книги / Сопротивление материалов усталостному и хрупкому разрушению
..pdfщественно упрощает использование уравнения (7.15), которое представляется в виде
где |
|
Ig (6—■ |
1) = |
|
AL — |
lg и — В lg (LfG) - f 2pS, |
(7.17) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
S = 3m |
|
« |
= |
eooe_1= 0.57_1. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Для гладкого лабораторного образца материала диа |
|
|||||||||||||||||||
метром d0=7,5 |
мм |
при |
изгибе |
с |
вращением |
lg (L/G) = |
|
|||||||||||||||
= lg(jt£Po/2) = 1,95, amax= (T-i и, следовательно, lg(|— 1) = |
|
|||||||||||||||||||||
= 0 , так |
как |
Е — |
а_,/ (0,5з_,) = |
2- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Вводя |
обозначение B = |
va, |
|
уравнение |
|
(7.17) можно |
|||||||||||||||
представить |
в |
виде |
|
(при Zp — О, т. е. для средних значе |
|
|||||||||||||||||
ний пределов выносливости) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
lg (Ê - |
|
1) = |
|
— |
ve [lg(LfG) - |
1,95]. |
|
|
(7.18) |
||||||||
Постоянная |
AL, |
входящая в |
уравнение |
(7.15),связана |
|
|||||||||||||||||
с |
постоянной |
ve и |
величиной |
а_, |
соотношением |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
А-L = |
|
1 *95v0 -f- lg (0 ,5 з _ ,), |
|
|
|
|
(7.19) |
||||||||
где cr_i — медианное |
значение |
|
предела |
выносливости |
|
|||||||||||||||||
гладкого лабораторного |
образца |
материала |
диаметром |
|
||||||||||||||||||
7,5 |
мм |
из |
металла |
данной |
плавки; \g(LfU) = |
|
1,95 — для |
|
||||||||||||||
лабораторного образца материала диаметром d0 = 7,5 мм |
|
|||||||||||||||||||||
без |
концентрации |
напряжений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Так |
как |
в |
|
уравнении |
(7.18) |
|
Ё = |
о~ах/и = |
|
(з !,)д а / О .б Г , |
|||||||||||
и |
l,9 5 = |
l g |
|
^ |
= |
|
l g |
88,3, |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
i ! ÿ ^ |
= |
0 |
, 5 |
- f 0 |
, 5 |
^ |
^ _ |
. ^r |
“ ,o = |
F (L / G ; |
v„). |
(7.20) |
||||||||
З десь |
(з_ ,)д— медианное ^значение |
предела |
|
выносливости |
||||||||||||||||||
натурной |
детали; F (LfG, va) — |
функция, |
зависящ ая |
от |
||||||||||||||||||
L/G, |
с параметром |
|
va. Эта |
функция |
для |
различных |
значе |
|||||||||||||||
ний |
va |
представлена |
на |
рис. |
7 .10 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в |
Таким |
образом, |
|
вм есто постоянныхи, Av |
В, |
входящих |
по |
|||||||||||||||
уравнение_ |
|
(7 .15), |
в |
уравнении |
(7.20) |
используются |
||||||||||||||||
стоянные |
|
|
|
|
|
|
|
vf, |
одна |
|
из |
которых$9а принимается |
|
|||||||||
общей для определенной группы металлов (для сталей, деформируемых алюминиевых и магниевых сплавов и чугунов с шаровидным графитом: êœ = 0,5). Величина vo ха
рактеризует степень чувствительности материала к кон центрации напряжений и эффекту размеров. Чем боль-
HUWg)
1,5
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
lÿL/G |
|
|
Рис 7.Ю. График функции, характеризующей |
||||||
|
влияние концентрации напряжения и размеров |
||||||
|
сечения |
на |
предел выносливости |
|
|
||
ше va, |
тем меньше |
чувствительность к |
концентрации |
||||
напряжений и больше к размерам |
(что более свойствен |
||||||
но гетерогенным металлам). |
|
|
|
|
|||
Для |
гладких элементов (без концентрации напряжений) |
||||||
ae = I, |
(3_,)д = (з_,)<г, |
|
где (з_,)а — предел |
выносливости |
|||
гладкого элемента |
диаметром |
d, |
следовательно, коэф |
||||
фициент влияния размеров ев=(о_,)<г/а_1 в |
уравнении |
||||||
(7.20) получается равным |
|
|
|
|
|||
|
so = |
F[(L/G)aa=1, |
v j. |
|
(7.21) |
||
Для гладких элементов при изгибе |
с |
вращением |
|||||
(L/G)ao=I= ^ / 2. |
|
|
|
|
|
|
|
Кривые изменения коэффициента so,построенные по
выражению (7.21) при vCT= 0,04; vtJ = 0,l и vo = 0,2, в за
висимости от диаметра d представлены на рис. 7.11. Кривые находятся в соответствии с экспериментальными
данными. Наибольшая часть экспериментальных данных
142
СбОФВетствует диапазону изменения |
va от 0,04 до |
0,2. Из |
||
рис. 7.11 |
видно, что |
с ростом va эффект размеров |
усили |
|
вается. |
|
|
|
|
Обозначая коэффициент, учитывающий влияние кон |
||||
центрации |
напряжений и фактора |
размеров, как |
(ka)a = |
|
= в_1/(з-1)д = Ао/га |
(где kg= (а_i)d/(a_,)д — эффективный |
|||
Рис. 7.11. График для определения влияния размера сечений на предел выносливости
коэффициент концентрации напряжений для детали), на основе выражения (7.20) получаем
(£ а)д = ---------------- |
|
(7.22) |
0 ,5 + .0 ,5 |
F (L /G , va) |
|
|
|
|
Вводя выражение для ед (7.21), получаем |
|
|
|
%F[(L/G)a=v v„l |
(7.23) |
|
F (L /G , va) |
|
|
|
|
Здесь (L/G)a_ i'= itd 8/2 — значение LJG для |
гладкого эле |
|
мента такого^ же диаметра d, как и у натурной детали. Значение L/G, стоящее в знаменателе выражения (7.23) отражает неоднородность напряженного состояния в зоне концентрации натурной детали,
Введение в уравнение (7.20) °max = 2'ïniax, и = 2их, G =
= GT по аналогии с уравнением (7.20) для касательных напряжений позволяет записать
(т _ ,)д “, |
( 1 |
L |
vx |
__ |
|
— |
— = 0,5 -1 -0,5^ 88 .3 5 ^ |
= F (L[G, Vt), (7.24) |
|||
где (“*_1)д, |
t_ i — медианные |
значения |
пределов выносли |
||
вости натурной |
детали и гладкого лабораторного образца |
||||
материала диаметром 7,5 мм. соответственно; лх, Gx
теоретический коэффициент концентрации и относитель ный градиент касательного напряжения в точке наиболь шего напряжения при кручении соответственно.
Значение vx в уравнении (7.24), соответствующее ка сательным напряжениям, отличается от значения \а в урав нении (7.20), соответствующего нормальным напряжениям.
