Учебное пособие 1816

собственным вектором с собственным значением λ =1, а любой вектор, перпендикулярный плоскости, – собственным с λ = 0 .

Пример 3. Преобразование поворотом вектора в плоскости на угол ϕ ≠ kπ (рис. 4). В этом случае линейное преобразование вообще не имеет собственных значений (подробнее см. в [1, гл. 3, §7, с. 128]).

Пример 4. Преобразование D дифференцирования в пространстве дифференцируемых функций. Очевидно, что это преобразование линейно. Укажем для каждого числа λ собственный вектор этого преобразования.

Так как

D (eλt )= λ(eλt ),

то eλt – собственный вектор, соответствующий собственному значению λ .

Пример 5. Найти собственные векторы и собственные значения линейного преобразования, заданного в некотором базисе двумерного линейного пространства, матрицей

= 1 2 A 5 4 .

Сначала составим характеристическое уравнение

и решим его:

(1−λ)(4 −λ) −10 = 0 ,

λ2 −5λ −6 = 0 ,

λ1 = −1, λ2 = 6.

Запишем систему линейных уравнений для определения собственных векторов x = (x1, x2 ) , отвечающих найденным собственным значениям:

91

(1 −λ)x1 + 2x2 = 0,5x1 +(4 −λ)x2 = 0.

Пусть λ1 = −1, тогда система принимает вид

2x1 +2x2 = 0,

5x1 +5x2 = 0.

Откуда x1 = −x2 .

Полагая, например, x2 = −1, получим x1 =1. Следовательно, в качестве собственного вектора, отвечающего собственному значению λ1 = −1, можно взять x1 = (1,−1) (или любой вектор коллинеарный x1 ).

Аналогично в случае λ2 = 6 система принимает вид

−5x1 +2x2 = 0,5x1 −2x2 = 0.

x1 = 25 x2 .

Полагая, например, x2 = 5 , получим x1 = 2 . Следовательно, в качестве собственного вектора, отвечающего собственному значению λ2 = 6, можно взять вектор x2 = (2, 5) (или любой вектор коллинеарный x2 ).

Проверим, выполнено ли для найденных собственных значений и собственных векторов равенство

A x = λx .

Для этого запишем его в матричной форме:

92

2x1 + x2 − x3 = 0,x1 +3x2 +3x3 = 0,

x1 +3x2 +3x3 = 0.

Решив систему, например методом Гаусса, получим

x3 = C , x2 = − 75 C , x1 = 65 C , где −∞ < C < +∞.

Полагая C = 5, получим x3 = 5 , x2 = −7, x1 = 6. Следовательно, в качестве собственного вектора, отвечающего собственному значению λ3 = −3, можно взять x3 = (6,−7,5) (или любой вектор коллинеарный x3 ).

Проверим, выполнено ли для найденных собственных значений и собственных векторов равенство

A x = λx .

Для этого запишем его в матричной форме:

Видно, что собственные числа и собственные векторы найдены верно.

95

Лекция 10

Симметричные преобразования

10.1. Определение и свойства симметричного преобразования

Определение. Линейное преобразование называется симметричным, если его матрица является симметричной в некотором ортонормированном

базисе евклидова пространства En .

Напомним, что для симметрической матрицы справедливо равенство

A = AT .

Свойства симметричных преобразований отражают следующие четыре теоремы.

Теорема 10.1. Для того, чтобы линейное преобразование A было симметрическим, необходимо и достаточно, чтобы для любых векторов x

и y евклидова пространства En выполнялось равенство

Доказательство

Необходимость. Пусть A – симметричное преобразование, тогда для

него существует матрица A = AT в некотором ортонормированном базисе. Покажем, что для такого преобразования выполнено условие (10.1).

В скалярном произведении перейдем от векторной записи к матричной записи, учитывая, что

A x = AX, A y = AY ,

где X и Y – матрицы-столбцы, составленные из координат векторов x и y в ортонормированном базисе, причем AX и AY также будет матрицамистолбцами. Для записи скалярного произведения потребуются матрицыстроки в первых сомножителях.

Скалярное произведение в (10.1) принимает вид

(A x, y)= (AX)T Y = (X)T AT Y = (X)T AY = (x, A y).

96

Достаточность. Пусть выполнено равенство (10.1) для любых векто-

ров евклидова пространства En . Тогда (10.1) должно выполняться в том числе и для векторов ортонормированного базиса ei , i =1,2,...,n . На основании свойств скалярного произведения

Воспользуемся равенством

A ei = a1ie1 + a2ie2 +... + anien , i =1,2,...,n ,

подставив которое в соотношение (10.2) получим a ji = aij , что говорит о том,

что матрица преобразования A является симметричной, т.е. само преобразование симметричное.

