Глава 6.

Вибірковий метод

6.1. Основні теоретичні положення

1. Зміст вибіркового методу полягає в оцінці параметрів генеральної статистичної сукупності по її частині, отриманій шляхом відбору одиниць в окрему вибіркову сукупність (вибірку) за певною схемою (певним способом) випадкового відбору.

2. Генеральна статистична сукупність (ГСС) – статистична сукупність об’єму N, що представляє досліджувану ознаку Х множиною значень {x₁, x₂, …, x_N}, з якої відбирається певна частина одиниць у вибірку, й розподіл ознаки якої співпадає з теоретичним розподілом ймовірностей випадкової величини Х.

3. Типові теоретичні розподіли ймовірностей. В якості теоретичних розподілів ознаки в ГСС застосовуються розподіли, що розглядаються в теорії ймовірностей. Особливо зручним є нормальний розподіл, який цілком визначається своїми першим і другим моментами. Його застосовність обґрунтовується ЦГТ. Наприклад, похибки обчислення параметра часто розглядаються як нормально розподілені суми великої кількості незалежних «елементарних» похибок.

4. Вибіркова статистична сукупність (ВСС) – статистична сукупність об’єму n, що є певною частиною ГСС і представляє множину її окремих, вибіркових, одиниць {x₁, x₂, …, x_n}. У випадку нормального розподілу ГСС точно розраховані статистичні критерії вибіркового розподілу.

5. Класична імовірнісна модель вибірки. У класичній моделі фізична величина Х, що спостерігається, розглядається як одномірна випадкова величина з підлягаючою визначенню або оцінці щільністю f(X). Кожна вибіркова множина {x₁, x₂, …, x_n} значень Х розглядається як результат (реалізація) n незалежних повторних вимірювань. При цьому х₁, х₂, …, х_n являють собою значення n взаємно незалежних випадкових величин Х₁, Х₂, …, Х_n з однаковою щільністю розподілу f(X). Таку вибірку (Х₁, Х₂, …, Х_n) називають випадковою вибіркою об’єму n, яка є n-мірною випадковою величиною, а щільність її розподілу L(X₁, X₂, …, X_n) = f(X₁) ∙ f(X₂) ∙ … ∙ f(X_n) – функцією правдоподібності. Кожна статистика Y, що визначається як значення y деякої функції Y(X₁, X₂, …, X_n), або випадкової величини Y, розподіл якої (вибірковий розподіл статистики) однозначно визначається функцією правдоподібності, й отже, і розподілом величини Х.

6. ω-процентна вибірка – ВСС, об’єм якої становить ω процентів від об’єму ГСС:

(6.1)

Найчастіше ω < 5-10%, рідше – до 15-25%.

7. Репрезентативна вибірка – однорідна ВСС, яка дає надійну оцінку Y параметра η ГСС.

8. Мала вибірка – ВСС об’єму n < 30; для неї порушуються умови ЦГТ. Як правило, вона не може бути меншою за 4-5 одиниць.

9. Параметр ГСС (η) – числова характеристика закономірності (властивості) розподілу ознаки Х в ГСС (теоретичного розподілу величини Х), що оцінюється по результатах випадкового відбору, {x₁, x₂, …, x_n}, або значенням y вибіркової статистики Y (вибірковою оцінкою). Поширеними параметрами є генеральна частка p і генеральне середнє .

10. Вибіркова оцінка (Y) – узагальнююча числова характеристика розподілу ознаки Х у ВСС (значення y вибіркової статистики Y), що наближено представляє (оцінює) відповідний параметр η ГСС і характеризує аналогічну властивість вибірки.

Вибір «підхожих» оцінок не обов’язково однозначний; віддають перевагу надійним вибірковим оцінкам і(або) тим, які легше обчислити. Параметрам ГСС p і відповідають їх вибіркові оцінки – вибіркова частка ω і вибіркове середнє .

11. Властивості оцінок.

1) Слушна, незміщена й ефективна вибіркова оцінка Y параметра η ГСС є надійною.

