Учебное пособие 1816

Доказательство. Выпишем разложение вектора x в базисе

{g1, g2 ,..., gn }:

n

x = ξ1g1 +ξ2 g2 +... +ξn gn = ∑ξi gi .

i =1

Умножив скалярно обе части равенства на gk , где k – любой номер от 1 до n , получим значения элементов матрицы B

B = Γg X ,

Γg X = B ,

Поскольку матрица Грама является невырожденной, получим

X = Γg −1B.

62

Лекция 7

Ортонормированный базис

7.1. Ортогональная система векторов

Определение. Система векторов x1, x2 ,..., xn ( n ≥ 2 ) называется линейно независимой, если векторы, входящие в эту систему, являются линейно независимыми.

Определение. Система векторов x1, x2 ,..., xn ( n ≥ 2 ) называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны, т.е. (xi , x j )= 0 при i ≠ j .

Теорема. Ортогональная система ненулевых векторов линейно незави-

сима.

Доказательство. Пусть x1, x2 ,..., xn – ортогональная система ненулевых векторов. Предположим, что она линейно зависима. Тогда существуют числа α1,α2 ,...,αn , среди которых хоты бы одно отлично от нуля, такие, что

Откуда xi = 0, т.е. xi – нулевой вектор, что противоречит условию

теоремы.

Определение. Вектор x называется нормированным, или единичным,

если его норма равна единице, т.е. x =1. Если вектор x – ненулевой вектор, то

63

есть нормированные векторы.

Нахождение для данного вектора нормированного вектора по форму-

лам (7.2) или (7.3) называется нормированием данного вектора, а множитель

μ = ± 1x

называется нормирующим множителем.

Определение. Система векторов x1, x2 ,..., xn ( n ≥ 2 ) называется ортонормированной, если она ортогональна, и каждый вектор является нормированным, т.е. если

Очевидно, что если x1, x2 ,..., xn – ортогональная система ненулевых векторов, то система, полученная из данной нормированием каждого вектора, также является ортогональной и, кроме того, будет еще и ортонормированной.

Определение. Базис евклидова n -мерного пространства называется ортонормированным, если базисные векторы {e1, e2 ,..., en } составляют ортонормированную систему.

Теорема. Во всяком евклидовом n -мерном пространстве ( n ≥ 2 ) существует ортонормированный базис.

Доказательство. Пусть {g1, g2 ,..., gn } – некоторый базис данного евклидова пространства. Составим ортогональную систему векторов {f1, f2 ,..., fn }следующим образом.

(f1, g2 +λ1(2) f1 )= 0 .

Отсюда

(f1, g2 )+λ1(2) (f1, f1 )= 0 ,

(f1, g2 )+ λ1(2) f1 2 = 0.

Так как f1 ≠ 0, то

64

из условий

(fk , fi )= 0, i =1,2,..., k −1,

получим

Это построение будем продолжать до тех пор, пока не найдем послед-

65

ний (ненулевой) вектор

fn = gn +ξ1 f1 +ξ2 f2 +... +ξn −1 fn −1 ,

ортогональный ко всем предыдущим векторам f1, f2 ,..., fn −1 . В силу предыдущей теоремы векторы f1, f2 ,..., fn линейно независимы и, значит, образуют (ортогональный) базис.

Итак, построена ортогональная система ненулевых векторов {f1, f2 ,..., fn }. Пронормировав каждый вектор этой системы, получим ортонормированную систему векторов

которая является ортонормированным базисом.

Процесс построения по данному базису ортонормированного базиса называется ортогонализацией данного базиса, а в процессе доказательства теоремы получен метод ортогонализации базиса (метод Грама-Шмидта9).

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта может быть применен к любой, в том числе к линейно зависимой, системе элементов евклидова пространства. Если ортогонализируемая система линейно зависима, то на некотором шаге мы получим нулевой элемент, после отбрасывания которого можно продолжить процесс ортогонализации.

но).

Построим по данному базису ортонормированный базис. Положим

Следовательно,

9 ШМИДТ Эрхард (1876-1959) - немецкий математик. Родился в Дерпте, с 1917 профессор Берлинского университета. В 1946-1958 первый директор Института математики академии наук ГДР. Основные его труды по теории функций, интегральным уравнениям, функциональному анализу. Определил и геометрически изучил гильбертово пространство в полной аналогии с геометрией Евклида. Занимался квадратичными формами. Известен оператор Гильберта-Шмидта.

66

Нормируя векторы f1, f2 , f3 , получим ортонормированный базис

7.2.Выражение скалярного произведения через координаты

вортонормированном базисе

Пусть в n -мерном евклидовом пространстве задан некоторый ортонормированный базис {e1, e2 ,..., en }.

Рассмотрим в этом пространстве векторы x и y , координаты которых в данном базисе соответственно равны α1,α2 ,...,αn ; β1, β2 ,..., βn , т.е.

x =α1e1 +α2e2 +... +αnen ,

y = β1e1 + β2e2 +... + βnen .

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

(x, y)= (α1e1 +α2e2 +... +αnen , β1e1 + β2e2 +... + βnen ).

Так как {e1, e2 ,..., en }– ортонормированный базис, то

Следовательно,

n

(x, y)=α1β1 +α2β2 +... +αn βn = ∑αi βi .

i =1

Таким образом, если векторы заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

67

Используя полученную формулу, можно записать формулу для нормы вектора.

Действительно, так как x = (x, x ), то

x = α12 +α22 +... +αn2 .

Нормирующий множитель для вектора x имеет вид

где α1,α2 ,...,αn – координаты вектора x в ортонормированном базисе. Заметим, что в ортонормированном базисе базисная матрица Грама яв-

ляется единичной, т.е. Γe = E , следовательно, det Γe =1. Приняв во внимание, что det Γg = det Γe (det P)2 (см. формулу (6.1)), получим det Γg = (det P)2 > 0 ,

т.е. в любом базисе определитель матрицы Грама является положительным

( det Γg > 0 ).

Кроме того, в ортонормированном базисе {e1, e2 ,..., en } евклидова про-

n

странства E n для любого элемента x = ξ1e1 +ξ2e2 +... +ξnen = ∑ξi ei этого

i =1

пространства имеют места равенства

ξi = (x, ei ), i =1,2,..., n .

Действительно, так как в ортонормированном базисе {e1, e2 ,..., en } мат-

рица Грама единична, то обратная к ней матрица Γe−1 также является единичной, а следовательно, из формулы (6.2) получаем

отсюда ξi = (x, ei ), i =1,2,..., n .

7.3. Ортогональные матрицы в евклидовом пространстве

Определение. Матрица Q , удовлетворяющая соотношению QT = Q−1 ,

называется ортогональной.

68