Теорема 10.2. Все собственные значения симметрического преобразования вещественные.

Доказательство. Проведем доказательство для случая n = 2 . Обозначим через A матрицу рассматриваемого симметричного преобразования в каком-нибудь ортонормированном базисе в виде

Покажем, что в этом случае характеристическое уравнение, которое будет квадратным, имеет неотрицательный дискриминант. Действительно,

(a −λ)(c −λ) −b2 = 0 ,

λ2 −(a +c)λ +ac −b2 = 0,

D = (a +c)2 −4ac +4b2 = (a −c)2 +4b2 ≥ 0 .

97

Последнее выражение справедливо при любых значениях a,b,c . Так как дискриминант неотрицателен, то корни будут действительными.

Доказанная теорема допускает следующую матричную формулировку:

если A – вещественная симметричная матрица, то все ее собственные значения вещественные.

Теорема 10.3. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям симметрического преобразования, ортогональны.

Доказательство. Пусть x1 и x2 – собственные векторы симметрического преобразования A , соответствующие различным собственным значе-

Рассмотрим скалярное произведение

(A x1, x2 )= (x1, A x2 ).

На основании (10.3) имеем

(λ1x1, x2 )= (x1,λ2 x2 ),

или

λ1(x1, x2 )= λ2 (x1, x2 ).

Таким образом,

(λ1 −λ2 )(x1, x2 )= 0.

Так как λ1 ≠ λ2 , то

(x1, x2 )= 0 , т.е. x1 и x2 ортогональны.

Теорема 10.4. Симметричное преобразование в n -мерном евклидовом

пространстве En имеет ровно n попарно ортогональных собственных векторов.

Доказательство. Если все собственные значения различны, то доказательство следует из предыдущей теоремы. Аналогичное утверждение имеет место в случае кратных корней (без доказательства).

98

10.2. Диагональный вид матрицы линейного преобразования

Теорема. Для того чтобы матрица линейного преобразования в некотором базисе n -мерного линейного пространства была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы векторы базиса были собственными векторами этого преобразования.

Доказательство

Необходимость. Пусть матрица линейного преобразования в заданном базисе ei , i =1,2,...,n имеет диагональный вид

По определению, столбцы этой матрицы представляют собой координаты векторов-образов A ei , i =1,2,...,n в заданном базисе, значит можно записать n равенств:

A e1 = λ1 e1 +0 e2 +... +0 en = λ1e1, A e2 = 0 e1 +λ2 e2 +... +0 en = λ2e2 ,

........................................................

A en = 0 e1 +0 e2 +... +λn en = λnen .

Отсюда видно, что векторы базиса являются собственными векторами преобразования A .

Достаточность. Пусть векторы базиса являются собственными векторами линейного преобразования A с соответствующими собственными значениями, т.е.

A e1 = λ1e1 = λ1 e1 +0 e2 +... +0 en1, A e2 = λ2e1 = 0 e1 +λ2 e2 +... +0 en ,

........................................................

A en = λnen = 0 e1 +0 e2 +... +λn en .

Отсюда видно, что матрица линейного преобразования в заданном базисе имеет вид

99

т.е. является диагональной.

Доказанная теорема указывает на важность знания собственных векторов. Если в качестве базиса взять систему из собственных векторов преобразования, то в этом базисе матрица преобразования будет иметь вне главной диагонали нули и, значит, будет иметь наиболее простой вид.

10.3. Диагональный вид матрицы симметричного преобразования

Согласно теореме 10.4 симметричное преобразование в n -мерном евк-

лидовом пространстве En имеет ровно n попарно ортогональных собственных векторов. С другой стороны, система попарно ортогональных ненулевых векторов является линейно независимой, значит, эти векторы можно принять за векторы базиса и тогда в таком базисе матрица преобразования имеет диагональный вид. Таким образом, в качестве вывода можно сформулировать следующую теорему.

Теорема. В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица симметрического преобразования имеет диагональный вид

где λ1,λ2 ,...,λn – собственные значения симметрического преобразования.

Ортонормированность в данном случае имеет место, так как любая ортогональная система может быть преобразована в ортонормированную и остаться при этом линейно независимой.

Геометрически эта теорема означает, что для симметричного преобразования существуют такие взаимно ортогональные направления, в которых преобразование или «растягивает» ( λi >1), или «сжимает» ( λi <1) векторы

пространства.

100