9.2. Задачі

9.2.1. Типові задачі

Однофакторний зв’язок, парна кореляція.

Задача №32. Завдання. За умов задачі №6, по даних про місячні трудові доходи (Х, грн.) і грошові витрати на купівлю продуктів харчування (Y, грн.) 20-ти вибірково обстежених сімей N-ої обл., вважаючи факторною ознакою трудові доходи, а результативною – грошові витрати на купівлю продуктів харчування:

1) побудувати кореляційне поле факторного зв’язку грошових витрат на купівлю продуктів харчування і трудових доходів;

2) представити модель зв’язку функціонально такими рівняннями регресії: (а) лінійним, (б) напівлогарифмічним, (в) показниковим, - перевіривши на значущість оцінки параметрів моделі;

3) оцінити детермінованість (стохастичність) зв’язку з перевіркою значущості параметрів зв’язку на рівні значущості 0,05;

4) обрати серед трьох запропонованих рівнянь регресії адекватне, використовуючи критерії найменшої середньої відносної та квадратичної похибок апроксимації, і зобразити криву регресії на одному графіку з кореляційним полем.

Зробити висновки по кожному пункту завдання.

Розв’язок. Для зручності розрахунків початкові дані і результати проміжних розрахунків щодо синтезування регресійної моделі представимо в розрахунковій таблиці №1.

Розрахункова таблиця №1

i	xi	yi	xi²	xiyi	lgxi	(lgxi)²	yilgxi	lgyi	xilgyi
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1000	500	1000000	500000	3,000000	9,000000	1500,000000	2,698970	2698,970004
2	2500	1000	6250000	2500000	3,397940	11,545996	3397,940009	3,000000	7500,000000
3	3000	1500	9000000	4500000	3,477121	12,090372	5215,681882	3,176091	9528,273777
4	4500	2000	20250000	9000000	3,653213	13,345962	7306,425028	3,301030	14854,634980
5	2000	600	4000000	1200000	3,301030	10,896799	1980,617997	2,778151	5556,302501
6	5000	2000	25000000	10000000	3,698970	13,682379	7397,940009	3,301030	16505,149978
7	6500	2700	42250000	17550000	3,812913	14,538308	10294,866063	3,431364	22303,864467
8	7000	3000	49000000	21000000	3,845098	14,784779	11535,294120	3,477121	24339,848783
9	2200	700	4840000	1540000	3,342423	11,171789	2339,695877	2,845098	6259,215688
10	2400	800	5760000	1920000	3,380211	11,425828	2704,168993	2,903090	6967,415969
11	4200	1500	17640000	6300000	3,623249	13,127935	5434,873936	3,176091	13339,583288
12	4500	1800	20250000	8100000	3,653213	13,345962	6575,782525	3,255273	14648,726273
13	3700	1500	13690000	5550000	3,568202	12,732064	5352,302586	3,176091	11751,537659
14	4000	1800	16000000	7200000	3,602060	12,974836	6483,707984	3,255273	13021,090020
15	2800	1400	7840000	3920000	3,447158	11,882898	4826,021244	3,146128	8809,158500
16	3200	1200	10240000	3840000	3,505150	12,286076	4206,179974	3,079181	9853,379987
17	4200	2300	17640000	9660000	3,623249	13,127935	8333,473368	3,361728	14119,256911
18	4500	2400	20250000	10800000	3,653213	13,345962	8767,710033	3,380211	15210,950588
19	3000	1000	9000000	3000000	3,477121	12,090372	3477,121255	3,000000	9000,000000
20	4000	1700	16000000	6800000	3,602060	12,974836	6123,501985	3,230449	12921,795686
Σ	74200	31400	315900000	134880000	70,663594	250,371090	113253,304867	62,972370	239189,15506

1) Побудуймо кореляційне поле залежності грошових витрат на купівлю продуктів харчування від трудових доходів (див. множину точок (1) на рисунку).

2

1

Рис. Кореляційне поле (1) і лінія регресії (2) залежності грошових витрат 20-ти

сімей N-ої обл. на купівлю продуктів харчування від їх трудових доходів

у звітному місяці

2) Представимо модель зв’язку функціонально рівняннями регресії:

а) лінійним, для чого розрахуємо оцінки параметрів лінійної моделі (9.18):

а₀ = (31400 · 315900000 – 134880000 · 74200) :

: (20 · 315900000 – 74200 · 74200) ≈ -109,355458 (грош.од.);

а₁ = (20 · 134880000 – 74200 · 31400) :

: (20 · 315900000 – 74200 · 74200) ≈ 0,452656;

б) півлогарифмічним, для чого розрахуємо оцінки параметрів напівлогарифмічної моделі (9.20):

а₀ = (31400 · 250,371090 – 113253,304867 · 70,663594) :

: (20 · 250,371090 – 70,663594 · 70,663594) ≈ -10031,962465 (грош.од.);

а₁ = (20 · 113253,304867 – 31400 · 70,663594) :

: (20 · 250,371090 – 70,663594 · 70,663594) ≈ 3283,717077;

в) показниковим, для чого розрахуємо оцінки параметрів показникової моделі (9.19):

а₀ = 10^{(315900000 · 62,972370 – 74200 · 239189,155060) : (20 · 315900000 – 74200 · 74200)} ≈ 1,000315(грош.од.);

а₁ = 10^{(20 · 239189,155060 – 74200 · 62,972370) : (20 · 315900000 – 74200 · 74200)} ≈ 437,142457.

Отже, рівняння регресії виглядають так (9.3):

- лінійне – Y_X = -109,355458 + 0,452656 · X;

- напівлогарифмічне – Y_X = -10031,962465 + 3283,717077 · lgX;

- показникове – Y_X = 437,142457 · 1,000315^X.

Для зручності проміжні розрахунки щодо оцінки якості регресійних моделей представимо в розрахунковій таблиці №2.

