Учебное пособие 1816

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

преобразования, заданного матрицей

преобразования, заданного матрицей

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Варианты расчетно-графических работ

Характеристика задания

Предлагаемые задания индивидуальны для каждого студента. Каждый вариант состоит из 20 задач, которые необходимо выполнить четко, с кратким описанием решения.

В первой задаче требуется вычислить значение выражения a A + b B + c C , от студента потребуется знание приемов сложения матриц и умножения матрицы на число (лекция 1, см. также [3, §2, с. 11]).

Во второй задаче необходимо найти произведение матриц; естественно, следует обратить свое внимание на то, что произведение двух матриц AB имеет смысл только в том случае, когда матрицы A и B являются согласованными. Поэтому сначала проверьте, являются ли матрицы согласованными, а затем найдите их произведение (лекция 1, см. также [2,

гл.5, §6, с. 174]).

Втретьей задаче требуется найти матрицу Х, удовлетворяющую условию a A +λ X = b B. Для решения этого задания требуется выразить матрицу Х через матрицы A и B , а затем, используя правила сложения матриц и умножения матрицы на число, вычислить элементы матрицы Х (лекция

1, см. также [3, §2, с. 11]).

Вчетвертой задаче необходимо найти значение многочлена f (x) от

матрицы А. Для решения задачи подставьте в многочлен вместо аргумента

матрицу А: так как An = A A ... A , то решение задания сводится к умноже-

14243 n раз

нию, сложению матриц и умножению матрицы на число. (лекция 1, см. также

[2, гл.5, §6, с. 174]).

Пятая задача посвящена вычислению определителей. Определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольника [1, см. также гл.1, §1, с. 13], а определитель четвертого порядка – разлагая его по строке или столбцу (лекция 2, [3, см. также §1, с. 4]).

В шестой задаче требуется решить уравнение с определителем третьего порядка в левой части относительно неизвестного х. Для решения задания необходимо разложить определитель по строке или столбцу (лекция 2, см. также [3, §1, с. 4]), а затем полученное выражение приравнять к нулю и решить полученное алгебраическое уравнение.

В седьмой задаче требуется проверить свойство определителя det(A B)=det(A) det(B). Для этого отдельно вычислите выражение det(A B) в левой части равенства и det(A) det(B) в правой части (отметим, что данные

определители могут быть посчитаны либо по правилу треугольника, либо разложением по строке или столбцу) (лекция 2, см. также [1, гл.1, §1, с. 13],).

Восьмая задача посвящена отысканию обратной матрицы A−1 . Как известно, обратная матрица существует только у невырожденных матриц,

121

поэтому предварительно следует вычислить определитель матрицы А: если он отличен от нуля, то матрицы A невырожденная и можно переходить к

отысканию обратной матрицы A−1 (лекция 2, см. также [3, §2, с. 14]).

Вдевятой задаче необходимо решить простейшее матричное уравнение с использованием обратной матрицы, для этого требуется умножить обе части данного уравнения на матрицу, обратную к одной из данных, таким образом, чтобы в левой части уравнения осталась только матрица Х . При решении помните, что обратная матрица существует только

уневырожденных матриц (лекции 2,3, см. также [2, гл.5, §6, с. 179]).

Вдесятой задаче требуется найти ранг матрицы методом эквивалентных преобразований и указать какой-нибудь базисный минор. Как известно, при эквивалентных преобразованиях ранг матрицы не меняется, поэтому задача состоит в преобразовании исходной матрицы в матрицу, ранг которой легко находится. Напомним, что базисный минор представляет собой определитель r -го порядка (где r - это ранг матрицы), составленный из элементов данной матрицы, отличный от нуля (лекция 3, см. также [1, гл.1, §7, с. 36])

Водиннадцатой задаче необходимо найти значения параметра λ, при котором ранг данной матрицы равен указанному числу r . Для решения задачи следует вспомнить определение ранга матрицы: рангом матрицы A называется наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля (лекция 3, см.

также [2, гл.5, §4, с. 159]).

