Учебное пособие 1816

x =α1' ( p11e1 + p21e2 +... + pn1en ) +

+α2 ' ( p12e1 + p22e2 +... + pn2en ) +

+.................................................. +

+αn ' ( p1ne1 + p2ne2 +... + pnnen ) =

= (α1' p11 +α2 ' p12 +... +αn ' p1n )e1 +

+ (α1' p21 +α2 ' p22 +... +αn ' p2n )e2 +

+ (α1' pn1 +α2 ' pn2 +... +αn ' pnn )en .

Так как координаты вектора x в старом базисе определяются единственным образом, то получим

α1 =α1 ' p11 +α2 ' p12 +... +αn ' p1n ,α2 =α1 ' p21 +α2 ' p22 +... +αn ' p2n ,

...................................................

αn =α1 ' pn1 +α2 ' pn2 +... +αn ' pnn .

Эти формулы связывают координаты вектора в старом базисе с координатами вектора в новом базисе. Запишем их в матричной форме:

Отсюда, так как матрица перехода невырожденная, будем иметь

51

Пример. Задан вектор x = e1 − 2e2 . Осуществлен переход к новому базису e1 ' = e1 , e2 ' = e1 + e2 . Найти координаты вектора x в новом базисе.

Сначала определим матрицу перехода:

Координаты вектора x в старом базисе имеют следующие значения:

Разложим вектор x по новому базису:

x =α1' e1'+α2 ' e2 ' .

Координаты вектора x в новом базисе находятся по формуле

Обратная матрица к матрице перехода легко вычисляется:

Следовательно,

Получили разложение вектора x в новом базисе: x = 3e1'−2e2 ' .

52

Лекция 5

Евклидово пространство

5.1. Определение евклидова пространства

Рассмотрим линейное пространство R . Наряду с имеющимися в этом пространстве операциями (сложение векторов и умножение вектора на число) введем еще одну операцию следующим образом. Каждой паре векторов x , y этого пространства поставим в соответствие число, обозначаемое

(x, y), так, что для любых x, y, z R и любого действительного числа λ выполняются следующие аксиомы:

I. (x, y)= (y, x );

II. (x + y, z )= (x, z )+ (y, z );

III. (λx, y)= λ(x, y);

IV. (x, x )≥ 0 , причем равенство имеет место только в том случае, когда x будет нулевым вектором.

Введенная операция называется скалярным умножением векторов, а

число (x, y) - скалярным произведением.

Скалярное произведение (x, x ) называется скалярным квадратом век-

тора x и обозначается x 2 , т.е. (x, x )= x 2 .

Заметим, что если хотя бы один из сомножителей скалярного произве-

дения нулевой, то скалярное произведение равно нулю.

Действительно,

(θ, y)= (0 x, y)= 0 (x, y)= 0 .

Определение. Евклидовым пространством E называется линейное пространство, в котором задана операция скалярного умножения векторов.

Если n -мерное линейное пространство – евклидово, то будем называть его евклидовым n -мерным пространством E n , а базис линейного простран-

53

ства – базисом евклидова пространства.

Пример 1. Пусть R3 – пространство свободных векторов. В аналитиче-

ской геометрии для векторов определена операция скалярного умножения,

которая удовлетворяет аксиомам I ... IV. Следовательно, пространство R3 с обычной операцией скалярного умножения векторов является евклидовым пространством.

Пример 2. Рассмотрим линейное пространство всех матриц размера n ×1. Каждой паре матриц

поставим в соответствие число

i =1

Формула (5.1) задает скалярное произведение элементов X и Y , так как выполнены аксиомы I...IV. Следовательно, рассматриваемое пространство матриц с введенной операцией скалярного умножения есть евклидово пространство.

Пример 3. Легко убедиться, что линейное пространство вещественных

матриц размеров 1×n также является евклидовым, если скалярное произве-

дение введено по формуле

n

(X, Y)= XYT = ∑xi yi , где X = (x1 x2 K xn ), Y = (y1 y2 K yn ).

i =1

Пример 4. Евклидовым будет пространство функций, непрерывных на отрезке [a, b], с заданным в нем скалярным произведением

b

(x, y)= ∫x(s) y(s)ds

a

54

Отметим, что в любом конечномерном линейном пространстве можно ввести скалярное произведение.

5.2. Норма вектора

Определение. Нормой (длиной) вектора x евклидова пространства называется арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата вектора x . Норму вектора x будем обозначать x .

Таким образом,

x = x 2 или x = (x, x ).

Свойства нормы

1º. x = 0 тогда и только тогда, когда x =θ ;

2º. λx = λ x , где λ – вещественное число;

3º. (x, y) ≤ x y (неравенство Коши6-Буняковского7);

4º. x + y ≤ x + y (неравенство треугольника).

В справедливости формул 1º и 2º легко убедиться самостоятельно, опираясь на определение скалярного произведения.

