- •Оглавление
- •IV. Решение типовых задач 32
- •V. Варианты контрольных работ 54
- •Список литературы 84 введение
- •I. Кратные и криволинейные интегралы
- •Понятие интеграла от скалярной функции
- •2. Основные свойства интегралов
- •3. Вычисление интегралов
- •3.1. Определенный интеграл
- •3.2. Криволинейный интеграл
- •3.3. Двойной интеграл
- •3.4. Поверхностный интеграл второго рода
- •3.5. Тройной интеграл
- •II. Применение кратных и криволинейных интегралов.
- •III. Элементы теории поля
- •Понятие поля
- •Векторные линии
- •Работа силового поля. Криволинейный интеграл второго рода. Циркуляция вектора вдоль замкнутого контура
- •Поток вектора через поверхность
- •Вектор площадки
- •Понятие потока вектора через поверхность
- •Гидродинамический смысл потока вектора через поверхность. Поток жидкости через поверхность
- •Поток вектора через плоскую кривую l
- •Свойства и вычисление потока вектора через поверхность
- •Оператор Гамильтона «набла»
- •Дивергенция векторного поля
- •Ротор (вихрь) векторного поля
- •Потенциальное векторное поле
- •8.1 Плоское потенциальное поле
- •IV. Решение типовых задач
- •Вычисление и применение двойного интеграла
- •Вычисление и применение тройного интеграла
- •Вычисление и применение поверхностного интеграла первого рода
- •Вычисление и применение криволинейного интеграла.
- •V. Варианты контрольных работ Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Список литературы
Вариант 6
1. Найти электрический заряд фигуры, ограниченной линиями если поверхностная плотность заряда
Ответ:
2. Найти массу фигуры если поверхностная плотность массы .
Ответ: m = 2ln2.
3. Найти момент инерции линии относительно оси ox, если линейная плотность массы
Ответ:
4. Найти работу поля при перемещении точки по дуге эллипса x = 4cos t, y = 3sin t от B (0,3) до C (-4,0). Найти циркуляцию вектора по замкнутому контуру, составленному из дуги эллипса и прямых CD и DB, если D (0;-2). Найти поток вектора через дугу эллипса.
Ответ:
5. Найти координаты центра массы однородного тела, ограниченного поверхностями
Ответ: С (1,0,0).
6. Найти площадь части плоскости z = 4 – x, вырезанной поверхностями z = 0, x= .
Ответ: .
7. Найти дивергенцию и ротор векторного поля в точке M (x, y, z) и в точке
Ответ: .
Вариант 7
1. Найти абсциссу центра массы однородной фигуры
Ответ:
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой и прямой и расположенной справа от прямой.
Ответ:
3. Найти координаты центра массы однородной кривой
Ответ:
4. Найти работу поля при перемещении точки по дуге параболы от O (0,0) до B (1,2). Найти циркуляцию вектора по замкнутому контуру OCBO состоящему из дуги BO параболы и прямых OC и CB, если C (1; -1). Найти поток вектора через дугу параболы.
Ответ:
5. Вычислить электрический заряд тела, ограниченного поверхностями и расположенного в первом октанте если плотность заряда
Ответ:
6. Найти массу части плоскости вырезанной цилиндром если поверхностная плотность массы
Ответ:
7. Найти дивергенцию и ротор векторного поля в точке
Ответ:
Вариант 8
1. Найти ординату центра массы однородной фигуры
Ответ:
2. Найти момент инерции однородной фигуры относительно оси ox, если поверхностная плотность массы
Ответ:
3. Найти длину дуги астроиды
Ответ:
4. Найти работу поля при перемещении точки по дуге параболы от B (-1,0) до O (0,0). Найти циркуляцию вектора по замкнутому контуру OCBO, состоящему из дуги BO параболы и прямых OC и CB, где
C (-1,2). Найти поток вектора через дугу .
Ответ:
5. Вычислить электрический заряд тела, ограниченного плоскостями x + y + z = 2, x= 0, z = 0, x – y = 0, если плотность заряда
Ответ:
6. Найти массу полусферы если поверхностная плотность массы
Ответ:
7. Найти дивергенцию и ротор векторного поля в точке M(x,y,z) и в точке
Ответ:
Вариант 9
1. Найти координаты центра массы однородной фигуры, ограниченной линиями
Ответ:
2. Найти электрический заряд кольца если поверхностная плотность заряда .
Ответ:
3. Найти электрический заряд участка кривой если линейная плотность заряда .
Ответ:
4. Найти работу поля при перемещении точки по дуге параболы от O (0,0) до B (2,0). Найти циркуляцию вектора по замкнутому контуру, состоящему из дуги и прямых OC и CB, если C (2;-1). Найти поток вектора через дугу
Ответ:
5. Найти массу тела, ограниченного поверхностями если плотность массы
Ответ:
6. Найти момент инерции относительно оси Oz части однородной поверхности сферы если поверхностная плотность массы
Ответ:
7. Найти дивергенцию и ротор векторного поля в точке и в точке
Ответ: