6. Дивергенция векторного поля

Пусть в трехмерном пространстве (или в области G) определено векторное поле . Возьмем произвольную точку М и окружим замкнутой поверхностью σ. Вычислим поток векторного поля через поверхность σ. Найдем объем v области, ограниченной σ. Дивергенцией (расходимостью) векторного поля в точке М называется предел отношения потока векторного поля через замкнутую поверхность σ к объему области, ограниченной σ, вычисленный при условии, что поверхность σ стягивается в точку М.

. (26)

Если в пространстве введена прямоугольная система координат Охуz и

, то

пишут . (27)

Ранее мы говорили, что все эти частные производные существуют. Используя гидродинамическую интерпретацию, считаем поле стационарным полем скоростей несжимаемой текущей жидкости. Это течение может быть обусловлено наличием источников – точек, производящих жидкость, и стоков – точек, поглощающих жидкость. Величина дает объем жидкости, протекающей в единицу времени с внутренней стороны σ на внешнюю. Но эта величина равна количеству жидкости, вырабатываемой всеми источниками, находящимися в области, ограниченной σ, т.е. равна суммарной мощности всех источников внутри σ. Тогда предел отношения мощности источников в области к объему области, найденный при условии, что область стягивается (сжимается) в точку М, равен плотности мощности источников жидкости в этой точке.

Итак, в гидродинамической интерпретации дивергенция векторного поля в точке М – это плотность мощности источников жидкости в этой точке.

Есть и другие интерпретации. Так, в электрическом векторном поле напряженности, созданном электрическими зарядами, распределенными в пространстве, дивергенция вектора напряженности является плотностью распределения электрических зарядов в данной точке поля.

7. Ротор (вихрь) векторного поля

Пусть в пространстве (или в области G) определена прямоугольная система координат и задано векторное поле

.

Ротором поля в точке М называют вектор

(28)

Этот вектор характеризует завихренность поля в точке М (тенденцию к вращению). Проведем через точку М плоскость Г, ее ориентацию в пространстве зададим единичным нормальным вектором , в точке М.

В плоскости Г возьмем замкнутую кривую L, обходящую точку М, и выберем направление обхода L таким, чтобы с конца обход казался происходящим против движения часовой стрелки.

Обозначим площадь, ограниченную контуром L, через ΔS. Найдем циркуляцию векторного поля вдоль контура L .

Доказывается, что проекция ротора поля в точке М на вектор равна пределу отношения циркуляции поля по контуру L к площади ΔS, ограниченной контуром, при условии, что контур L стягивается в точку М, а .

(29)

8. Потенциальное векторное поле

Векторное поле , заданное в односвязной области G, называется потенциальным, если существует такая скалярная функция f(M), что во всех точках вектор

(30)

В этом случае функция f(M)=f(x,y,z) называется потенциалом векторного поля . (Для силовых полей f(M) называется силовой функцией, потенциалом называется (-1)f(M)=-f(M).

Теорема (признак потенциального поля)

Для того, чтобы векторное поле было потенциальным в односвязной области G, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке М этой области .

Необходимость можно формально рассмотреть: . «Векторы» и f коллинеарны, следовательно, их векторное произведение равно нулю

(31)

Пусть .

.

Получим, что поле является потенциальным в том и только в том случае, когда

(32)