Перевіримо значущість розрахованих оцінок на рівні значущості 0,05, для чого, скориставшись отриманими рівняннями, обчислимо відповідні теоретичні значення результативної ознаки (представлені в гр.гр. 6-8 розрахункової таблиці №2), відповідні значення квадратичного відхилення фактичних і теоретичних значень результативної ознаки (представлені в гр.гр. 9-11 розрахункової таблиці №2; див нижче), а також:

- СКВ факторної ознаки (5.15 і 5.17) –

-

- критичне значення t-критерію (Д.4) t_кр. = |t|_{20 – 2; 1 – 0,05} = 2,100922;

а) для лінійної моделі:

- залишкове СКВ (9.28) –

- залишкову дисперсію – σ_Е² = 221,298257² = 48972,918551 (грош.од.²);

- значення t-критерію для оцінок а₀ і а₁ (9.80):

б) для напівлогарифмічної моделі:

- залишкове СКВ (9.28) –

- залишкову дисперсію – σ_Е² = 292,558553² = 85590,506933 (грош.од.²);

- значення t-критерію для оцінок а₀ і а₁ (9.80):

в) для показникової моделі:

- залишкове СКВ (9.28) –

- залишкову дисперсію – σ_Е² = 371,771013² = 138213,686107 (грош.од.²);

- значення t-критерію для оцінок а₀ і а₁ (9.80):

3) Оцінимо детермінованість (стохастичність) зв’язку з перевіркою значущості параметрів зв’язку на рівні значущості 0,05, для чого, скористаємось попередніми результатами, а також обчислимо:

- середнє арифметичне значення результативної ознаки

- загальну дисперсію (9.27)

- критичне значення F-критерію (Д.5) F_кр. = F_{2 – 1; 20 – 2; 1 – 0,05} = 4,413873;

а) для лінійної моделі:

- оцінку коефіцієнта детермінації (9.25)

- значення F-критерію для оцінки (9.83 і 9.84)

- оцінку коефіцієнта кореляції (9.53)

- значення t-критерію для оцінки (9.86)

б) для півлогарифмічної моделі:

- оцінку коефіцієнта детермінації (9.25)

- значення F-критерію для оцінки (9.83 і 9.84)

в) для показникової моделі:

- оцінку коефіцієнта детермінації (9.25)

- значення F-критерію для оцінки (9.83 і 9.84)

4) Оберемо серед цих трьох рівнянь регресії адекватне (9.8), скориставшись результатами проміжних розрахунків (див. розрахункову таблицю 2):

4-1) найменшої середньої відносної похибки апроксимації (9.9):

а) для лінійної моделі (гр.12) (адекватна)

ε_{апрокс.} = 281,951958 : 20 ≈ 14,097598 (%) (min);

б) для півлогарифмічної моделі (гр.13)

ε_{апрокс.} = 446,640798 : 20 ≈ 22,332040 (%);

в) для показникової моделі (гр.14)

ε_{апрокс.} = 330,776127 : 20 ≈ 16,538806 (%);

4-2) квадратичної похибки апроксимації (9.10), вона ж – залишкове СКВ σ_Е:

а) для лінійної моделі (гр.9) (адекватна)

σ_{апрокс.} = 221,298257 (грош.од.) (min);

б) для півлогарифмічної моделі (гр.10)

σ_{апрокс.} = 292,558553 (грош.од.);

в) для показникової моделі (гр.11)

σ_{апрокс.} = 371,771013 (грош.од.).

Зобразимо лінію адекватної моделі регресії на одному графіку з кореляційним полем (лінія 2 на рисунку).

Висновки: Побудувавши три регресійні моделі факторного зв’язку між грошовими витратами сімей на купівлю продуктів харчування (результативна ознака) та їх трудовими доходами (факторна ознака) по місячних звітних даних про 20 сімей, а також задавшись мірою точності оцінки шуканих параметрів зв’язку, можна зробити наступні висновки.

1) Із збільшенням значень факторної ознаки спостерігається загальна тенденція до збільшення результативної ознаки (див. кореляційне поле на рисунку). Враховуючи, що залежність цих ознак між собою є неоднозначною, зв’язок між ними є кореляційним.

2) Усі три дані функції (лінійна, напівлогарифмічна та показникова) підходять для вирівнювання (осереднення) кореляційного зв’язку, тому що оцінки параметрів цих моделей є значущими на заданому рівні значущості α = 0,05 t-критерію, тобто фактичні значення критерію, обчислені для кожної оцінки, в декілька разів (від 2,5 до 32300) перевищують його критичне значення (2,10). Лише оцінки А₀ відповідних параметрів лінійної та показникової моделей дають квантилі, менші в 2,79 і 1,17 разів відповідно, ніж критичне значення t-критерію. Але їх незначущість не є принциповою для вибору адекватної моделі серед запропонованих, тим паче, значущою є оцінка А₁ коефіцієнта лінійної регресії, який «відповідає» за зв’язок між ознаками. Вибір саме t-критерію для перевірки оцінок на значущість зроблений через обмежений об’єм вибірки (20 одиниць, що менше 30-ти).

3) Зв’язок між ознаками можна визнати дуже сильним, якщо вважати його або лінійним, або напівлогарифмічним, тому що для цих двох моделей відпо-

відні оцінки коефіцієнта детермінації за шкалою Чеддока перевищують 0,9 (0,945888 і 0,903313), і лише показникова модель, для якої = 0,838350 (більше 0,7 i менше 0,9), за згаданою шкалою дає сильний зв’язок. Однак, усі три моделі характеризуються переважаючим відсотком варіації результативної ознаки, обумовленим впливом саме обраного Х-фактора: 89,47 % для лінійного зв’язку, 81,60 % для напівлогарифмічного зв’язку і 70,28 % для показникової моделі.

Говорячи про лінійну модель, необхідно оцінити міру лінійного статистичного зв’язку між ознаками за допомогою оцінки коефіцієнта кореляції, значення якої повинно співпадати зі значенням квадратного кореня від оцінки коефіцієнта детермінації. Обидві оцінки насправді мають однакові значення (0,945888), що підтверджує коректність розрахунків, і, до того ж, наближені до одиниці, що свідчить про дуже високу «лінійність» зв’язку.

Оцінки коефіцієнтів детермінації та коефіцієнта кореляції усіх трьох моделей є значущими, тому що фактичні значення відповідно F-критерію і t-критерію, обчислені для них на рівні значущості α = 0,05, перевищують критичні значення критеріїв: 4,413873 і 2,100922 відповідно. Вибір саме F- і t-критеріїв для перевірки оцінок на значущість зроблений через обмежений об’єм вибірки (20 одиниць, що менше 30-ти).

4) Отже, кожна з цих моделей характеризується досить високою якістю оцінюваного факторного зв’язку, але говорячи про адекватність регресійної моделі, єдиною серед них, яка і за критерієм найменшої середньої відносної похибки апроксимації, і за критерієм найменшої середньої квадратичної похибки апроксимації дає найменшу відповідну похибку (14,10 % і 221,298257 грош.од.), є лінійна модель. До того ж, вона є й найпростішою.

Багатофакторний зв’язок, множинна кореляція.

Задача №33. Початкові умови. Валовий прибуток (залежна ознака Y), основні фонди (факторна ознака Х₁) і оборотні засоби (факторна ознака Х₂) 19-ти випадково відібраних типових підприємств виробничої галузі у звітному періоді становили (таблиця):

Таблиця

№ підприємства	Y, млн.грош.од.	Х1, млн.грош.од.	Х2, млн.грош.од.
1	2	3	4
1	203,4	119,0	105,4
2	63,3	28,1	56,0
3	36,1	15,9	35,0
4	34,4	36,8	36,8
5	45,9	17,5	54,2
6	113,7	50,3	63,4
7	121,8	55,9	26,8
8	70,8	26,1	43,2
9	87,8	21,6	40,7
10	75,8	25,4	66,5
11	49,0	17,2	25,1
12	111,8	119,6	54,3
13	96,4	124,2	41,9
14	80,0	114,8	36,2
15	88,9	166,5	50,0

Продовження таблиці

1	2	3	4
16	75,2	103,5	58,4
17	61,8	141,1	42,8
18	237,7	154,2	106,7
19	160,5	24,4	36,8

Завдання: По наведених даних, а також, встановивши рівень значущості α = 0,05 t- і F-критеріїв щодо перевірки якості регресійної моделі, побудувати двофакторну лінійну модель залежності валового прибутку від основних фондів і оборотних засобів і за допомогою цієї моделі виконати параметризацію, верифікацію і прогноз, для чого:

1) знайти оцінки а_j коефіцієнтів регресії α_j та провести регресійний аналіз за допомогою нормованих оцінок коефіцієнтів регресії і частинних коефіцієнтів еластичності;

2) перевірити оцінки а_j на незміщеність (передумови застосування МНК) і значущість, здійснивши дисперсійний аналіз із визначенням коваріаційної матриці;

3) по значущих оцінках обчислити границі довірчих інтервалів відповідних коефіцієнтів регресії;

4) визначити оцінки множинних коефіцієнтів детермінації та кореляції (в т.ч. через обчислення кореляційної матриці) з перевіркою їх значущості;

5) визначити оцінки парних коефіцієнтів кореляції між результативною ознакою і кожною з факторних ознак, а також між самими Х-факторами з перевіркою наявності лінійного зв’язку між останніми (мультиколінеарності);

6) визначити оцінки частинних коефіцієнтів детермінації (кореляції), в тому числі в матричній формі, з перевіркою їх значущості й обчисленням границь довірчих інтервалів коефіцієнтів при значущих оцінках;

7) виконати прогноз із визначенням границь довірчих інтервалів для середнього й індивідуального значень результативної ознаки при наступних очікуваних значеннях Х-факторів: Х_1р = 150 млн.грош.од. і Х_2р = 80 млн.грош.од.;

8) оцінити прогнозні можливості моделі за критерієм М.А.Р.Е. (середньої відносної похибки прогнозу) і через визначення коефіцієнта відповідності Тейла.

Якщо можна, спростити модель, і по кожному завданню зробити висновки.

Розв’язок. Дана задача передбачає проведення багатофакторного аналізу з оцінкою параметрів зв’язку (параметризація) і перевіркою значущості отриманих оцінок щодо встановлення остаточного виду рівняння регресії (верифікація), яке представляє модель двофакторного зв’язку даних ознак.

1) Виконаємо параметризацію, для чого запишемо лінійне рівняння моделі зв’язку (9.11):

Y = α ₀ + α₁ · X₁ + α₂ · X₂ + E,

де α₀, α₁ і α₂ – коефіцієнти лінійної регресії Y на X₀ (одинична фіктивна змінна), X₁ і X₂ відповідно;

Е – випадковий залишок.

У матричному виді це рівняння запишеться так (9.12 і 9.13):

Y = α · X + E,

де Y – вектор-стовпець значень результативної ознаки розміру n = 19;

α – вектор стовпець невідомих значень коефіцієнтів регресії розміру (М + 1) = 3 (М – кількість Х-факторів);

Х – матриця значень Х-факторів розміру (n × (M + 1)) = (19 × 3) (перший стовпець – значення фіктивної змінної Х₀ при вільному коефіцієнті α₀, кожне з яких умовно обране за 1;

E – вектор-стовпець невідомих значень залишку розміру n = 19:

Всього:

1814,3

16

180,2

1362,1

Рівняння регресії, що гіпотетично (функціонально та наближено, без урахування E) характеризує багатофакторний зв’язок між Y і {X_j}, представляє множинну регресію та має вид (9.14 і 9.15):

Y_Х = АX,

де Y_Х – вектор-стовпець гіпотетичних значень результативної ознаки розміру n = 19;

А – вектор-стовпець шуканих оцінок параметрів факторного зв’язку розміру (M + 1) = 3:

1-1) Оцінки а_j параметрів α_j, визначені із застосуванням МНК (9.16), мають вид:

А=(X'X)^-1X'Y, –

де X' – результат транспонування матриці Х; (…)^-1 –обертання матриці.

Отже,

Висновок: Отже, рівняння лінійної регресії даного кореляційного зв’язку має вид:

Y_Х = 2,794061 + 0,190313 · X₁ + 1,532328 · X₂.

Гіпотетичні значення {у_хi} результативної ознаки визначаються підстановкою в рівняння регресії фактичних значень Х-факторів. Вони становлять:

Всього:

1814,300000

Рівність сум фактичних (Σу_і) і гіпотетичних (Σу_хі) значень результативної ознаки (1814,3 = 1814,3) свідчить про коректність виконаних розрахунків.

1-2) Оцінимо вплив обох факторів на валовий прибуток, для чого обчислимо нормовані емпіричні коефіцієнти регресії. Для визначення останніх нам знадобляться числові характеристики положення та розсіювання результативної та факторних ознак (у значеннях вибіркових оцінок):

- середнє арифметичне значення Х₁-фактора (5.1)

- середнє арифметичне значення Х₂-фактора (5.1)

- середнє арифметичне значення залежної змінної Y (5.1)

- СКВ Х₁-фактора (5.15 і 5.17)

- СКВ Х₂-фактора (5.15 і 5.17)

- СКВ залежної змінної Y (5.15 і 5.17)

Усі проміжні розрахунки (гр.гр.4-6) для зручності зведені в розрахункову таблицю №1 (див. нижче).

Отже, нормовані емпіричні коефіцієнти регресії становлять (9.36):

Через малий об’єм вибірки (n = 19) отримані оцінки СКВ можуть бути зміщеними. Незміщені їх оцінки дає ділення у формулі СКВ не на n, а на (n – 1). Але у визначені коефіцієнтів β співвідношення двох оцінок СКВ дає взаємне скорочення знаменників останніх, тому у формулах β необов’язково застосовувати незміщені оцінки СКВ.

Висновок: При зміні розміру основних фондів (оборотних засобів) на величину одного свого СКВ валовий прибуток змінюється на 0,189232 (0,630431) величини свого СКВ. Це означає, що другий фактор в 3,33 (0,630431 : 0,189232) рази сильніше впливає на валовий прибуток, ніж перший фактор.

1-3) Оцінимо вплив кожного фактора на валовий прибуток, для чого обчислимо частинні коефіцієнти еластичності¹⁸:

Висновок: При зміні розміру основних фондів (оборотних засобів) на 1 % з фіксацією іншого фактора на рівні його середнього арифметичного значення валовий прибуток змінюється на 0,142879 (0,827861) %. Це означає, що другий фактор в 5,79 (0,827861: 0,142879) разів сильніше впливає на валовий прибуток, ніж перший фактор.

2) Перевіримо оцінки а_j на незміщеність (передумови застосування МНК) і значущість, зробивши дисперсійний аналіз із визначенням коваріаційної матриці.

2-1) Для перевірки оцінок на незміщеність визначимо коефіцієнти варіації кожної оцінки як співвідношення її СКП й її абсолютного значення (9.70):

де – модульні значення оцінок a_j – {2,794061; 0,190313; 1,532328};

– незміщена середня квадратична похибка (СКП) оцінювання параметра α_j, або стандартна похибка коефіцієнта регресії (9.71), така, що

де b_jj – елементи головної діагоналі матриці (Х'Х)^-1 – {3,569002 · 10^-1; 2,308470 · 10^-5; 1,348351 · 10^-4};

незміщена оцінка вибіркової залишкової дисперсії (9.72), або стандартна похибка регресії, визначена для M-факторної (М = 2) моделі з s оцінюваними параметрами (s = M + 1 = 3), така, що (див. гр.гр.2, 7 і 8 розрахункової таблиці №1).

Тоді

разом з оцінками коваріації між A_і і A_j (i ≠ j) утворюють коваріаційну матрицю (9.73)

і знаходяться в її головній діагоналі.

Отже,

Висновок: Враховуючи, що кожен з цих індексів перевищує 5 %, усі оцінки коефіцієнтів регресії є зміщеними, тобто залишки можуть мати систематичну складову, яка зумовлюється неточністю специфікації моделі (не всі основні фактори, що впливають на валовий прибуток, включені в модель). Найменшу варіацію відчуває оцінка А₂ коефіцієнта регресії α₂ з відповідним індексом варіації, який є меншим за 40 %. Тому така варіація може бути визнана несуттєвою, й є всі підстави сподіватись на значущість оцінки А₂.

Щодо оцінок А₀ і А₁, навряд чи вони будуть значущими. Впевнимось в цьому.

2-2) Перевірку значущості оцінок коефіцієнтів регресії виконаємо за t-критерієм, для чого обчислимо модульні фактичні значення останнього по кожній оцінці, припускаючи, що А_j = 0 (нульова гіпотеза Н₀: Y не залежить від X_j) (9.79):

|t_a0| = 2,794061 : 23,5280814 ≈ 0,118754,

|t_a1| = 0,190313 : 0,1892236 ≈ 1,005757,

|t_a2| = 1,532328 : 0,4573141 ≈ 3,350712.

Грубе оцінювання значущості свідчить про те, що А₀ є статистично незначущою (|t| < 1), А₁ – відносно значущою (1 < |t| < 2), А₂ – сильно значущою (|t| > 3).

Для остаточного прийняття рішення щодо їх значущості порівняємо кожне з цих значень з критичним значенням t-критерію, яке визначимо на заданому рівні значущості α = 0,05 з кількістю ступенів свободи m = 19 – 3 = 16 (Д.4):

|t|_{16; 1 – 0,05} = 2,119905.

Висновок: Як і передбачалося, лише оцінка А₂ є значущою, тому що співвідношення Стьюдента, обчислене для неї, перевищує критичне значення t-критерію на заданому рівні значущості (гіпотеза Н₀ спростована), чого не можна сказати про оцінки А₀ і А₁, для яких співвідношення Стьюдента є меншим, ніж критичне значення t-критерію (для кожної оцінки гіпотеза Н₀ не спростовується).

Отже, валовий прибуток, безумовно, залежить від оборотних засобів. На скільки він залежить від основних фондів (відносна значущість оцінки а₁ залишає це питання відкритим), можна сказати лише по значеннях відповідного коефіцієнта детермінації (див. нижче).

2-3) Говорячи про загальну якість регресійної моделі, перевіримо сукупну значущість оцінок коефіцієнтів регресії, для чого скористаємось значенням середнього валового прибутку і визначимо фактичне значення F-критерію (9.81), припускаючи, що А₀ = А₁ = А₂ = 0 (нульова гіпотеза Н₀: Y не залежить від {X_j}) (див. гр.гр.2 і 3 розрахункової таблиці №1):

–

яке порівняємо з критичним значенням F-критерію, визначеним на рівні значущості α = 0,05 з кількістю ступенів свободи k₁ = 3 – 1 = 2 i k₂ = 19 – 3 = 16, тобто з F_{2; 16; 1 – 0,05} = 3,663716 (Д.5).

Висновок: Отже, перевищення фактичного значення F-критерію над теоретичним дає підстави вважати гіпотезу Н₀ хибною, факторну дисперсію значно більшою, ніж залишкова дисперсія, а валовий прибуток – суттєво залежним від основних фондів й оборотних засобів; на скільки суттєво – покаже кількісна оцінка детермінованості (стохастичності) їх зв’язку, зроблена в п.4.

3) По значущих оцінках коефіцієнтів регресії α_j, а до таких належить лише оцінка А₂, обчислимо границі довірчого інтервалу коефіцієнта регресії α₂, які визначимо симетрично відносно значення а₂ на відстані граничної похибки оцінювання (9.89):

Висновок: Отже, довірчий інтервал з границями 0,562866 і 2,501790 на рівні значущості α = 0,05 «накриває» область можливих значень коефіцієнта регресії α₂. Через незначущість оцінок А₀ і А₁ довірчі інтервали відповідних коефіцієнтів регресії α₀ і α₁ не визначалися.

4) Продовжуючи перевірку загальної якості регресійної моделі, визначимо оцінки множинних коефіцієнтів детермінації та кореляції з перевіркою їх значущості.

4-1) Оцінку множинного коефіцієнта (індексу) детермінації обчислимо як співвідношення оцінок (спочатку зміщених) факторної та загальної дисперсій (9.30) (див. гр.гр.3 і 6 розрахункової таблиці №1):

Уточнимо це значення по незміщених оцінках вказаних дисперсій (9.37):

Висновок: Отже, 53,34 % (за уточненою оцінкою – 47,51 %) варіації валового прибутку, а це – майже половина, обумовлено спільною варіацією основних фондів й оборотних засобів, решта – 46,66 % (52,49 %) – це варіація, що

відбувається під впливом факторів, не врахованих в регресійній моделі, або під впливом залишку. Оцінку множинного коефіцієнта детермінації можна отримати і в інший спосіб, через елементи кореляційної (коваріаційної) матриці, що буде зроблено в п.5.

4-2) Враховуючи те, що регресія є лінійною, оцінку множинного коефіцієнта кореляції обчислимо як квадратний корінь з оцінки множинного коефіцієнта детермінації (9.50):

Висновок: Отже, за шкалою Чеддока міру лінійності статистичного зв’язку між валовим прибутком і двома факторами, основними фондами й оборотними засобами, можна визнати високою, тому що оцінка множинного коефіцієнта їх спільної кореляції ř = 0,730349, а це значення знаходиться в межах 0,7÷0,9, що кваліфікується за даною шкалою як «сильний зв’язок».

4-3) Перевіримо на значущість оцінки коефіцієнтів детермінації та кореляції відповідно за F- і t-критеріями, для чого обчислимо фактичні значення цих критеріїв у припущенні, що R² = 0 (нульова гіпотеза Н₀: Y не залежить від обох X-факторів) і r = 0 (нульова гіпотеза Н₀: Y лінійно не залежить від X-факторів):

- F-критерій (9.83):

- t-критерій (9.85):

Порівняємо ці значення з відповідними критичними значеннями F- і t-критеріїв, визначеними на рівні значущості α = 0,05 з кількістю ступенів свободи k₁ = 3 – 1 = 2 i k₂ = 19 – 3 = 16 для F-критерію, тобто з F_{2; 16; 1 – 0,05} = = 3,663716 (Д.5), і з кількістю ступенів свободи m = 19 – 3 = 16 для t-критерію, тобто з t_{16; 1 – 0,05/2} = 2,119905 (Д.4).

Висновок: Отже, перевищення фактичних значень F- і t-критеріїв над відповідними теоретичними значеннями цих критеріїв дає підстави вважати обидві гіпотези Н₀ хибними, оцінки коефіцієнтів детермінації та кореляції статистично значущими, сукупний вплив основних фондів (X₁-фактор) й оборотних засобів (X₂-фактор) на валовий прибуток (Y) суттєвим, а зв’язок між Y і X-факторами сильним. Перевірки на значущість обох оцінок є тотожними, тому що модель регресії є лінійною. Це означає, що для визнання загальної

якості моделі високою достатньо визнати значущою оцінку коефіцієнта детермінації.

5) Визначимо оцінки парних коефіцієнтів кореляції між результативною ознакою і кожною з факторних ознак, а також між самими Х-факторами з перевіркою наявності лінійного зв’язку між останніми (мультиколінеарності), для чого обчислимо кореляційну матрицю з попередньою нормалізацією Y і X-факторів:

5-1) Оцінимо кореляцію факторних ознак між собою – парні коефіцієнти кореляції ř_XX = U_X′U_X/n, для чого визначимо:

- нормалізовані значення X-факторів (4.10) (див. гр.гр.9-10 розрахункової таблиці №1):

- транспоновані дані:

- U′_XU_X:

Отже (9.58),

Висновок: Отже, за шкалою Чеддока міру лінійності статистичного зв’язку між основними фондами й оборотними засобами можна визнати помірною, тому що оцінка їх парного коефіцієнта кореляції ř_X1X2 = ř_X2X1 = 0,419778, а це значення знаходиться в межах 0,3÷0,5, що кваліфікується за даною шкалою як «помірний зв’язок».

5-2) Оцінимо кореляцію результативної ознаки з кожною факторною ознакою окремо – оцінки парних коефіцієнтів кореляції ř_YX = U_Y′U_X/n, для чого визначимо:

- нормалізовані значення Y (4.10) (див. гр.11 розрахункової таблиці №1):

- транспоновані дані:

- U′_YU_X:

Отже (9.54),

Висновок: Отже, за шкалою Чеддока міру лінійності статистичного зв’язку між валовим прибутком і основними фондами можна визнати помірною, тому що оцінки їх парного коефіцієнта кореляції ř_YX1 = ř_X1Y = 0,453873, а це значення знаходиться в межах 0,3÷0,5, що кваліфікується за даною шкалою як «помірний зв’язок». Міру лінійності статистичного зв’язку між валовим прибутком і оборотними засобами можна визнати високою, тому що оцінка їх парного коефіцієнта кореляції ř_YX2 = ř_X2Y = 0,709867, а це значення знаходиться в межах 0,7÷0,9, що кваліфікується за даною шкалою як «сильний зв’язок». Враховуючи, що обидва ці коефіцієнти мають значення вищі, ніж значення оцінки парного коефіцієнта кореляції факторних ознак ř_X1X2 (ř_X2X1), а остання є меншою за 0,8, то мультиколінеарність, або сильна лінійна залежність між факторними ознаками, відсутня. До того ж, вони помітно відрізняються: ř_YX1 < ř_YX2 (0,453873 < 0,709867), – що, разом з незначущістю оцінки а₁, є підставою для виключення Х₁-фактора (основних фондів) із регресійної моделі.

5-3) Обчислимо кореляційну матрицю – оцінки парних коефіцієнтів кореляції ř = U_YX′U_YX/n, для чого:

- зведемо в єдину матрицю нормалізовані значення Y і X-факторів (див. гр.гр.9-11 розрахункової таблиці №1):

- транспоновані дані:

- U′_YXU_YX:

Отже (9.54),

Висновок: Елементи кореляційної матриці повністю повторюють значення оцінок парних коефіцієнтів кореляції, визначених в п.п.5-1 і 5-2, що свідчить про коректність проведених розрахунків, а сама матриця може стати в нагоді щодо визначення оцінки множинного коефіцієнта детермінації (кореляції) (див. п.5-4).

5-4) Визначимо оцінку множинного коефіцієнта детермінації через оцінки парних коефіцієнтів кореляції (9.34):

Ř² = ř_YX(ř_XX)^-1ř′_YX =

або через визначник |r| кореляційної матриці r і A₁₁ – алгебраїчне доповнення до елемента ř₁₁= ř _YY кореляційної матриці (визначник |ř_XX| матриці ř_XX)

або через перший елемент λ₁₁ головної діагоналі коваріаційної матриці λ (він є оцінкою дисперсії залежної змінної Y) і через перший елемент Λ₁₁ головної діагоналі матриці Λ (Λ = λ^-1 і = 1/Λ₁₁) (9.30):

що вже було зроблено в п.4-1.

Коваріаційна матриця виглядає так (9.39):

Обернена коваріаційна матриця має вид:

Дійсно = 1/Λ₁₁ = 1/7,656096·10^-04 ≈ 1306,148799 млн.грош.од.².

Усі проміжні розрахунки щодо визначення елементів коваріаційної матриці λ, крім елементів головної діагоналі (обчислені в п.1-2), зведені в розрахункову таблицю №2.

Розрахункова таблиця №2

№ п/п	Y –	X1 –	X2 –	(Y – )× × (X1 – )	(Y – )× × (X2 – )	(X1 – )× × (X2 – )
1	3	4	5	6	7	8
1	107,910526	47,310526	53,810526	5105,303795	5806,722216	2545,804321
2	-32,189474	-43,589474	4,410526	1403,122216	-141,972521	-192,252521
3	-59,389474	-55,789474	-16,589474	3313,307479	985,240111	925,518006
4	-61,089474	-34,889474	-14,789474	2131,379584	903,481163	515,996953
5	-49,589474	-54,189474	2,610526	2687,227479	-129,454626	-141,463047
6	18,210526	-21,389474	11,810526	-389,513573	215,075900	-252,620942
7	26,310526	-15,789474	-24,789474	-415,429363	-652,224100	391,412742
8	-24,689474	-45,589474	-8,389474	1125,580111	207,131690	382,471690
9	-7,689474	-50,089474	-10,889474	385,161690	83,734321	545,448006
10	-19,689474	-46,289474	14,910526	911,415374	-293,580416	-690,200416
11	-46,489474	-54,489474	-26,489474	2533,186953	1231,481690	1443,397479
12	16,310526	47,910526	2,710526	781,445900	44,210111	129,862742
13	0,910526	52,510526	-9,689474	47,812216	-8,822521	-508,799363
14	-15,489474	43,110526	-15,389474	-667,759363	238,374848	-663,448310
15	-6,589474	94,810526	-1,589474	-624,751468	10,473795	-150,698837
16	-20,289474	31,810526	6,810526	-645,418837	-138,181994	216,646427
17	-33,689474	69,410526	-8,789474	-2338,404100	296,112742	-610,081994
18	142,210526	82,510526	55,110526	11733,865374	7837,296953	4547,198532
19	65,010526	-47,289474	-14,789474	-3074,313573	-961,471468	699,386427
Σ:	0,000000	0,000000	0,000000	24003,217895	15533,627895	9133,577895
Σ/19:	х	х	х

Висновок: Обчислення оцінки множинного коефіцієнта детермінації, виконане в різний спосіб, через елементи коваріаційної та кореляційної матриць, дає один і той же самий результат, що свідчить про коректність виконаних розрахунків.

6) Визначимо оцінки частинних коефіцієнтів детермінації (кореляції) з перевіркою їх значущості й обчисленням границь довірчих інтервалів коефіцієнтів при значущих оцінках, для чого побудуємо однофакторні моделі регресії Y окремо на X₁ і окремо на X₂.

Для зручності проміжні розрахунки зведені в розрахункові таблиці №3 і №4 (див. нижче).

6-1) Однофакторна лінійна модель регресії Y окремо на X₁ дає :

- оцінки коефіцієнтів регресії (9.18):

- рівняння лінійної регресії Y на X₁:

Y_X1 = 62,765667 + 0,456464 · X₁;

- значення t-критерію для отриманих оцінок (9.80):

- оцінку коефіцієнта детермінації (кореляції) (9.41):

- значення F- (9.84) і t-критеріїв (9.86) для отриманих оцінок:

- критичні значення цих критеріїв:

F_{1; 17; 1 – 0,05} = 4,451323 (Д.5),

|t|_{17; 1 – 0,05} = 2,109819 (Д.4).

Висновок: При неврахуванні оборотних засобі в моделі маємо лінійну регресію валового прибутку на основні фонди у виді рівняння Y_X1 = 62,765667 + + 0,456464 · X₁, в якому оцінка а₀ є значущою, а оцінка а₁ – незначущою (t_a0 = 3,247550 більше, ніж t_кр. = 2,109819, а t_a1 = 2,100140 менше, ніж t_кр. = 2,109819). Незначущими в цьому факторному зв’язку є й оцінка коефіцієнта детермінації ( = 4,410579 менше, ніж F_кр. = 4,451323), й оцінка коефіцієнта кореляції ( = 2,100137 менше, ніж t_кр. = 2,109819). Між тим, значення оцінок параметрів зв’язку говорять самі за себе: лише 20,6 % варіації валового прибутку пояснюється основними фондами, що характеризує зв’язок між ними як помірний (0,3 < = 0,453873 < 0,5). До речі, значення оцінок коефіцієнта кореляції, отримані по однофакторній і двофакторній (п.5-2) моделях, співпадають, що свідчить про коректність виконаних розрахунків.

6-2) Однофакторна лінійна модель регресії Y окремо на X₂ дає:

- оцінки коефіцієнтів регресії (9.18):

- рівняння лінійної регресії Y на X₁:

Y_X2 = 6,476836 + 1,725403 · X₂;

- значення t-критерію для отриманих оцінок (9.80):

- оцінку коефіцієнта детермінації (кореляції) (9.41):

- значення F- (9.84) і t-критеріїв (9.86) для отриманих оцінок:

Висновок: При неврахуванні основних фондів в моделі маємо лінійну регресію валового прибутку на оборотні засоби у виді рівняння Y_X2 = 6,476836 + + 1,725403·X₂, в якому оцінка а₀ є незначущою, а оцінка а₁ – значущою (t_a0 = 0,278583 менше, ніж t_кр. = 2,109819, а t_a1 = 4,155488 більше, ніж t_кр. = 2,109819). Значущими в цьому факторному зв’язку є й оцінка коефіцієнта детермінації ( = 17,268045 більше, ніж F_кр. = 4,451323), й оцінка коефіцієнта кореляції ( = 4,155484 більше, ніж t_кр. = 2,109819). Значення оцінок параметрів зв’язку говорять самі за себе: 50,39 % варіації валового прибутку пояснюється оборотними засобами, що характеризує зв’язок між ними як сильний (0,7 < = 0,709867 < 0,9). До речі, значення оцінок коефіцієнта кореляції, отримані по однофакторній і двофакторній (п.5-2) моделях, співпадають, що свідчить про коректність виконаних розрахунків.

6-3) Оцінка частинного коефіцієнта детермінації (кореляції) Y і одного з Х-факторів при елімінації іншого фактора (проміжні розрахунки оцінок факторних дисперсій і зведені в розрахункову таблицю №3):

- при елімінації Х₂-фактора (9.61):

такий же самий результат дає матрична форма цього коефіцієнта:

- при елімінації Х₁-фактора (9.61):

такий же самий результат дає матрична форма цього коефіцієнта:

Оцінки частинних коефіцієнтів кореляції можна визначити через перетворення кореляційної матриці оцінок парних коефіцієнтів кореляції, а саме її обертання:

Елементи оберненої кореляційної матриці беруть участь в обчисленні оцінок частинних коефіцієнтів кореляції (9.65 і 9.66):

Серед вже названих оцінок в новій кореляційній матриці з’явилися оцінки, які пов’язують фактори Х₁ і Х₂ між собою при елімінації Y: = 0,155492.

Висновок: Отже, 5,95 % варіації валового прибутку пояснюється основними фондами і 41,24 % – оборотними засобами. Це означає, що перший фактор може бути виключеним з регресійної моделі (аналогічний висновок зроблений в п.5-2). Зв’язок між основними фондами й оборотними засобами слабкий, тому що оцінка коефіцієнта їх кореляції не перевищує 0,3 за шкалою

Чеддока. Це свідчить про відсутність мультиколінеарності (аналогічний висновок зроблений в п.5-2).

6-4) Для перевірки значущості оцінок частинних коефіцієнтів кореляції визначимо їх незміщені СКП (9.88`):

Значення t-критерію оцінок становлять (9.85):

Порівняємо ці значення зі значенням t-критерію, визначеним на рівні значущості α = 0,05 з кількістю ступенів свободи m = 19 – 3 = 16 (Д.4), тобто з |t|_{16; 1 – 0,05} = 2,119905.

Висновок: Отже, оцінка частинного коефіцієнта кореляції валового прибутку і основних фондів при елімінації оборотних засобів є незначущою, тому що значення t-критерію для неї становить 1,005757, що менше, ніж критичне значення критерію (2,119905), на відміну від оцінки частинного коефіцієнта кореляції валового прибутку і оборотних засобів при елімінації основних фондів, яку можна вважати значущою – значення t-критерію для неї становить 3,350712, що більше, ніж критичне значення критерію (2,119905).

6-5) Перевіримо, погіршиться чи ні якість рівняння регресії при виключенні з нього фактора Х₁, для чого обчислимо значення F-критерію щодо перевірки гіпотези Н₀ (якщо з рівняння регресії з М-факторами (М = 2) виключається К пояснювальних змінних (К = 1) і сподіваною є нерівність , якість рівняння не змінюється, тобто погіршення (покращання) якості , або дорівнює нулю коефіцієнт регресії при основних фондах) (9.100):

Порівняємо це значення з відповідним критичним значенням F-критерію, визначеним на рівні значущості α = 0,05 з кількістю ступенів свободи k₁ = 3 – 1 = 2 i k₂ = 19 – 3 = 16, тобто з F_{2; 16; 1 – 0,05} = 3,663716 (Д.5).

Висновок: Отже, фактичне значення F-критерію (1,011524) є меншим за критичне його значення (3,663716), що відповідає незначній втраті якості регресійної моделі через виключення з неї основних фондів, яке, у свою чергу, є допустимим.

6-6) Обчислимо границі довірчих інтервалів частинних коефіцієнтів кореляції при значущих оцінках (9.88). Значущою є оцінка частинного коефіцієнта кореляції Y і Х₂, тому саме для нього проведемо відповідні розрахунки на рівні значущості α = 0,05 t-критерію з m = n – s = 19 – 3 = 16 ступенями свободи:

Бачимо, що верхня границя довірчого інтервалу перевищує одиницю, що свідчить про некоректність отриманих границь і потребує їх уточнення по нормалізованих значеннях оцінки коефіцієнта кореляції через перетворення Фішера (9.89):

яке дає коректні границі довірчого інтервалу (9.91):

Висновок: Отже, при елімінації основних фондів від 22,78 % до 85,96 % варіації валового прибутку пояснюється оборотними засобами.

7) Виконаємо прогноз із визначенням границь довірчих інтервалів для середнього й індивідуального значень результативної ознаки при наступних очікуваних значеннях Х-факторів: х_1р = 150 млн.грош.од. і х_2р = 80 млн.грош.од., – для чого представимо очікувані значення факторних змінних у векторно-матричній формі:

Транспонуємо цей вектор:

Знайдемо векторно-матричний добуток X_p′ (X′X)^-1X_p (послідовним множенням вектора на матрицю і матриці на вектор):

Тоді середня квадратична похибка прогнозу становить:

- для середнього значення Y:

- для індивідуального значення Y :

Прогнозне значення Y знайдемо з регресійної моделі по початкових очікуваних даних Х₁ і Х₂:

y_xp = 2,794061 + 0,190313 · х_1р + 1,532328 · х_2р =

= 2,794061 + 0,190313 · 150 + 1,532328 · 80 = 153,927251 (млн.грош.од.).

Отже, інтервал довіри на рівні значущості α = 0,05 t-критерію (|t|_{16; 1 – 0,05} = = 2,119905) становить:

• для середнього значення Y (9.92):

- для індивідуального значення Y (9.94):

Висновок: Якщо основні фонди зафіксувати на рівні 150 млн.грош.од., а оборотні засоби – на рівні 80 млн.грош.од., то, застосовуючи регресійну модель, яка пов’язує валовий прибуток з цими факторами, можна прогнозувати середнє значення валового прибутку на рівні від 116,699932 млн.грош.од. до 191,154570 млн.грош.од. при індивідуальних значеннях прибутку від 62,514476 млн.грош.од. до 245,340026 млн.грош.од.

8) Оцінимо прогнозні можливості моделі (результати проміжних розрахунків зведені у розрахункову таблицю №5):

Розрахункова таблиця №5

№ п/п	Y	YX	Y - YX	|Y - YX|	|Y-YX|/Y		(Y - YX)²	Y²	YX²
1	2	3	4	5	6		7	8	9
1	203,4	186,948640	16,451360	16,451360	0,080882		270,647258	41371,56	34949,793859
2	63,3	93,952208	-30,652208	30,652208	0,484237		939,557844	4006,89	8827,017354
3	36,1	59,451508	-23,351508	23,351508	0,646856		545,292907	1303,21	3534,481755
4	34,4	66,187237	-31,787237	31,787237	0,924048		1010,428408	1183,36	4380,750283
5	45,9	89,176701	-43,276701	43,276701	0,942848		1872,872885	2106,81	7952,484074
6	113,7	109,516379	4,183621	4,183621	0,036795		17,502684	12927,69	11993,837278
7	121,8	54,498935	67,301065	67,301065	0,552554		4529,433397	14835,24	2970,133878
8	70,8	73,957787	-3,157787	3,157787	0,044602		9,971616	5012,64	5469,754198
9	87,8	69,270559	18,529441	18,529441	0,211041		343,340175	7708,84	4798,410379
10	75,8	109,527805	-33,727805	33,727805	0,444958		1137,564808	5745,64	11996,339997
11	49,0	44,528869	4,471131	4,471131	0,091248		19,991009	2401,00	1982,820208
12	111,8	108,760878	3,039122	3,039122	0,027184		9,236261	12499,24	11828,928625
13	96,4	90,635453	5,764547	5,764547	0,059798	33,230002		9292,96	8214,785344
14	80,0	80,112244	-0,112244	0,112244	0,001403	0,012599		6400,00	6417,971597
15	88,9	111,097542	-22,197542	22,197542	0,249691	492,730887		7903,21	12342,663920
16	75,2	111,979385	-36,779385	36,779385	0,489088	1352,723150		5655,04	12539,382632
17	61,8	95,230836	-33,430836	33,430836	0,540952	1117,620763		3819,24	9068,912033
18	237,7	195,639679	42,060321	42,060321	0,176947	1769,070624		56501,29	38274,883901
19	160,5	63,827357	96,672643	96,672643	0,602322	9345,599910		25760,25	4073,931498
Σ:	1814,3	1814,300000	0,000000	516,946502	6,607452	24816,827187		226434,11	201617,282813

- за критерієм М.А.Р.Е. через визначення середньої відносної похибки прогнозу (9.97):

- через визначення коефіцієнта відповідності Тейла (9.98):

Висновок: Як видно з таблиці відповідності, обчислений рівень М.А.Р.Е. = 34,78 % знаходиться в межах від 20 % до 50 % , що означає задовільну якість прогнозу, а значення коефіцієнта відповідності Тейла К_Т = 17,03 % в межах від 10 % до 20 %, що відповідає досить добрій якості прогнозу.

Загальні висновки: Отримана регресійна модель факторного зв’язку між валовим прибутком і двома факторами, основними фондами й оборотними засобами, характеризується сильним впливом останніх на валовий прибуток, чого не можна сказати про основні фонди, які через слабку кореляцію з валовим прибутком можна виключити з моделі, спростивши її без суттєвого погіршення загальної якості. Усі оцінки параметрів зв’язку є значущими на заданому рівні значущості критеріїв перевірки загальної якості моделі регресії. До того ж, модель має задовільні прогнозні можливості. Усі розрахунки виконані коректно, що підтверджують однакові результати від застосування різних способів обчислення одних і тих же самих характеристик зв’язку.