2) Асимптотично нормальна вибіркова оцінка має середнє η і дисперсію λ/n, де

(6.2)

Асимптотична ефективність e_∞{Y} = λ_min/λ такої оцінки вимірює розсіювання асимптотичного розподілу навколо параметра η; Y називають асимптотично ефективною оцінкою параметра η, якщо λ = λ_min. Кожна така оцінка є слушною.

3) Оцінка Y параметра η є достатньою, якщо функцію правдоподібності вибірки можна подати у виді:

L(x₁, x₂, …, x_n; η) ≡ L₁(y, η) ∙ L₂(x₁, x₂, …, x_n), (6.3)

де y ≡ Y(x₁, x₂, …, x_n). Вона підсумовує всю інформацію відносно η, яка міститься у вибірці. Ефективна оцінка обов’язково є достатньою.

12. Деякі вибіркові оцінки й їх властивості.

1) Відносна частота події А ω(A) є незміщеною слушною оцінкою для відповідної ймовірності P(A) (генеральної частки р); при n → ∞ вона асимптотично нормальна з параметрами: M(ω) = P(A) і D(ω) = P(A)(1 – P(A))/n. Для випадкової вибірки {X₁, X₂, …, X_n} об’єму n з ГСС справедливим є наступне.

2) Вибіркове середнє є незміщеною слушною оцінкою для генерального середнього M(X) = . Якщо в теоретичному розподілі існує дисперсія D(X) = , то має асимптотично нормальний розподіл з параметрами: М( ) = і D( ) = /n.

3) Вибіркова дисперсія є незміщеною слушною оцінкою для генеральної дисперсії , якщо справедливі такі рівності:

(6.4)

(6.5)

(6.6)

4) Вибіркові початкові і центральні моменти порядку r визначаються в такий спосіб:

для яких: (6.7)

(6.8)

(6.9)

Якщо величини праворуч існують, то m_r є незміщеною слушною оцінкою для відповідного теоретичного початкового моменту M_r = M(X^r) ГСС. Якщо існує m_2r, то m_r має при n → ∞ асимптотично нормальний розподіл з параметрами M(m_r) і D(m_r). m_r є слушною, але зміщеною оцінкою для теоретичного центрального моменту .

5) Кожна статистика, яку можна представити раціональною функцією від вибіркових моментів m_r, являє собою слушну оцінку тієї ж самої функції відповідних моментів M_r ГСС за умов, що ці моменти існують, а значення функції в них скінчене.

Незміщену слушну оцінку часто вдається отримати із зміщеної оцінки множенням останньої на відповідну функцію від n.

6) Для випадкової вибірки {X₁, X₂, …, X_n} об’єму n з нормальної ГСС з центром і дисперсією :

а) – ефективна оцінка для ;

б) і – спільні асимптотично ефективні оцінки для і , але – зміщена оцінка; і – спільні достатні й асимптотично ефективні оцінки для і ; має ефективність (n – 1)/n;

в) якщо відомо, – ефективна оцінка для ;

г) вибіркова медіана має асимптотичну ефективність 2/π.

13. Обчислення оцінок уможливлюється методами моментів і найбільшої правдоподібності.

14. Метод моментів. Якщо розподіл ГСС описується функцією F(X; η₁, η₂, …), f(X; η₁, η₂, …) або p(X; η₁, η₂, …) заданого виду з параметрами η₁, η₂, …, що підлягають визначенню, то кожна числова характеристика розподілу M(X), D(X), M_r і т.д. є функцією параметрів η₁, η₂, … . Зокрема, M₁ = M₁(η₁, η₂, …), M₂ = M₂(η₁, η₂, …), …, якщо ці моменти існують. Метод моментів визначає спільні оцінки Y₁(X₁, X₂, …, X_n), Y₂(X₁, X₂, …, X_n), …, Y_s(X₁, X₂, …, X_n) для відповідних параметрів η₁, η₂, …, η_s за допомогою s рівнянь M_r(Y₁, Y₂, …, Y_s) = m_r(X₁, X₂, …, X_n) (r=1, 2, …), які виходять шляхом прирівнювання перших m вибіркових моментів m_r відповідним моментам M_r ГСС. Отримані при цьому оцінки Y є функціями від вибіркових моментів.

