книги / Сопротивление материалов усталостному и хрупкому разрушению

является плотностью распределения.

На рис. 7.2 представлены графики функции Р(х) для

Рис. 7.3. Кривые накопленной вероятности нор­ мального распределения с разными параметра­ ми в масштабе квантилей (обозначения см. на рис. 7.2)

является масштабом нормального распределения на­ копленной вероятности, в котором график этого распре­ деления спрямляется, как это видно из рис. 7.3. На рис. 7.4 в качестве примера приведено распределение нако­ пленной вероятности логарифма разрушающего 'числа

циклов (в логарифмическом масштабе) для алюминие­

распределение lgiV со своими параметрами lg N и S(\gN).

Рис. 7.4. Функция нормального распре­ деления lgW A для разрушающего числа циклов при усталостных испытаниях алюминиевого сплава

На рис. 7.5 представлена схема кривой усталости, где одновременно нанесены функции плотности распределе­ ния P(\gN). Дисперсия S(lgiV ) обычно зависит от амплитуды напряжения, увеличиваясь с ее уменьшени­ ем. Заштрихованные площади на графиках плотности распределения характеризуют накопленную вероятность разрушения P(\gN) для числа циклов N. Если нанести точки, соответствующие -P(lg N) = const, то через них можно провести кривую усталости, изображенную пунк­

тиром. Эта кривая соответствует равной вероятности

разрушения Р.

Кривые усталости, нанесенные для одинаковых, но разных по величине вероятностей разрушения Р, обра-

эуют семейство таких кривых по этому параметру. Кри­ вая по средним значениям N соответствует Я = 0,5. В качестве примера на рис. 7.6 приведено семейство кри­

вых усталости для среднеуглеродистой конструкционной стали по параметру Р.

Для описания условий усталостного разрушения (см. § 6) используют гипотезу слабого звена Вейбулла и со­ ответствующее распределение минимальных значений в системе выборок результатов испытаний из генераль­ ной совокупности. Это распределение [см. уравнение (6.11)] при однородных напряженных состояниях даег следующее выражение накопленной вероятности разру-

шения в зависимости от уровня напряжении оа, превы­ шающих минимальную величину предела выносливости

и(являющуюся параметром распределения).

г/- ___tt\ т~\

РЫ -

где т и оо— параметры распределения, рассмотренные

§ б При неоднородных напряженных состояниях для оп­

ется интегрирование по неравномерно напрягаемому объему или площади. Для усталостных разрушении, воз­ никающих в зонах концентрации напряжении или от исходных дефектов, существенна роль неравномерного распределения напряжений по наиболее нагруженному сечению. Это распределение характеризуется выраже-

нием

СГ*у —Оmasy (^> У ) >

где f(x и) — безразмерная функция координат опасного сечения. В соответствии с этим вероятность разрушения в неравномерно напряженной зоне в зависимости от уровня максимальных напряжений аШах выразится сле­ дующим образом:

выражение (7.6) для описания распределения пределов выносливости, выраженных в этих напряжениях, следует

вости детали или элемента конструкции в номинальных напряжениях при симметричном цикле.

Далее рассматривается определение функций нако­ пленной вероятности для пределов выносливости элемен­ тов различной формы как основа расчета на прочность при переменных напряжениях в стационарных и неста­ ционарных условиях. Сначала анализируем случай плос­ кого изгиба призматического элемента с двусторонними

J .

а

Рис. 7.7. Плоский элемент с концентра­ цией напряжений при изгибе момен­ том М :

осхеме нагружения; б — распределение

напряжений

надрезами, показанного на рис. 7.7. Эпюру распределе­ ния напряжений в зоне интегрирования (на участках на которых а ^ и ) заменяем отрезками каса­ тельных к эпюре распределения напряжений в точках,

лежащих на поверхности надрезов. Уравнение касатель­ ной имеет вид

надреза. По этим данным вычисляем интеграл / в пока­ зателе экспоненты выражения (7.6) в пределах от cio до а. Переходя от интегрирования по F u к интегрирова­ нию по х при постоянной ширине сечения b и полагая

2 J [ G ( * - * ) _ y b d x = :

а0

(7.5) с заменой v на F.

Вводим относительный градиент (2 по формуле (2= = G/cTmaxЭлементарные преобразования с использова­

где 1= (Тшах/«. Это уравнение справедливо и для случая

Выражения (7.10), (7.11) являются расчетными зави­ симостями, связывающими между собой Omax, Ь, d, G и Р, и отражают влияние размеров сечения и неоднород­ ности напряженного состояния на вероятностные усло­

вия разрушения.

Для случая изгиба круглых гладких элементов в од­ ной плоскости вычисление интеграла в уравнении (7.6) приводит к следующему выражению:

где /i(|, m )— интеграл, входящий в выражение для /. Аналогичным способом могут быть получены выражения типа (7.9) — (7.12) для элементов других форм попереч­ ного сечения,

Однако ka увеличивается только до некоторого пре­ дельного значения, при дальнейшем увеличении аа значе­ ние k остается практически постоянным. В качестве примера на рис. 7.9 приведена зависимость кя от ая для

образцов диаметром 8,6 и 15 мм с глубокими гиперболи­ ческими выточками, изготовленных из армко железа.

Рис. 7.9. Зависимость от аа

ризует влияние напрягаемых объемов, концентрации на­ пряжений, формы поперечного сечения на сопротивле­ ние усталости и рассеяние характеристик выносливости. Они позволяют расчетным путем находить функции рас­ пределения пределов выносливости деталей, если изве­ стны постоянные и, AL, В, S.

в диапазоне значений lg (L/G), наиболее распространен­

ных в инженерной практике.

Указанное обстоятельство позволяет в первом при­ ближении принять для всех., сталей, деформируемых алюминиевых и магниевых сплавов, а также для чугу­ на с шаровидным графитом значение е<»=0,5, что су­