,..., yn )= XT A X = (BY)T A (BY)= YT BTAB Y = YT (BT AB)Y ,

т.е.

C = BTAB .

Таким образом, квадратичная форма Φ(x1, x2 ,..., xn ) с матрицей A при линейном преобразовании переменных X = BY переходит в квадратичную форму Φ~ (y1, y2 ,..., yn ) с матрицей C = BTAB , т.е.

Φ(x1, x2 ,..., xn )= XTAX = Φ~ (y1, y2 ,..., yn )= YT BY .

Матрица C будет симметрическая, как и матрица A :

CT = (BT AB)T = (AB)T (BT )T = BT AT B = BT AB = C .

Отметим также, что

detC = det(BT AB)= detBTdetAdetB = (detB)2 detA ,

то есть определитель матрицы квадратичной формы при невырожденных преобразованиях переменных сохраняет знак.

Пример. Найти квадратичную форму, полученную при линейном преобразовании переменных

квадратичной формы

Φ(x1, x2 )=17x12 +12x1x2 + x22 .

115

Сначала выпишем матрицу квадратичной формы

17		6
A =	6	12	,

и матрицуB линейного преобразования переменных

	1	− 6	17
B =			17	.
	0	1
	0	1

Тогда матрица C искомой квадратичной формы примет вид

T	1				0	17 6			1	−		6			17		0
T			6			17 6			1	−			17				100
C = B AB =		−	6	17					0				17		=	0	100	17
		−		17	1	6 12			0			1				0		17
и, следовательно,
				~			2		100			2
				Φ(y1, y2 )=17 y1				+	17		y2			.

11.2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Определение. Квадратичная форма называется канонической, или име-

ет канонический вид, если

aij = 0 , при i ≠ j , i, j =1,2,..., n ,

то есть квадратичная форма принимает вид

Φ(x1, x2 ,..., xn ) = ∑aii xi 2 =a11x12 +a22 x22 +... +ann xn2 .

i=1

Вэтом случае матрица квадратичной формы будет диагональной. Ясно, что канонический вид является простейшим видом квадратичной формы.

116

Пример 1.	Φ1(x1, x2 )= 2x12 +3x1x2		− x2	2	- квадратичная форма,		имею-
щая неканонический вид;
Пример 2.	Φ2 (x1, x2 )= 3x12 +2x2	2	- квадратичная форма, имеющая ка-
нонический вид;
Пример 3.	Ψ(x1, x2 , x3, x4 ) = −x12		+ x2	2	− x4	2 - квадратичная	форма,

имеющая канонический вид.

Канонический вид квадратичной формы называется нормальным, если модули всех ненулевых диагональных элементов ее матрицы равны единице (или говорят, что квадратичная форма имеет нормальный вид).

Нахождение по данной квадратичной форме с помощью линейного преобразования квадратичной формы канонического вида называется приве-

дением квадратичной формы к каноническому виду. Отметим, что для любой квадратичной формы существует неединственный канонический вид, полученный с помощью линейных преобразований. Известны способ Лагранжа10 (выделение полных квадратов), метод Якоби11 и ряд других способов приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью различных преобразований. Наиболее эффективен способ приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных. Остановимся на нем подробнее.

Квадратичную форму Φ(x1, x2 ,..., xn ) можно рассматривать как функцию от элементов x некоторого n -мерного пространства, где (x1, x2 ,..., xn ) есть координаты вектора x в некотором базисе {e1,e2 ,...,en }. Тогда линейное преобразование переменных X = BY есть не что иное, как изменение координат вектора x при переходе от старого базиса {e1,e2 ,...,en } к новому базису

10ЛАГРАНЖ Жозеф Луи (1736-1813) – французский математик и механик, член Берлинской академии наук, Парижской академии наук, почетный член Петербургской академии наук. Родился в Турине. Он получил важнейшие результаты в диофантовом анализе, теории алгебраических уравнений, вариационном исчислении, аналитической и небесной механике ( применение метода вариации произвольных постоянных, задача трех тел и др.), интегрировании уравнений с частными производными, сферической астрономии, картографии. Разработал метрическую систему мер. Сочинения Лагранжа по математике, астрономии и механике составляют 14 томов.

11ЯКОБИ Карл Густа Якоб (1804-1851) – немецкий математик, член Берлинской академии наук, Лондонского королевского общества, почетный член Петербургской академии наук, Венской академии наук, член-корреспондент Парижской, Мадридской и др. академий. Родился в Потсдаме. Якоби – один из создателей теории эллиптических функций, сделал важные открытия в области теории чисел, линейной алгебры, вариационного исчисления и теории дифференциальных уравнений, исследовал дифференциальные уравнения динамики, ввел в употребление функциональные определители, исследовал один из классов ортогональных многочленов.

