Учебное пособие 1816

Лекция 8

Линейные преобразования

8.1. Основные определения

Если каждому элементу x линейного пространства R поставлен в соответствие элемент y этого же пространства R , то говорят, что в линейном пространстве R задано преобразование A (оператор A ):

A

x → y ,

которое обозначается следующим образом:

y = A (x) = A x .

Элемент y будем называть образом элемента (вектора) x .

В том случае, если соответствие устанавливается между элементами различных пространств, т.е. элементы x и y принадлежат различным про-

странствам, то говорят, что задано отображение. Преобразование является частным случаем отображения.

Преобразование A называется линейным, если для любых элементов x, y R и любого вещественного числа выполняются следующие условия:

1.A (x + y) = A x + A y ,

2.A (αx) =αA x .

8.2. Матрица линейного преобразования

Пусть {e1, e2 ,..., en } – базис линейного n -мерного пространства R . Для любого элемента x R и его образа y = A x справедливы равенства

x = x1e1 + x2e2 +... + xnen , y = y1e1 + y2e2 +... + ynen .

Очевидно,

y = A x = A (x1e1 + x2e2 +... + xnen )= x1A e1 + x2A e2 +... + xnA en .

71

и матрицы координат векторов x и y

то формулы (8.1) в матричной форме имеют вид

Y = A X .

72

Таким образом, в координатной форме линейное преобразование вектора осуществляется умножением некоторой квадратной матрицы на матрицу его координат.

Матрица A называется матрицей линейного преобразования. Отметим,

что i -й столбец матрицы A составлен из координат вектора A ei .

Таким образом, линейному преобразованию A в заданном базисе {e1, e2 ,..., en } линейного n -мерного пространства Rn соответствует матрица A . Очевидно и обратное, а именно: каждой квадратной матрице A в линей-

ном пространстве Rn соответствует линейное преобразование A .

Если определитель матрицы A равен нулю, то соответствующее ей линейное преобразование A называется вырожденным, если определитель матрицы A отличен от нуля, то линейное преобразование A называется не-

вырожденным.

8.3.Примеры линейных преобразований

1.Поворот векторов в плоскости на угол α против часовой стрелки вокруг начала координат.

Как уже отмечалось (лекция 4), множество векторов, лежащих в одной плоскости, можно рассматривать как двумерное линейное пространство, поставив каждому вектору, выходящему из начала координат, пару чисел (x, y) .

Рассмотрим теперь преобразование A , которое все векторы плоскости поворачивает вокруг начала координат на угол α против часовой стрелки.

Очевидно, что это преобразование является линейным, так как в данном случае безразличен порядок следующих действий: сложить два вектора и повернуть результирующий или повернуть два вектора и сложить результирующие. Аналогично безразлично, в каком порядке производить умножение вектора на число и поворот: умножить вектор на число и повернуть его или повернуть вектор и умножить на число (рис. 4).

Выберем в качестве базиса единичные, взаимно перпендикулярные векторы i = (1,0) и j = (0,1) . Построим матрицу преобразования A в этом базисе. Так как

Преобразование является невырожденным, действительно

73

Рис. 4. Поворот вектора в плоскости

2. Ортогональная проекция векторов трехмерного пространства на плоскость XOY .

Преобразование является линейным, так как, по свойствам проекций, проекция суммы есть сумма проекций, проекция произведения на число есть произведение числа на проекцию вектора (рис. 5).

Z

X

Рис. 5. Проекция векторов трехмерного пространства на плоскость

Найдем матрицу этого преобразования в базисе i , j , k . Если a = {x, y, z}, a A a ={x', y', z'}, то

x' = x,y' = y,

z' = 0.

74

Следовательно,

Преобразование является вырожденным, так как его матрица вырожденная.

Матрицу линейного преобразования можно также построить на основе преобразования векторов базиса. Учитывая, что

получаем ту же матрицу линейного преобразования

3. Симметричное отражение вектора в плоскости относительно оси

OX .

Преобразование, очевидно, является линейным, так как при симметричном отображении относительно оси OX сумма векторов преобразуется в сумму симметрично отраженных векторов. Аналогично свойство линейности проявляется при умножении вектора на число (рис. 6).

