8.1 Плоское потенциальное поле

Если поле плоское, т.е.

(33)

- поле называется потенциальным при .

В этом случае , т.е. и для всех дуг, натянутых между точками А и В.

Получили, что при криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Работа силы не зависит от пути, по которому движется точка. Тогда криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру в заданной области равен нулю.

(34)

т.е. циркуляция поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю .

Потенциал плоского поля находят по формуле

, (35)

где М(х,у), М₀(х₀,у₀) взяты произвольно. Удобнее всего за дугу брать двузвенную ломаную линию, звенья которой параллельны осям координат, так как на вертикальном звене , а на горизонтальном .

Рис. 8.1

(36)

IV. Решение типовых задач

1. Вычисление и применение двойного интеграла

При решении этих задач используйте следующую схему:

1. Сделать чертеж;

2. Выбрать подходящие формулы (по условию задачи и по чертежу);

3. Найти все элементы выбранных формул;

4. Вычислить получившийся повторный интеграл.

Пример 1

Вычислить если D:

Изменить порядок интегрирования в полученном повторном интеграле и еще раз вычислить интеграл

Решение

Построим чертеж.

Уравнения границ области (каждое неравенство, задающее D, превращаем в уравнение).

Для вычисления выберем формулу

Найдем элементы формулы.

Т.к. область расположена между прямыми x = 1 и x = 3, то a = 1, b = 3. Нижняя граница области – дуга задана уравнением следовательно . Верхняя граница – прямая AC задана уравнением y = 10 – x, следовательно

h (x) = 10 – x. Получим повторный интеграл.

Вычислим внутренний интеграл, считая x – постоянной.

От полученной функции вычислим внешний интеграл

Изменить порядок интегрирования в данном случае означает, что внутренний интеграл нужно взять по x, а внешний по y и для вычисления интеграла выбрать формулу.

Выполним чертеж еще раз.

Найдем координаты точек A, B и C:

Правая граница области D состоит из отрезков BC и AC различных прямых, следовательно область D нужно разбить на две части и , тогда

уравнения границ нужно решить относительно x. Левая граница обеих частей – дуга : Правая граница области - отрезок BC: x = 3. Правая граница области - отрезок AC: Область расположена между прямыми y = 3 и y = 7. Внутри области x изменяется от границы до границы x = 3. Получим

Область расположена между прямыми y=7 и y=9. Внутри области x изменяется от границы до границы x = 10 – y.

Получим

Следовательно

-

порядок интегрирования изменен.

Вычислим

Внутренний интеграл вычисляем, считая y – постоянной.

,

Тогда

Вычислим

.

Следовательно

Мы убедились, что в данном случае проще вычислить внутренний интеграл по y, а внешний по x.

Ответ:

Пример 2

Найти статические моменты относительно осей координат однородной фигуры: ограниченной линиями =4, 2x + y = 2 и расположенной в первой четверти, если поверхностная плотность массы .

Решение

Выполним чертеж.

Л

иния 4 - эллипс

2x + y = 2 – прямая.

При построении получили точки пересечения линий A (1;0), B (0;2). По условию задачи выберем формулы вычисления статических моментов плоской области.

.

При вычислении внутренний интеграл удобнее брать по y, а при вычислении по x, т.к. в этом случае внешние интегралы получаются более простыми (проверьте это). Используем обе формулы вычисления двойного интеграла, а значит, уравнения границ области нужно решить и относительно y и относительно x.

Отрезок прямой или

Дуга эллипса или

Ответ:

Пример 3

Найти момент инерции относительно оси ox фигуры, ограниченной линиями если поверхностная плотность массы

Решение

Выполним чертеж

По условию задачи выберем формулу момента инерции

Область D удобна для вычисления повторного интеграла при любом порядке интегрирования. Подынтегральная функция по x интегрируется значительно легче, чем по y , поэтому возьмем внутренний интеграл по x , а внешний по y.

Решим уравнения границ относительно x. Левая граница: (задана). Правая граница: .

Область D расположена между прямыми и Внутри области x изменяется от границы до границы значит

Ответ:

Пример 4

Вычислить если D:

Решение

Построим область D. Границы области: - окружности радиусов 1 и с центром в начале координат y = 0, y = x – прямые.

Т.к. область интегрирования – часть кольца, перейдем к полярным координатам. В подынтегральном выражении заменим x, y и ds по формулам

Предварительно заменим

Тогда

запишем в полярных координатах уравнения границ области

В полярных координатах внешний интеграл всегда берем по , а внутренний по . Область расположена в секторе между лучами и . Внутри области изменяется от границы до границы .Следовательно, по формуле

.

Внутренний интеграл вычислим, используя формулу интегрирования по частям:

Тогда

Ответ:

Пример 5

Вычислить площадь общей части двух кругов:

Решение

Сделаем чертеж

- окружность с центром в точке радиуса - окружность с центром в точке радиуса

Выберем формулу площади фигуры в полярных координатах, т.к. область ограничена окружностями

Граница области состоит из дуг и разных окружностей, разобьем область D лучом OA на две части и .

Площадь обозначим площадь обозначим

Уравнения окружностей запишем в полярных координатах

.

Найдем уравнение луча OA, для чего найдем полярный угол точки A пересечения окружностей.

Уравнение луча OA:

Т.к. окружность касается оси ox, то область ограничена лучом . Т.к. окружность касается оси oy, то область ограничена лучом .

Область расположена в секторе между лучами и , внутри области изменяется от до . Запишем и вычислим интеграл по формуле

=

Область расположена в секторе между лучами и , внутри области изменяется от до .

.

Следовательно

Ответ: .