Вдвенадцатой задаче требуется решить данные системы линейных уравнений по формулам Крамера, матричным способом и методом Гаусса. Отметим, что, начав решение системы по формулам Крамера, целесообразно сразу ответить на вопрос, имеет ли система единственное решение, для этого необходимо вычислить определитель системы, в случае, если он отличен от нуля, ответ однозначен, система имеет решение и притом единственное

(лекция 3, см. также [3, §3, с. 19]).

Тринадцатая задача посвящена исследованию систем линейных уравнений. Для установления совместности системы требуется использовать теорему Кронекера-Капелли. Кроме того, в случае совместности системы требуется ее решить методом Гаусса или методом Крамера (лекция 3, см.

также [3, §3, с. 19]).

Четырнадцатая задача посвящена нахождению собственных значений и собственных векторов линейного преобразования, заданного матрицей А. Вопрос об отыскании собственных значений и собственных векторов

линейного преобразования сводится к решению характеристического (A − λE)= 0 относительно неизвестного λ , далее по каждомууравнения

найденному собственному значению λ составляется однородная система (A − λE) X = 0, ее ненулевое решение и является собственным вектором, отвечающим собственному значению λ (лекция 9, см. также [3, §4, с. 47]).

В пятнадцатой задаче требуется проверить, образуют ли векторы a , b ,

122

c базис линейного пространства R , если да, то с помощью матрицы перехода найти координаты вектора d в базисе a , b , c . Из условия задачи следует, что размерность пространства R равна трем, так как три координаты у заданных векторов. Следовательно, для того чтобы векторы a , b , c образовывали базис, достаточно, чтобы они были линейно независимыми. Если векторы a , b , c – базис линейного пространства R , то матрица, столбцами которой являются координаты этих векторов в базисе e1 , e2 , e3 , и будет матрицей перехода P от базиса e1 , e2 , e3 к новому a , b , c . Связь между координатами вектора d в базисе a , b , c и в базисе e1 , e2 , e3 устанавливается с помощью матрицы перехода (лекция 4, см. также [1,гл. 2, §4, с. 73]).

В шестнадцатой задаче необходимо в евклидовом пространстве вещественных матриц размером 1×3 по данному базису g1, g2 , g3 построить ортонормированный базис e1, e2 , e3 . Как известно, это всегда можно сделать, применив процесс ортогонализации Грама-Шмидта (лекция 7, см. также

[1,гл. 4, §2, с. 139]).

В семнадцатой задаче задано линейные преобразования A x = (x,a )a и B x =[x,a ] евклидова пространства свободных векторов. Требуется найти матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j,k , а также найти в базисе i , j,k координаты векторов u = A x и v = B x . Известно, что линейному преобразованию A ( B ) в ортонормированном базисе i , j,k евклидова пространства свободных векторов соответствует матрица A ( B ). Для ее отыскания необходимо вычислить скалярное произведение в случае линейного преобразования A и векторное произведение в случае линейного преобразования B , взяв в качестве вектора x последовательно базисные векторы i , j,k , полученные координаты образов базисных векторов A i , A j , A k ( B i , B j , B k ) будут являться столбцами матрицы A ( B) (лекция 8, см. также [1,гл. 3, §1, с. 96]).

В восемнадцатой задаче дана матрица A линейного преобразования в базисе e1 , e2 , e3 . Требуется найти матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании №15. Для решения этой задачи необходимо воспользоваться формулой, связывающей матрицы линейного преобразования в разных базисах (лекция 8).

В девятнадцатой задаче требуется указать базис пространства, в котором матрица линейного преобразования A имеет диагональный вид, и привести матрицу A к диагональному виду. Как известно, матрица линейного оператора A имеет диагональный вид в базисе из своих собственных векторов, поэтому сначала необходимо найти собственные векторы матрицы линейного преобразования A , а затем выписать матрицу A в новом базисе. Для того чтобы проверить полученный результат, воспользуйтесь формулой, связывающей матрицы линейного преобразования в разных базисах (лекция

10, см. также [2,гл. 6, §4, с. 221]).