Экспериментальные данные показывают, |
что v.t = |
(l,5 — |
|
2,0) v0. Функция F (L/Gx, vx) в |
уравнении (7.24) совпадает с |
||
соответствующей функцией |
в уравнении |
(7.20) |
и дает |
Рис. 7.12. График эффективных коэффи циентов концентрации
количественное описание влияния концентрации напря жений и масштабного фактора при зна]“ переменном
кручении. Для кручения формулы (7.21) |
(7.23) |
оста |
|||
ются теми же, что и при растяжении |
с* а™ и ^ |
|
|||
ной в них а на т. |
Например, |
формула |
(7.23) записы |
||
вается в виде |
_ |
|
|
|
|
* |
■/ [Ц/°,).,„' »•' |
|
|
,7.26) |
|
1 |
F ( L / G , |
v,) |
|
|
|
В качестве примера, иллюстрирующего соответствие |
|||||
цпавнения (7.23) |
экспериментальным |
данным, на |
рис. |
||
7 1 ™пр"" едена зави си те™ К |
от рМ Для ступенчатых |
||||
валов с галтелью при изгибе с вращением. Точками ог_ мечены экспериментальные данные, соответствующие, валам диаметром 40—50 мм из малоуглеродистой стали с пределом прочности ов= 5 0 кге/мм2. Ординаты кривой, провданной на рисунке, рассчитаны по уравнению
(7.23) |
при значении ^ = 0,12, |
характерном |
для |
углеро |
||
дистых |
сталей. |
|
|
|
|
|
Для |
некоторых материалов |
(например |
для |
магние- |
||
вого литейного сплава) |
значение s =0,5 |
может ока- |
||||
заться завышенным. В |
этом |
случае |
|
|
||
|
t __°max |
(о- 0 д а<, |
|
|
||
|
|
“ _ |
_Eooa-i |
|
|
|
Тогда уравнения (7.18) и (7.19) соответственно прини
мают вид |
|
|
|
|
|
|
г |
lg^ ~ |
1) — |
К1h J - |
11 = |
- ve [lg (L/G) — 1,95]. |
|||
|
|
eoo + |
(1 - |
« J 10/88.3)-(L/G )P = |
|
||
|
|
= |
F(L/Ü, |
va, e j . |
(7.26) |
||
Для проверки уравнения |
(7.20) и определения |
зна |
|||||
чении |
были |
использованы |
экспериментальные |
дан |
|||
ные, полученные |
на материале |
одной марки и плавки. |
|||||
о этим данным находились пределы выносливости эле ментов различных размеров и уровней концентрации напряжений при различных видах нагружения и строи лись зависимости lg(|— 1) от lg (L/G). Для трех сталей и двух легких сплавов экспериментальные и расчетные результаты приведены на рис. 7.13.
Согласно уравнению (7.18), эти зависимости изобра жаются пучком прямых, проходящих через точку с ко ординатами lg (! 1) = 0 и lg(L/G) = 1,95. Угол наклона прямой к оси абсцисс определяется значением посгояннои V . Аналогичный результат дает сопоставление
расчетных данных по уравнению (7.20) и данных испы тании круглых и плоских гладких образцов различных
размеров |
при |
изгибе и растяжении — сжатии, |
круглых |
||
образцов |
(гладких |
и с надрезом) различного диаметра |
|||
при |
изгибе с |
вращением и растяжении — сжатии, пла |
|||
стин |
с отверстием |
различных размеров при |
растяже |
||
нии |
сжатии |
(все |
образцы были изготовлены |
из сред |
|
неуглеродистой стали одной плавки). Несмотря на такое разнообразие типов и размеров образцов и видов на гружения, все экспериментальные точки достаточно хо рошо ложатся на одну прямую. Таким образом пре делы выносливости указанных образцов, найденные
10- 2' 4 |
,45 |
расчётом по формуле (?.2Ô) при vo- ô ,l4 , хорошо сов
падают с экспериментальными данными.
Расхождение результатов расчета и эксперимента не превышает 10%, что является обычной погрешностью при испытании ограниченного числа образцов (о о ооразцов на кривую усталости).
Щ - 1
о,з ■о---- -— |
— - |
Va |
|
0,2
0,1 |
, 1 |
|
|
О |
|
- 0,1 |
|
Рис. 7.13. |
Зависимость |
l g ( £ — О <>т lg ( ^ /° ) : |
|
. |
|
/—малоуглвоодястая сталь |
(*в = 0 ,1 4 ); |
2—средяеулеродктая |
® |
нро. |
|
а—алюмяннваый сплав (»„ = 0 ,0 8 ); |
магниевый сплав (»,, =0,3), « |
нязколе |
ро |
||
вгнная хромистая сталь (», — и.П) |
|
|
|||
Чтобы оценить статистически погрешность в °"Р едео лении пределов выносливости по уравнению ( Ь всем данным были вычислены отклонения.