15. Метод найбільшої правдоподібності (МНП). Для будь-якої даної вибірки {X₁, X₂, …, X_n} значення функції правдоподібності L(X₁, X₂, …, X_n) є функцією невідомих параметрів η₁, η₂, … . За МНП в якості оцінки кожного параметра η_j вибирається така функція Y_j(X₁, X₂, …, X_n), яка надає якомога більше значення величині L(X₁, X₂, …, X_n; Y₁, Y₂, …, Y_n) для всіх вибірок {X₁, X₂, …, X_n}. Для набуття сукупності s (спільно) найбільш правдоподібних оцінок Y₁(X₁, X₂, …, X_n), Y₂(X₁, X₂, …, X_n), …, Y_s(X₁, X₂, …, X_n) розв’язують систему s рівнянь найбільшої правдоподібності

(6.10)

які виражають необхідні умови максимуму функції правдоподібності, якщо остання є диференційованою.

Оцінкам, визначеним за МНП (найбільш правдоподібним), віддають перевагу, особливо за умов малих вибірок, тому що:

1) існуюча ефективна оцінка (або сукупність спільно ефективних оцінок) є єдиним рішенням рівняння (або системи рівнянь) правдоподібності;

2) якщо достатня оцінка (або сукупність достатніх оцінок) існує, то кожне рішення рівняння (або системи рівнянь) правдоподібності буде функцією цієї оцінки (або оцінок).

До того ж, за достатньо загальних умов рівняння правдоподібності має рішення, що дає слушні, асимптотично нормальні й асимптотично ефективні оцінки, наприклад, для

нормально розподіленої ознаки Х найбільш правдоподібна оцінка для параметра є ефективною та мінімізує (метод найменших квадратів).

16. Деякі вибіркові розподіли й їх властивості. Для випадкової вибірки {X₁, X₂, …, X_n} об’єму n з ГСС, що має розподіл f(Х), справедливим є наступне.

1) Емпірична функція розподілу F(x) = ω{X < x}, неспадна ступінчаста функція з F(-∞) = 0, F(+∞) = 1, є незміщеною слушною оцінкою для функції розподілу F(x) = = Р{X < x} і визначає частотний розподіл вибірки (емпіричний розподіл).

2) (Теорема) Нехай статистика Y із значеннями y(x₁, x₂, …, x_n) може бути представлена функцією від k вибіркових моментів, яка є визначеною та двічі неперервно диференційованою поблизу точки, де ці моменти дорівнюють відповідним генеральним моментам, тоді вибірковий розподіл є нормальним з центром у цій точці та дисперсією виду .

Справедливо, зокрема, для вибіркових оцінок: середнього , дисперсій , а також для всіх вибіркових моментів.

3) (Теорема) Розподіл кожного вибіркового квантиля Х_r є асимптотично нормальним з центром x_r і дисперсією , якщо генеральний квантиль x_r єдиний, а похідна f′(Х) існує та неперервна поблизу точки, де Х = x_r. Теорема може застосовуватись, зокрема, до вибіркової медіани. За аналогічних умов будь-який спільний розподіл вибіркових квантилей також є асимптотично нормальним.

4) Для випадкової вибірки {X₁, X₂, …, X_n} об’єму n з нормальної ГСС з центром і дисперсією усі вибіркові значення є значеннями відповідних нормальних випадкових величин, таких, що: (6.11)

а) має стандартизований нормальний розподіл (и-розподіл);

б) – (відношення Стьюдента) – має t-розподіл з n – 1 ступенями свободи;

в) має χ²-розподіл з n – 1 ступенями свободи;

г) має стандартизований нормальний розподіл;

ґ) має t-розподіл з n – 1 ступенями свободи;

д) має χ²-розподіл з n ступенями свободи;

е) , , а також є взаємно незалежними для всіх r. Для асиметрії й ексцесу маємо:

17. Вибірковий метод для скінченої сукупності (постановка задачі). Якщо задана скінченна сукупність k елементів (випадків, результатів вимірювань або спостережень) Е₁, Е₂, …, Е_k, кожен з яких відмічений одним з N ≤ k різних значень х₁, х₂, …, х_N деякої дискретної випадкової величини Х, які представляють ГСС, то функція р(Х) визначається значеннями р(х_j) = k_j/k, де k_j – кількість одиниць, відмічених значенням х_j.

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини Х дорівнюють відповідно:

(6.12)

Нехай {X₁, X₂, …, X_n} – безповторна випадкова вибірка об’єму n з ГСС. Х_і (i = 1, 2, …, n) розглядається як випадкова величина, яка відповідає значенню і-го випадково відібраного елемента. Будь-яка з випадкових величин Х_і має такий самий розподіл, що і випадкова величина Х, але, на відміну від вибірки із нескінченної ГСС, величини Х_і не є незалежними. Маємо

Нехай – відповідно середнє значення і вибіркова дисперсія.

Тоді

(6.13)

(6.14)

Поширеною є задача інтервального оцінювання, де підлягає визначенню параметр ГСС по даних випадкової вибірки, однієї її реалізації {х₁, х₂, …, х_n}, яка має числові характеристики і , із заданою довірчою імовірністю ε, або на рівні значущості α критерію.

18. Довірча ймовірність (ε). Для вибіркової інтервальної оцінки це точність, яка встановлюється у виді ймовірності того, що абсолютна різниця між значеннями параметра η та його оцінки Y не перевищує відповідне невід’ємне число δ, граничну похибку вибірки, таку, що

ε = Р{|η – Y | < δ}, (6.15)

і вона зменшується при збільшенні n:

19. Гранична похибка вибірки (δ) – це максимальна з усіх можливих абсолютних різниць |η – y_i|, де i = 1, 2, …, k, а k = – кількість можливих вибірок об’єму n з ГСС об’єму N (для безповторного відбору):

δ = max|η – y_i|. (6.16)

Інакше, це – гранична величина, на яку відрізняються (±δ) параметр ГСС та його вибіркова оцінка із заданою довірчою ймовірністю ε (на рівні значущості α).

Отже, процедура оцінки параметра ГСС дає його інтервальну оцінку – довірчий інтервал. Математично – це добуток середньої квадратичної похибки вибірки і коефіцієнта довіри.

20. Середня квадратична похибка (СКП) вибірки ( )– це середнє квадратичне відхилення вибіркової оцінки Y від значення параметра η ГСС:

(6.17)

Щодо інтервальної оцінки генерального середнього по даних нормальної вибірки, СКП визначається в такий спосіб:

1) якщо генеральна дисперсія σ² відома –

а) для повторного відбору

(6.18)

б) для безповторного відбору

(6.19)

де додатковий множник (1 – n/N) враховує скорочення кількості вибіркових комбінацій за рахунок неможливості потрапляння певної одиниці ГСС у вибірку більше одного разу; він наближається до 0 при зростанні об’єму вибірки n і зводить похибку вибіркового оцінювання до 0 за умови n → N;

2) якщо генеральна дисперсія невідома – формули ті ж самі, але замість генеральної дисперсії застосовують незміщену вибіркову оцінку дисперсії досліджуваної ознаки Х.

21. Коефіцієнт довіри (λ) – число, яке показує, скільки середніх квадратичних похибок вибірки необхідно відкласти вліво та вправо відносно вибіркового значення Y = y, щоб отриманий для нього довірчий інтервал І_α із заданою довірчою ймовірністю ε, або на рівні значущості α, «накрив» шуканий параметр η ГСС.

Оцінку генерального середнього , коли відома генеральна дисперсія σ², можна вважати нормально розподіленою, тобто для неї існує невід’ємне число , таке, що

(6.20)

де λ – коефіцієнт довіри – це значення стандартизованого нормального відхилення U, або квантиль u_q порядку q = F(u_q) = (1+ε)/2 = 1 – α/2, і визначати його можна зі статистичних таблиць інтеграла ймовірностей Лапласа по заданій довірчій імовірності ε (на рівні значущості α) (Д.2):

(6.21)

Доцільним є діапазон значень коефіцієнта довіри від 2 до 3. У практичних задачах, коли n обмежено, а генеральна дисперсія невідома, можна вважати, що коефіцієнт довіри – це значення випадкової величини Т, або квантиль t_q порядку q = (1 + ε)/2 = 1 – α/2, і

визначати його можна по заданій довірчій імовірності ε (на рівні значущості α) і кількості ступенів свободи n – 1 зі статистичних таблиць для квантилей t-розподілу (Д.4).

22. Довірчий інтервал (І_α) (визначення границь) – інтервал можливих значень параметра η ГСС, який за умови симетричності розподілу вибіркової оцінки Y має границі тобто з довірчою імовірністю ε = 1 – α (на рівні значущості α) «накриває» шуканий параметр ГСС.

1) Двосторонній довірчий інтервал для середнього значення ознаки Х нормальної ГСС визначається з довірчою ймовірністю ε (на рівні значущості α) по результатах вибірки об’єму n , для якої обчислено середнє значення , в такий спосіб (з.№15):

а) з відомою дисперсією σ² ознаки Х в ГСС

(6.22)

б) з невідомою дисперсією σ² ознаки Х в ГСС, але відомою вибірковою дисперсією

(6.23)

2) Двосторонній довірчий інтервал для дисперсії σ² ознаки Х нормальної ГСС визначається з довірчою ймовірністю ε (на рівні значущості α) по результатах вибірки об’єму n , для якої обчислена дисперсія , в такий спосіб:

(6.24)

Для визначення границь односторонніх довірчих інтервалів коефіцієнт довіри обчислюється для певного розподілу як його квантиль порядку ε = 1 – α (1 – ε = α – для верхньої довірчої границі генеральної дисперсії).

23. Розповсюдження характеристик вибірки на ГСС – процедура визначення певної характеристики ГСС через вибіркову оцінку її параметра, класично – через обчислення границь довірчого інтервалу шуканого параметра ГСС. Поряд з цим, можливим є визначення й інших характеристик ГСС через характеристики самого інтервалу, його центр і границі, що виконується в два способи: прямого перераховування, поправочних коефіцієнтів.

24. Спосіб прямого перераховування (зміст). Вибіркова оцінка параметра ГСС об’єму N, звичайно це – границі довірчого інтервалу генеральної частки р_н і р_в, розповсюджується на характеристику ГСС, звичайно це – чисельність N_ω відповідних одиниць ГСС, шляхом прямого множення, в даному випадку – об’єму N окремо на границі довірчого інтервалу р_н і р_в (з.№20):

N_ωн = N ∙ р_н і N_ωв = N ∙ р_в. (6.25)

25. Спосіб поправочних коефіцієнтів (застосовується у випадках, коли метою вибіркового методу є уточнення результатів суцільного обліку⁶) (зміст). Після узагальнення даних суцільного обліку, наприклад, після визначення кількості одиниць N_A певного об’єкта спостереження А, через певний час виконується ω%-не вибіркове обстеження (звичайно 10%- не) із визначенням так званого «процента недообліку» К_ω(%), яким

коригується дана характеристика ГСС (N_A) із визначенням нового значення цієї характеристики на час вибіркового обстеження (з.№21):

N_Aω = N_A ∙ К_ω(%) : 100%, (6.26)

де К_ω(%) = n_ω : n ∙ 100%, n_ω – кількість одиниць об’єкта А на момент вибіркового обстеження, які потрапили у вибірку-масив спостереження; n – кількість одиниць об’єкта А в цьому ж масиві на момент суцільного спостереження.

26. Оптимальна чисельність (об’єм) вибірки (n_opt.) – така кількість одиниць ГСС, що потрапляють у вибірку, яка забезпечує похибку цієї вибірки не більше заданої δ по відомих значеннях ε, σ², а також N для безповторного відбору (з.№19):

а) для повторного відбору – (6.27)

б) для безповторного відбору – (6.28)

27. Види вибірок:

а) за фактом залежності між собою (порівняння таких вибірок виконується за критеріями: t-критерієм Стьюдента, T-критерієм Вілкоксона, U-критерієм Манна-Уітні, критерієм знаків й ін.):

- залежні,

- незалежні;

б) за умовами аналізу:

- експериментальна,

- контрольна;

в) за характером відбору:

- випадкова (імовірнісна),

- систематична,

- комбінована;

г) за доступністю інформації (щодо опитування):

- стихійна,

- метод снігового клубка,

- маршрутне опитування.

