2. Вычисление и применение тройного интеграла

Схема применения тройного интеграла такая же, как двойного: чертеж, выбор формул, поиск всех элементов формул, вычисление полученных интегралов.

Пример 6

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Решение

Выполним чертеж. Поверхность - круговой цилиндр, его образующие параллельны оси oz, направляющей служит окружность в плоскости oxy. Плоскости z = y, z = 2y проходит через ось ox, но имеют разный наклон к плоскости xoy. Они вырезают из цилиндра слой (область G, тело), объем которого нам нужно вычислить.

0

Объем области G равен .

Вычислим интеграл по формуле

.

Проекцией области G на плоскость xoy является область D, ограниченная окружностью . Снизу область G ограничена плоскостью следовательно Сверху ограничена плоскостью , следовательно

Тогда

Полученный двойной интеграл вычислим в полярных координатах:

Область D расположена в секторе между лучами внутри области изменяется от до

Ответ:

Пример 7

Найти центр массы одородной пирамиды, ограниченной плоскостями

Решение

- координатные плоскости. Найдем точки пересечения плоскости с осями координат. Например с ox: подставим в уравнение плоскости получим точку (a,0,0).

a a

0 a

a 0 a

Проекция пирамиды на плоскость – равнобедренный прямоугольный треугольник, ограниченный осями координат и линией пересечения плоскости с плоскостью Уравнение этой линии в плоскости или Из соображений симметрии ясно, что все три координаты центра массы одинаковы. Найдем по формуле

G – область, занятая пирамидой. Объем пирамиды

Внутри пирамиды переменная изменяется от (нижняя грань) до (верхняя грань).

Тогда

=

тогда

Ответ:

3. Вычисление и применение поверхностного интеграла первого рода

Схема применения:

1. Выбрать формулу по условию задачи и получить поверхностный интеграл.

2. Найти проекцию поверхности на координатную плоскость. Сделать чертеж получившейся плоской области D.

3. Найти формулу элемента поверхности.

4. Поверхностный интеграл привести к двойному интегралу и вычислить двойной интеграл.

Пример 8

Найти массу, распределенную по части эллипсоида находящейся внутри цилиндра если поверхностная плотность массы

Решение

Масса, распределенная по поверхности  с плотностью),  =  (x, y, z) равна поверхностному интегралу

Образующие цилиндрической поверхности параллельны оси oz, направляющей является окружность в плоскости xoy с уравнением . Центр окружности О (0;0), радиус Следовательно, проекция заданной части эллипсоида на плоскость xoy – круг D, ограниченный этой окружностью.

0 1/2

1/2 1/2

Составим формулу элемента

Подставим z и в поверхностный интеграл и приведем его к двойному интегралу

Двойной интеграл вычислим в полярных координатах. Возьмем уравнение окружности Полюс 0 находится внутри области D, поэтому область D занимает сектор от до Внутри области D изменяется от до

Т.к. внутренний интеграл не зависит от , вынесем его за знак внешнего интеграла

.

Ответ:

Пример 9

Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность , состоящую из части поверхности конуса и плоскости .

Решение

Выполним чертеж.

z

0

Найдем линию пересечения поверхностей

В плоскости получили окружность с центром C(0,0,2), радиуса 2.

Вершина конуса O(0,0,0).

Проекцией обеих поверхностей на плоскость является круг D, ограниченный окружностью с центром O(0,0,0), радиуса R=2. Поверхность состоит из конической поверхности и части плоскости поэтому .

Формула вычисления потока

Для вычисления потока вектора через коническую поверхность запишем уравнение конуса в виде

Найдем

Вектор составляет с oz тупой угол, т.е. , коэффициент перед должен быть отрицательным.

Возьмем

,

т.к.

Получим

Вычислим

.

Учитывая, что на поверхности

.

Полученный интеграл вычислим в полярных координатах. Заменим

Вычислим поток вектора через круг в плоскости z = 2. Единичный вектор внешней нормали этой плоскости равен поэтому

(D – круг радиуса 2).

Следовательно

Ответ: