3.4. Поверхностный интеграл второго рода

Рис. 3.7

Пусть поверхность σ задана уравнением z=g(x,y). Чтобы вычислить поверхностный интеграл нужно:

1. Найти проекцию поверхности σ на координатную плоскость хОу, получить область D.

2. Заменить в подынтегральном выражении z и dσ по формулам: получить и вычислить двойной интеграл по области D (в плоскости хОу):

. (9)

Если уравнение поверхности х=g(y,z), то находят проекцию поверхности G на плоскость уОz. Если уравнение поверхности у=g(х,z), то находят проекцию поверхности G на плоскость хОz.

3.5. Тройной интеграл

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению «внутреннего» определенного интеграла и «внешнего» двойного интеграла по области D – проекции области G на координатную плоскость.

Пусть в трехмерном пространстве Охуz область G ограничена сверху поверхностью z=q(x,y),снизу поверхностью z=p(x,y), а с боков – цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси оz (эта граница может отсутствовать). Найдем D – проекцию области G на плоскость Оху.

Рис. 3.8

. (10)

Сначала вычисляют внутренний интеграл , считая временно х и у постоянными величинами и получают функцию двух переменных х и у, потом от этой функции вычисляют «внешний» двойной интеграл, подобрав удобную для вычисления этого интеграла формулу. Иногда удобнее проецировать тело на плоскость Охz или Oyz.

II. Применение кратных и криволинейных интегралов.

С помощью интегралов можно найти величину Т, связанную с некоторой областью Q и обладающую двумя свойствами:

1. При разбиении области Q на элементарные части ΔQ_i величина Т тоже разбивается на элементарные части ΔТ_i, причем . Такие величины называются аддитивными.

2. ΔТ_i приблизительно пропорциональна мере ΔQ_i, т.е. . Для каждого i коэффициент k постоянен и связан с ΔQ_i, т.е. K=f(M_i), где .

Тогда приближенные значения и точное значение , .

Величину Т, обладающую этими свойствами, можно найти проще, если взять элемент dQ области Q и найти формулу элемента dT величины T, т.е. получить dT=f(M)dQ, где . Тогда .

1. Длина дуги кривой

1. Если плоская кривая задана параметрически

то длина дуги

. (11)

Для пространственной кривой

. (11a)

2. Если плоская кривая – график функции y=g(x), , то

. (11б)

2. Площадь плоской области

. (12)

В прямоугольных координатах

. (12а)

В полярных координатах

. (12б)

3. Площадь поверхности

, где . (13)

4. Объем тела

1. . (14)

2. Объем цилиндрического тела с основанием на координатной плоскости хОу, ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y), можно вычислить сразу с помощью двойного интеграла.

. (14а)

5. Масса, распределенная в заданной области

Говорят, что масса непрерывно распределена в области Q, если каждой мысленно выделенной части ΔQ этой области соответствует значение массы Δm. При этом, масса отдельно взятой точки равна нулю.

Пусть точка . Плотностью распределения массы в точке М области Q называют величину , равную

, (15)

причем ΔQ все время содержит точку М.

Если масса распределена на дуге кривой, получаем линейную плотность, на поверхности – поверхностную плотность, в трехмерной области – плотность. Так как масса распределена неравномерно, то плотность в точке является функцией точки δ=δ(M).

Из определения плотности массы (15) следует, что элемент массы равен или dm=δdQ, тогда масса, распределенная в области Q с плотностью δ=δ(M) равна

. (16)

Аналогично вводят понятие плотности заряда в диэлектрике, плотности энергии электромагнитного поля и др. Все эти величины находят по формуле (16). Так, если электрический заряд q распределен в области Q с плотностью заряда λ=λ(M), то

. (17)

Частные случаи распределения массы:

1. масса, распределенная с плотностью δ на дуге L кривой.

- для плоской кривой;

- для пространственной кривой; (16а)

2. масса, распределенная с поверхностной плотностью δ по области D

; (16б)

3. масса, распределенная с поверхностной плотностью δ по части σ кривой поверхности

; (16в)

4. масса, распределенная с плотностью δ в трехмерной области G

. (16г)