В двадцатой задаче необходимо привести к каноническому виду

123

уравнение кривой второго порядка и построить линию, определяемую данным уравнением. Для решения этой задачи необходимо выписать матрицу квадратичной формы, соответствующей данному уравнению, найти собственные значения и векторы этой матрицы, затем выписать линейное ортогональное преобразование переменных. С его помощью преобразовать уравнение линии, перейдя к новым переменным, далее построить линию, соответствующую новому уравнению (лекция 11, см. также [3, §5, с. 54]).

124

ВАРИАНТ № 1

		№1. Вычислить 3А+4В-2С, где
	1	0	−2			−1 1				0			3 4 5
A=	2	1	−3 ,	B	=		2	−	3		,	C =		1	−3	.
				B			2		3	4		C =		1	−3	2

							1	−5							−6
	−4 3		5				1	−5		6			8		−6	7

№3. Даны матрицы

3		4	1			1	1	1
	0	2		,		2	9	3
A =			5		B =				.
	−1					7	5	−2
		−2 3

Найти матрицу Х из уравнения А – 1/3Х = 2В.

№5. Вычислить определители

	2		− 3	1			3		−1	2	1
	2		− 3	1			3		−1	2	1
	5		6	8	,		− 6		1	1	2	.
	1		1	2			1		0	0	0	.
	1		1	2			1		− 3	2	2
							1		− 3	2	2

№7. Найти detAB и проверить, что
			det(AB)=det(A) det(B)
	2 1 3							3		2 −1
		−1 3 1							−1 0 2
A =		−1 3 1				,	B =		−1 0 2				.
		−1 −		1 1					1	−	2 1
		−1 −		1 1					1	−	2 1
№9. Решить матричное уравнение
		−1		2				5		−1
				X =							.
			3					−2		−7
			3	4				−2		−7

№11. При каких значениях параметра “λ” ранг матрицы равен указанному числу

2λ	1		r = 2.
		,	r = 2.
4	λ
4	λ

№2. Найти произведение матриц

3	1	2	−1	−1		4

2	0	1	−1	2		0

−1	3	0	− 4		1	− 3

					4	1

№4. Найти значение многочлена f(x)= 3x5 + 2x - 7 от матрицы

		A =		1	0
					.
				2
					−1
№6.		Найти x из уравнения
	3 − x		8		1	=0.

	0	2 − x			3
	0		0		8 − x

№8. Найти матрицу, обратную к матрице

1	2	3
2	−3
		−1 .
0	1	2

№10. Найти ранг матрицы и указать какой-нибудь базисный минор

1	−1	2	3	0
− 2	0	6	−1	2

−3	0	4	− 4	2	.

1	− 2	−8 − 2		− 2

№12. Решить системы уравнений: а) по формулам Крамера; б) матричным способом; в) методом Гаусса

1)	x1 + 3x2 − x3 = −1	4x +2x					− x			= 0
1)		2)	x	1		2			3
	4x1 + 4x2 + 3x3 = 3 ,		x	+2x	2	+ x		3	=1 .
	3x1 − 2x2 + 5x3 =13		1		2			3
	3x1 − 2x2 + 5x3 =13			− x3 = −3
		x2		− x3 = −3

№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их

2x1 − x2 = 3	2x1 − 3x2	− x3 = 0			x1 − x2 + x3 − x4 = 3				x1 + x2 + x3 =	0
а)	б) x1 + x2 + x3 =		1		в) 2x1 + x2		−3x3 + x4 = 0
				,				,	г)	= 0.
x1 −3x2 = −5 ,									3x1 + x2 + 2x3
4x1 +5x2 = −7	3x1 − 2x2	=1			3x1	+ x2	− x3 + 3x4 = −1		5x1 − 2x2 − x3 = 0
			= −1			− x2	−3x3 +3x4 = 7
	x1 − 2x2 − 2x3				6x1

125

№14. Найти собственные значения и собственные векторы линейного

№15.

Даны

координаты

векторов

a = (2,2,3) ,

= (1,3,2) ,

c = (3,1,1) и

= (7,1,6) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ;

а) доказать, что векторы a ,

и c образуют базис;

б) найти координаты вектора d

в базисе a , b , c .

№16.

В евклидовом пространстве вещественных матриц

размеров

1×3

со

скалярным

произведением

(x, y)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ,

где

x = (x1

x3 ),

y = (y1

y3 )

по

данному базису

g1 = (1

−1 0),

g2 = (2

2),

g3 = (0

3) построить

ортонормированный базис e1, e2 , e3 .

Найти

угол между

векторами x = −2e1 + e2 +3e3 , y = 2e1 + 4e2 −e3.

№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a и B x =[x, a ] евклидова пространства свободных векторов, найти:

а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i , j, k , если a = −2i + j +k ;

б) координаты векторов u = A x и v = B x в базисе i , j, k , если x = j −6k .

1		1	0
№18. Дана матрица A =	0	−3	2	линейного преобразования в базисе e1 , e2 ,
	4	0	1

e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании №15.

1		−2	0
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A =	−2	2	−2
	0	−2	3

линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.

№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить линию, определяемую данным уравнением:

5x2 + 4xy +8 y 2 −12 5x −12 5y −20 = 0 .

126

ВАРИАНТ № 2

			№1. Вычислить 2А+0,5В-С, где																							№2. Найти произведение матриц
	1 0 −2												−1 1 0									3 4 5				1 −1 0						1		1 1 1 1
A=		2 1 −3 , B =													2 −3 4 , C = 1 −3 2 .												2 − 2 3								3			− 3 4 − 4
A=		2 1 −3 , B =													2 −3 4 , C = 1 −3 2 .												2 − 2 3					−3			3			− 3 4 − 4
																																																.
															1												3 4 −5 1								7 6 5 − 4													.
	−4 3 5														1		−5 6					8		−6 7			3 4 −5 1								7 6 5 − 4
																											0 0		6			0			0 2 0 1
																											0 0		6			0			0 2 0 1
							№3. Даны матрицы																			№4. Найти значение многочлена
						3					4				1			1			1	−1					f(x)= 3x2 + 2x - 7 от матрицы
						0																										1 0
			A =			0					2 5 , B = 2 9 3 . .																					1 0
																				7 5		−2							A		=							.
				−1					− 2 3											7 5		−2							A		=							.

Найти матрицу Х из уравнения X +0,5B =A.																																2 −1
				№5. Вычислить определители																							№6.		Найти x из уравнения
				1 3 6												2 1 1 −1												3 − x				1						3
				1 3 6												2 1 1 −1												3 − x				1						3
			−2 0 3										,			−3 0 0						0		.				3 − x 3 − x										5					=0.
				2		1					1					1		2			1	1						0				0				5 − x
				2		1					1					3		1			−1	− 2						0				0				5 − x



		№7. Найти det(AB) и проверить, что																							№8. Найти матрицу, обратную к матрице
						det(AB)=det(A) det(B)																								0			1				2
				1 2 3														2 0 3												0			1				2
				1 2 3														2 0 3
						2 1 1													2 1 1										−1 −2 −3 .
			A =			2 1 1								, B =					2 1 1				.						−1 −2 −3 .
						1 1 2													4		−3 2									−4			5				1
						1 1 2													4		−3 2