^__(я- ib — 1(д-»)д1р
■* |
[(° —а)д]р |
|
где K a -ilnlm (a _ i)„ -п р ед ел ы |
выносливости натурной |
|
детали, получанные |
расчетом |
и экспериментально со- |
° ТВОшлВоенен°ия б объединяются в две статистические гпуппы: il) для данных, полученных обычным способом на ограниченном числе образцов; 2) для данных, полу
ченных при статистическом исследовании. Эмпирические функции распределения значений ô(% ) нанесены в мас штабе нормального распределения для ординат (на нор мальной вероятностной бумаге) на рис. 7.14. Из рисун ка видно, что среднее квадратическое отклонение «SÎ в первом случае (линия 1) составляет 2% , во втором (линия 2) — 4,3% . Среднее отклонение ô в обоих слу-
Рис. 7.14. Функции распределения отклонения вычис ленных и опытных данных
чаях близко к нулю, т. е. систематических погрешностей уравнение (7.20) в пределах обычной для расчетов точ ности не дает.
Из рис. 7.14 видно также, что с вероятностью 95% абсолютное значение отклонения ô не превышает 8% во
втором |
случае и 4 % — в первом |
случае, что |
соизмери |
мо с погрешностью эксперимента. |
|
|
|
Уравнение (7.20) позволяет вычислить медианное |
|||
значение предела выносливости |
детали, а |
уравнение |
|
(7.15) |
дает возможность построить функцию |
распреде |
|
ления пределов выносливости детали натурных разме ров, если известны значения ла и G, зависящие от рас
пределения напряжений. Эта функция распределения описывается, согласно уравнению (7.15), нормальным за коном распределения величины jt=lg(<jmax—и).
Дисперсия 5 величины lg(dmax— «), зависящая от lg (LIG), согласно выражению (7.16), также описывает ся нормальным законом. Коэффициент вариации яатлх
для самой величины <тт ах определяется путем прибли женной замены нормального распределения lg(0max u) на такое же распределение стщах в пределах значении квантилей щ от — 3 до + 3 , обычно отвечающих объему
Рис. 7.15. Коэффициент вариации пределов выносливости:
I — магниевый сплав; Î — стали н алюминиевые сплавы
располагаемой экспериментальной информации об уста лостных свойствах применительно к расчету элементов конструкций. На рис. 7.15 представлены значения vgmax
в зависимости от L/G для ряда конструкционных метал лов. С увеличением размера сечений и уменьшением не однородности напряженного состояния Уатах умень
шается.
Для сталей и алюминиевых сплавов получается срав нительно узкая зона значений о<ппах (линия 2); для маг ниевого сплава величина vamax существенно выше (ли ния /), чем для сталей и алюминиевых сплавов.
Коэффициент вариации^ояпах = ц(а |
. = |
^п“ характе- |
“ |
д |
а шах |
ризует рассеяние пределов выносливости |
(выраженных |
|
в максимальных напряжениях зон концентрации) де талей, изготовленных из металла одной плавки и не имеющих отклонений фактических размеров от номи нальных. Это рассеяние порождается статистической
природой сопротивления металла усталостному разру
шению, связанной со структурной неоднородностью, на личием фаз, включений и дефектов на поверхности.
Так |
как в |
соответствии с выражением (7.7) |
о |
|
= аа(а_,)Д| то |
с учетом |
приведенного выше выражения |
||
для vmtx |
(роль дисперсии |
аа рассмотрена далее) |
и соот |
|
ношений, |
введенных в уравнение (7.20) |
|
||
(3-Од = (Зшах •°-57-О/*.' “ Ч О / Я -
Таким образом, на рассеяние пределов выносливости де талей серийно изготовляемых машин помимо указанно го фактора будут влиять еще межплавочное рассеяние механических свойств и отклонение фактических разме
ров деталей от номинальных, определяющих рассеяние величины <х0.