Докажем свойство 3º. Если хотя бы один из векторов нулевой, то свой-

ство 3º очевидно. Пусть x и y – произвольные ненулевые векторы евклидо-

ва пространства, а λ – любое вещественное число. В силу аксиомы IV имеем

6КОШИ Огюстен Луи (1789-1867) – французский математик, член Парижской академии наук, Петербургской академии наук. Родился в Париже. Работы Коши относятся к различным областям математики. Всего же он написал и опубликовал свыше 800 работ по арифметике и теории чисел, алгебре, математическому анализу, дифференциальным уравнениям, теоретической и небесной механике, математической физике и т.д. Быстрота, с которой он переходил от одного предмета к другому, отчасти дала ему возможность проложить в математике множество новых путей.

7БУНЯКОВСКИЙ Виктор Яковлевич (1804-1889) – русский математик, член Петербургской академии наук. Родился в Баре. Работал преимущественно над теорией чисел и теорией вероятностей с ее приложениями; ему принадлежат также работы, посвященные вопросам математического анализа, геометрии и алгебры.

55

или, учитывая аксиомы I...III,

λ2 x 2 − 2λ(x, y)+ y2 ≥ 0 .

Так как λ – произвольное вещественное число, а левая часть последнего неравенства есть квадратный трехчлен относительно λ , то это неравенство справедливо только тогда, когда дискриминант квадратного трехчлена не положителен, т.е.

b2 − 4ac ≤ 0 , где a = x 2 , b = 2(x, y), c = y2 , 4(x, y)2 − 4x 2 y2 ≤ 0 ,

(x, y)2 ≤ x 2 y2 .

Так как обе части неравенства неотрицательные, то

(x, y)2 ≤ x 2 y2 или (x, y) ≤ x y .

Замечание. В формуле 3º равенство достигается тогда и только тогда,

когда векторы x и y линейно зависимы.

Действительно, пусть векторы x и y линейно зависимы, тогда y = λx

и

Пусть имеет место равенство (5.3). Предположим, что векторы x и y линейно независимы. Тогда λx − y ≠ 0 при любом λ ≠ 0 . При этом в соотно-

шении (5.2), а следовательно, и 3º имеет место строгое неравенство, что противоречит условию (5.3). Следовательно, векторы x и y линейно зависимы.

Для доказательства свойства 4º рассмотрим равенства

56

x + y 2 = (x + y, x + y)= (x, x )+(y, y)+2(x, y)= x 2 + y 2 +2(x, y)

и

( x + y)2 = x 2 + y 2 + 2 x y .

Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского в виде

(x, y)≤ x y .

Следовательно,

x + y 2 ≤ x 2 + y 2 +2 x y = ( x + y)2 или x + y 2 ≤ ( x + y)2 .

Извлекая квадратный корень, окончательно получим

x + y ≤ x + y .

Отметим, что неравенства Коши-Буняковского и треугольника для евклидовых пространств из примеров 2 и 3 имеют соответственно вид

В случае евклидова пространства из примера 4 соответственно получа-

ем

57

Лекция 6

Координатное представление скалярного произведения

6.1. Матрица Грама

Полезным инструментом исследования свойств некоторого набора элементов {f1, f2 ,..., fk }в евклидовом пространстве является матрица Грама8.

Определение. В евклидовом пространстве E матрицей Грама системы элементов {f1, f2 ,..., fk }называется матрица

Заметим, что эта матрица симметрическая.

Пусть в n -мерном евклидовом пространстве E n задан базис {g1, g2 ,..., gn }. Рассмотрим в E n скалярное произведение векторов x и y , предварительно записав из разложения по базису

где γij = (gi , g j ), i =1,2,..., n; j =1,2,..., n – компоненты матрицы Γg , называе-

мой базисной матрицей Грама.

Теперь координатное представление скалярного произведения может быть записано так:

8 ГРАМ Иорген (1850-1916) – датский математик. Выявил связь между разложениями в ряды из ортогональных функций и проблемой наилучшего квадратичного приближения.

59

где Xg и Yg – координатные столбцы векторов x и y в базисе {g1, g2 ,..., gn }.

6.2. Свойства матрицы Грама

Теорема. Определитель любой базисной матрицы Грама сохраняет знак при переходе к другому базису (позже будет показано, что det Γg > 0 ).

Доказательство. Сначала покажем, что при переходе от базиса {g1, g2 ,..., gn }к новому базису {g1', g2 ',..., gn '} с матрицей перехода P для матрицы Грама имеет место равенство

Γg ' = PT Γg P .

По определению матрицы перехода от одного базиса к другому в линейном пространстве имеют место соотношения

для всех k =1,2,..., n; l =1,2,..., n , где pkiT – это элемент матрицы PT .

Таким образом, в матричной форме запишем

Γg ' = PT Γg P .

Согласно свойствам определителя

det Γg ' = det PT det Γg det P ,

60