117

{e1',e2 ',...,en '}, где X = xM2 – координаты вектора x в старом базисе,

y1			b11

y2		– координаты вектора x	b21
Y =	M		в новом базисе и B =	M



yn			bn1

матрица перехода от старого базиса к новому.

b12	K b1n
b22
	K b2n	-
M	O M


bn2
	K bnn

Поскольку матрица A квадратичной формы симметрическая, то существует ортонормированный базис из собственных векторов, в котором матрица A диагональна, причем по диагонали стоят ее собственные значения λ1,λ2 ,...,λn . Следовательно, сама квадратичная форма, записанная через ко-

ординаты вектора x в новом базисе x = ( y1		, y2 ,..., yn ) , будет иметь вид
n	2 =λ1 y12		2 +... +λn yn	2 .
Φ( y1, y2 ,..., yn ) = ∑λi yi		+λ2 y2			(11.3)

i =1

Отметим, что матрица перехода B от исходного базиса, который без ограничения общности можно считать ортонормированным, к базису из собственных векторов является ортогональной.

На основании изложенных ранее фактов получаем следующий способ нахождения ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду:

1)формируется матрица A данной квадратичной формы, и находятся собственные значения этой матрицы;

2)находится ортонормированная система собственных векторов мат-

рицы A ;

3)составляется ортогональное преобразование переменных (11.2);

4)записывается искомый вид квадратичной формы (11.3).

Пример. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка

17x2 +12xy +8y2 +20 5x +20 = 0

и построить линию, определяемую данным уравнением.

Во-первых, выпишем соответствующую заданному уравнению квадратичную форму

118

Φ(x, y) =17x2 +12xy +8y2

и ее матрицу

			17	6
		A =	6	8	.
Найдем собственные значения этой матрицы:
	17 −λ	6	= 0 , λ1 = 20, λ2 = 5.
	17 −λ	6	= 0 , λ1 = 20, λ2 = 5.
	6	8 −λ

Далее найдем собственные векторы и пронормируем их.

				2	2		5
При λ1 = 20	x1
		=		, а g1	=	1		;
				1			5

		−		1	−1		5
при λ2 = 5 x2
	=			, а g2	=	2			.
			2				5

Матрица ортогонального преобразования составляется из столбцов собственных ортонормированных векторов:

	2	−1
	5	5
B =	1	2	.
	1	2
	5	5

Составим линейное ортогональное преобразование переменных:

	2	x	′	−	1	′
x =	5	x		−	5	y ,
	5				5
	1				2
	1		′	+	2	′
y =	5 x			+	5	y .

Квадратичная форма будет иметь вид

119

Φ(x', y' ) = 20(x')2 +5(y')2 .

После применения ортогонального преобразования в новых переменных уравнение кривой второго порядка примет следующий вид:

′ 2	′ 2		2	x'−	1		+ 20	= 0 ,
20(x )	+5(y )	+ 20 5	5	x'−	5	y'	+ 20	= 0 ,
			5		5

или

20(x′)2 +5(y′)2 +40x′−20 y′+20 = 0 .

Теперь выделим полные квадраты при переменных x' и y', так что уравнение кривой второго порядка примет канонический вид

(x′+11)2 + ( y′−4 2)2 =1.

Получили уравнение эллипса, которое теперь легко построить (рис. 10).

Y′ Y

	2
	0′	X′
-1	0	X

Рис. 10. Эллипс в старой и новой системах координат

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1912 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.27 Mб6Учебное пособие 1811.pdf
#
30.04.20222.27 Mб4Учебное пособие 1812.pdf
#
30.04.20222.27 Mб3Учебное пособие 1813.pdf
#
30.04.20222.28 Mб4Учебное пособие 1814.pdf
#
30.04.20222.28 Mб2Учебное пособие 1815.pdf
#
30.04.20222.28 Mб6Учебное пособие 1816.pdf
#
30.04.20222.28 Mб3Учебное пособие 1817.pdf
#
30.04.20222.29 Mб4Учебное пособие 1819.pdf
#
30.04.2022314.93 Кб3Учебное пособие 182.pdf
#
30.04.20222.29 Mб19Учебное пособие 1820.pdf
#
30.04.20222.3 Mб3Учебное пособие 1822.pdf