Влияние |
межплавочного |
рассеяния |
механических |
свойств металла учитывается |
с помощью |
коэффициента |
|
вариации о_ |
и средних значений пределов выносливости |
||
гладких лабораторных образцов материала диаметром 7,5 мм для данной плавки как выборки из генеральной совокупности. Вариации рассматриваются для совокуп ности п плавок металла данной марки.
|
Если обозначить через _(а_,)/ |
значение |
а_, для i-й |
плавки, то среднее значение о_,, |
стандартное |
отклонение |
|
5 _ |
и коэффициент вариации о_ |
величины |
Т_, будут |
определяться по известным выражениям: |
|
||
|
7-. = (1 |
|
(7.27) |
|
S - |
|
[1/(я— 1)121(а —о-.]'; |
(7.28) |
||
|
|
о - |
= 5 _ |
/7 _ .. |
(7.29) |
|
Если |
прямых |
данных |
по |
межплавочному |
рассеянию |
|
величины о_] нет, |
то, |
учитывая |
линейную зависимость |
|||
между |
пределами |
выносливости |
и пределами прочности |
|||
металла |
на разрыв, |
ориентировочно можно принять, что |
||||
v- |
(где о, — коэффициент вариации предела проч- |
|||||
ности металла на совокупности большого |
числа плавок |
металла данной марки). Обычно va = 0,0(5 |
0 .10- |
Влияние отклонения фактических размеров деталей, особенно в зонах концентрации напряжений, от номи нальных в пределах допусков учитывается с помощью
коэффициента вариации va^ . |
|
|
|
|||||
Относительные колебания |
основных размеров деталей, |
|||||||
например |
диаметров |
валов, |
невелики, и, как |
показывают |
||||
расчеты, |
ими можно пренебречь |
при оценке |
. Основ |
|||||
ное влияние на величину va^оказывают |
случайные откло |
|||||||
нения радиуса |
кривизны в зоне концентрации |
напряжений |
||||||
р которые |
можно |
охарактеризовать коэффициентом ва |
||||||
риации V . Значения |
коэффициента ир должны находиться |
|||||||
по результатам |
измерения достаточных |
по объему выбо |
||||||
рок деталей |
(не менее 30— 50). |
|
|
|
||||
Как |
показывают, например, |
результаты |
измерении |
|||||
150 классных болтов, коэффициенты вариации радиусов перехода от тела болта к головке и закругления первого
витка резьбы |
составляют соответственно ор1 — v ,u u |
и |
||||
V = 0 ,1 4 9 . |
|
|
|
|
|
|
Зависимость ав от р может |
быть представлена |
функ |
||||
цией |
«в = |
?(Р)- |
(7.30) |
|||
|
||||||
|
|
|
||||
Коэффициент |
вариации |
о |
находится по приближенной |
|||
формуле |
о. ~(d<tld?)(?[aa)o |
(7.3П |
||||
|
||||||
где — среднее значение |
ао , |
соответствующее |
р |
р, |
||
(dm/dp) — абсолютное |
значение производной, которое |
|||||
берется при средних геометрических размерах. Для приближенного нахождения производной в выражении (7 31) можно осуществить линейную аппроксимацию функции (7.30) в окрестности заданных значений пара метров, вытекающих из данных измерений.
Общий коэффициент вариации предела выносливо сти натурной детали (при отсутствии сварки, поверх
ностного упрочнения или коррозии) |
|
может быть найден |
||||
по приближенной формуле |
|
|
|
|
|
|
|
---------- ----------- : |
о* |
(7.32) |
|||
» * |
1/ о* 4 - 1»*_ |
+ |
|
|
||
у и emax I |
в |
|
1 |
|
* |
|
(•-Од |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|