Y

a

A a

Рис. 6. Симметричное отражение вектора в плоскости

75

Найдем матрицу этого преобразования в базисе i , j . Если a ={x, y}, a

A a ={x', y'}, то

x' = x,y' = −y.

A = 1 0 , det A = −1 ≠ 0.

0 −1

Так как матрица A невырожденная, преобразование A является невырожденным.

Используя второй способ, получаем

4. Тождественное преобразование в линейном n -мерном пространст-

ве.

Преобразование A называется тождественным, если

A x = x .

Получаем матрицу линейного преобразования

76

Соответствующее этой матрице линейное преобразование обозначается

E .

5. Преобразование подобия в линейном n -мерном пространстве.

Преобразование подобия задается следующим образом:

A x = λx , где λ ≠ 0.

Следовательно, формулы, связывающие координаты элемента x = (x1, x2 ,..., xn ) и образа y = A x = (y1, y2 ,..., yn ), имеют вид

y1 = λx1,y2 = λx2 ,M

yn = λxn .

Матрица линейного преобразования принимает диагональный вид

Отметим, что тождественное преобразование является частным случаем преобразования подобия при λ =1.

Пример 1. Рассмотрим упругое тело, испытывающее деформацию, и выделим в нем элемент объема. Назовем вектором напряжений σn силу, дей-

ность результирующих сил на площади Q ). Вектор напряжения не обязательно перпендикулярен к элементу поверхности и, в общем случае, содер-

77

жит нормальную и касательную составляющие.

Покажем, что для любого элемента поверхности с заданным направлением нормали можно определить вектор напряжения, если в этой точке известны напряжения на площадках с тремя некомпланарными направлениями нормалей, направленными, например, вдоль осей прямоугольной системы координат.

Выберем в качестве элемента объема малый тетраэдр, три грани кото-

ры напряжения на площадках с нормалями, направленными вдоль осей координат X ,Y , Z .

Запишем условия равновесия бесконечно малого тетраэдра, вырезанного в твердом теле:

σn =σrx cosα +σy cos β +σz cosγ ,

известное из курса сопротивления материалов и теории упругости как равен-

ство Коши, где σrx , σry , σrz – векторы напряжения на гранях тетраэдра с нормалями ir, rj, kr

Коэффициенты в этих разложениях можно записать в виде матрицы

78

Смысл элементов матрицы ST заключается в следующем: коэффициентам с одинаковыми индексами соответствуют нормальные напряжения, а с различными индексами – касательные напряжения. Совокупность всех девяти коэффициентов представляет собой тензор напряжений, который удобно записывать в виде матрицы S – тензора напряжений.

Кроме того, известен закон парности касательных напряжений, указывающий на симметричность тензора, то есть σij =σ ji (i, j = x, y, z) . Поэтому

матрица S является симметричной.

Таким образом, можно заключить, что формулы (8.2) и (8.3) каждому направлению нормали nr = (cosα,cos β,cosγ ) ставят в соответствие с помощью линейного преобразования, определяемого матрицей S , определенный вектор напряжений σrn .

Построенная матрица напряжений S осуществляет преобразование компонент вектора нормали в компоненты вектора напряжений. Данное преобразование является линейным.

Пример 2. Задано линейное преобразование A x = (x,a )a евклидова пространства свободных векторов, где a = 3i +4 j +5k . Требуется найти:

а) матрицу линейного преобразования A в ортонормированном базисе i , j,k ;

б) координаты вектора u = A x в базисе i , j,k , если x = 3 j −k .

79

Матрица A имеет столбцы, являющиеся координатами образов базисных векторов, т.е. векторов A i , A j , A k

Найдем эти векторы:

A i = (i ,a )a , A j = ( j,a )a , A k = (k ,a )a .

Так как базис ортонормированный, то для любого вектора a = a1i + a2 j + a3k :

(i , a ) = a1 , ( j, a ) = a2 , (k , a ) = a3 .

В рассматриваемом случае a = 3i +4 j +5k , поэтому

(i , a ) = 3 , ( j, a ) = 4 , (k , a ) = 5

и, следовательно,

A i = 3(3i +4 j +5k ) ={9,12,15},

Aj = 4(3i +4 j +5k ) ={12,16,20},

Ak =5(3i +4 j +5k ) ={15,20,25}.

Матрица A данного линейного преобразования принимает вид

80