		№9. Решить матричное уравнение																								№10. Найти ранг матрицы и указать
								0 −2 1 1																			какой-нибудь базисный минор
				X				0 −2 1 1																					1			5		−1 1
				X												=						.													0 2
																					−8								−2 2						0 2
								3 4 1													−8									3		−2			2			6		.
																														3		−2			2			6
																														0		−2			3			10
																														0		−2			3			10
№11.				При каких значениях параметра “λ”																						№12. Решить системы уравнений: а) по
	ранг матрицы равен указанному числу																									формулам Крамера; б) матричным
					λ							−1			2												способом; в) методом Гаусса
							1					λ 1								r = 3.						x1 + x2 − x3 =				6				2x				+ x			3		+ 3x		4		= 0
							1					λ 1					,			r = 3.						x1 + x2 − x3 =				6						1					3				4					= 2
							0					2				λ											+ 3x2 − 4x3							2x2 − x1 − x3 − 2x4																= 2
							0					2				λ									1)	2x1	+ 3x2 − 4x3				= 21,		2) x				− x		2			+ 4x		4		= 2				.
																											− x2 −3x3									1			2					4
																										7x1	− x2 −3x3			= 6				x			+ 2x				2		+ x	3		+ 3x			4	= 3
																																				1					2			3					4
				№13.				Исследовать системы уравнений																	и в случае совместности решить их
		x		− x		+ 2x						=1						9x1 − x2 = 0								x1 + 2x2 = −1							2x1 −3x2 + x3 = 0
а)		1			2						3						б)	9x1 − x2 = 0								x1 + 2x2 = −1										+ x + x =1
а)		3x + x + x = −2															б)				+ x2 + x3 = 0 ,				в)							г) x				+ x + x =1													.
				1		2				3					,			x1			+ x2 + x3 = 0 ,					3x1 − x2 = 4 ,									1			2					3						.
				1		2				3																									1			2					3
		x1 + x2 + x3 = 3																															4x1 +5x2 − x3 = −1
		x		− x	2	+ x			3		= 0							2x1 − x2 − x3 = 0								5x1 +3x2 = 2							7x +3x + x =															3
		1			2				3																											1						2		3

127

№15.

Даны координаты

векторов

a = (2,2,3) ,

= (1,3,2) ,

c = (3,1,1)

= (7,1,6) в базисе e1 , e2 , e3

линейного пространства R ;

а) доказать, что векторы a ,

и c образуют базис;

в базисе a ,

c .

б) найти координаты вектора d

b ,

№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров

1×3

со

скалярным

произведением

(x, y)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ,

где

x = (x1

x3 ),

y = (y1

y3 ) по данному базису

g1 = (3

0), g2 = (0

1), g3 = (0 0

построить

ортонормированный

базис e1, e2 , e3 .

Найти

угол

между

векторами

x = 2e1 −5e2 + e3, y = e1 + e2 + e3.

№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a

и B x =[x, a ]

евклидова

пространства свободных векторов, найти:

а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i

j, k ,

если a = i

−3 j +4k ;

б)

координаты

векторов

u = A x

v = B x

базисе

если

, j, k ,

x = i

+2 j +3k .

−1

№18. Дана матрица A =

5 линейного преобразования в базисе

e1 ,

−2

e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a ,

c , указанном в

задании №15.

−1

№19.

Указать

базис

пространства,

котором

матрица

A = 2

−1

линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.

8x2 +6xy −6 10x −4 10 y −10 = 0 .

128

ВАРИАНТ № 3

№1. Вычислить - А – В + 3С, где

	1	0	−2			−1 1			0	, C =	3 4 5
A =	2	1	−3	,	B=		2	−3		, C =	1	−3	2 .
A =	2	1	−3		B=		2	−3	4

	−4 3		5				1	−5				−6
	−4 3		5				1	−5	6		8	−6	7

	№3.	Даны матрицы:
	3	4	1	1		1	−1
	0	2			2 9		3
A =	0	2	5 , B =		2 9		3	.

					7	5 −2
	−1 −2 3				7	5 −2

Найти матрицу Х, из уравнения 2A–X = 3B.

№5. Вычислить определители

1	−1	3	,	2	1	−1	3
1	−1	3		2	1	−1	3
2	1	5		5	4	0	−1	.
2	−3	8		1	0	0	0	.
2	−3	8		1	− 5	3	2
				1	− 5	3	2

№7. Найти det(AB) и проверить, что det(AB)=det(A) det(B)

	1	−1	1			3	2	−2
	2	−1	0			0	1	1
A =				,	B =				.
	2	2 2				−3 1		1

№9. Решить матричное уравнение

10		−1	−1		2
X			=			.
	1	2		− 2	1
	1	2		− 2	1

№11. При каких значениях параметра “λ” ранг матрицы равен указанному числу

−1		λ	− 2	r = 2.
			,	r = 2.
	1
	1	12 − λ

№2. Найти произведение матриц

4		2	−1	0	2	−1

	5 3		−1	−1	6 9

	3	1	7	− 2	11	0	.


					10	−3

№4. Найти значение многочлена f(x)= 2x2 - 2x + 7 от матрицы

	1	0
A =		.
	2
	2	−1

№6. Найти x из уравнения

3 − x	8	19	=0.
3 − x	8	19
0	2 − x	3
0	0	x −14

№8. Найти матрицу, обратную к матрице

					2		−3		0
								1	4
				−1				1	4	.
					3		− 2		5
					3		− 2		5
№10. Найти ранг матрицы и указать
	какой-нибудь базисный минор
				3		1		2		4
				8		− 4		2		4
				8		− 4		2		4
				−5 3				−1	−2		.
				6		0		3		6
				6		0		3		6
				1		1		1		2
				1		1		1		2
№12. Решить системы уравнений: а) по
формулам Крамера; б) матричным
	способом; в) методом Гаусса
x	+2x	2	+	3x		= 6		4x		+2x		2	− x	=	0
1		2		3					1			2	3
1) 2x1 +3x2 − x3 = 4,								2) x1 +2x2 + x3 =1 .

3x1 + x2 −4x3 = 0								x2 − x3 = −3

	№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
2x +3x = 3					x1 + x2			− x3 =1						x		− x		2	− x		3	− x		4	=1			x	+ x + x =					0
	1		2		x − x									в)	1			2			3			4				x	+ x + x =					0
а)	1		2	б)	x − x		2	+ x		4	=	2		в)	2x		+ x			− x			+ x			=	3,	г) 1		−	2	3		=
3x − x		2	= 0 ,		1		2			4					2x		+ x		2	− x		3	+ x		4	=	3,	2x1		−	3x2	+	x3	=	0.
	1	2			2x + x				−3x = 0				,			1			2			3			4			2x1			3x2		x3		0.
	−4x2		= −3		2x + x				−3x = 0				,				+ x4 = 4												− 2x2 = 0
x1	−4x2		= −3		4x + x −					4x + x = 7				3x1			+ x4 = 4											x1	− 2x2 = 0
						1		2			3
						1		2			3	4

129

№15. Даны координаты векторов

a = (3,1,5) ,

= (−1,2,1) ,

c = (1,4,2)

= (12,6,3) в базисе e1 , e2 ,

e3 линейного пространства R ;

а) доказать, что векторы a ,

и c образуют базис;

в базисе a ,

c .

б) найти координаты вектора d

b ,

№16. В евклидовом пространстве

вещественных

матриц

размеров 1×3

со

скалярным

произведением

(x, y)

= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ,

где

x = (x1

x3 ),

y = (y1

y3 ) по данному базису

g1 = (1

2), g2 = (0

0), g3 =

(0 0 3)

построить

ортонормированный

базис e1, e2 , e3 .

Найти

угол

между

векторами

x = −e1 + e2 + e3 , y = −2e1 + 4e2 +5e3.

№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a

и B x =[x, a ] евклидова

пространства свободных векторов, найти:

а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i

, j, k ,

если a =

;

б)

координаты

векторов

u = A x

v = B x

базисе

если

j, k ,

x = i

+7 j −k .

−1

№18. Дана матрица A =

линейного преобразования в базисе

e1 ,

−5

e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a ,

c , указанном в

задании №15.

−8

№19.

Указать

базис

пространства,

котором матрица

A = −8

−4

линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.

48x2 +64xy +32 5x +16 5y +5 = 0.

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.27 Mб6Учебное пособие 1811.pdf
#
30.04.20222.27 Mб4Учебное пособие 1812.pdf
#
30.04.20222.27 Mб3Учебное пособие 1813.pdf
#
30.04.20222.28 Mб4Учебное пособие 1814.pdf
#
30.04.20222.28 Mб2Учебное пособие 1815.pdf
#
30.04.20222.28 Mб6Учебное пособие 1816.pdf
#
30.04.20222.28 Mб3Учебное пособие 1817.pdf
#
30.04.20222.29 Mб4Учебное пособие 1819.pdf
#
30.04.2022314.93 Кб3Учебное пособие 182.pdf
#
30.04.20222.29 Mб19Учебное пособие 1820.pdf
#
30.04.20222.3 Mб3Учебное пособие 1822.pdf