28. Залежні вибірки – вибірки, для яких можна встановити гомоморфну пару (тобто, коли одній одиниці вибірки А відповідає лише одна одиниця вибірки Б і зворотно) для кожної одиниці двох залежних вибірок однакового об’єму.

Такі вибірки іноді використовують як експериментальні та контрольні⁷.

29. Незалежні вибірки – вибірки (не обов’язково однакового об’єму), між одиницями яких немає зв’язку.

30. Експериментальна вибірка – вибірка, по одиницях якої «обіграється» реальна подія з метою попередньої, експериментальної, оцінки очікуваних характеристик (апробації) в різних штучно створених умовах існування об’єкта спостереження.

31. Контрольна вибірка – вибірка, одиниці якої «беруть участь» в остаточній оцінці характеристик об’єкта спостереження в реальних умовах його існування.

32. Випадкова (імовірнісна) вибірка – ω-процентна вибірка, яка є результатом безповторного або повторного відбору одиниць з ГСС без попереднього упорядкування останньої, інакше – власно-випадкова вибірка. Вона може використовуватись в комбінації із систематичною вибіркою. СКП вибірки визначається по відповідних формулах.

33. Систематична вибірка – ω-процентна вибірка, яка є результатом відбору одиниць з ГСС з попереднім упорядкуванням останньої з метою забезпечення репрезента-

тивності вибірки. До систематичних вибірок відносять механічну, типову, серійну (гніздову) вибірки. Вона може використовуватись в комбінації з випадковою вибіркою.

34. Механічна вибірка – ω-процентна вибірка, утворена безповторним відбором одиниць з ГСС, поділеної на рівні за об’ємом (рівновеликі) групи, так, що одиниці ГСС розташовуються в певному порядку, наприклад, за зростанням значень суттєвої ознаки, а з кожної групи відбирається лише одна одиниця, як правило, центральна. Це дозволяє запобігти кількісної неоднорідності ознаки у вибірці, й, як наслідок, систематичної похибки вибірки. Ознака, за якою відбувається упорядкування одиниць ГСС, може бути і другорядною (нейтральною). Розмір групи зворотно пропорційний питомій вазі вибірки, наприклад, при 20%-ній вибірці розмір групи становить 1 : 0,2 = 5 (кожна п’ята одиниця потрапляє у вибірку, це – 3-тя, 8-ма, 13-та і т.д. одиниці ГСС, упорядкованої за зростанням значень суттєвої ознаки; для другорядних ознак прив’язка к центральним одиницям в групах є некритичною – це можуть бути або кожні перші, або кожні другі і т.д. одиниці). СКП вибірки визначається по відповідних формулах (6.18) і (6.19).

35. Типова вибірка – ω-процентна вибірка, утворена безповторним або повторним відбором одиниць з ГСС, поділеної на якісно однорідні типові групи⁸, в кожній з яких і відбувається власно-випадкова або механічна ω%-на вибірка, що забезпечує представництво у вибірці кожної типової групи, як наслідок, кількісну однорідність самої вибірки. Вона застосовується у сукупностях, представлених характерними групами (типологічним групуванням), що дозволяє отримати кращі за надійні- стю результати оцінювання. У деяких практичних задачах дана вибірка ще зустрічається як районована вибірка (в територіальних дослідженнях), квотна вибірка (за пропорційністю, квотою, представництва кожної типової групи), «зручна» вибірка (через обстеження «зручних» респондентів: студен- тів, спортсменів, колег по роботі, друзів, сусідів, – поєднаних метою досліджен- ня, наприклад, під час тестування). Для визначення СКП в якості показника варіації використовується середнє внутрішніх групових дисперсій:

- для частки ω альтернативної ознаки

(6.29)

- для середнього значення ознаки (з.№17)

(6.30)

де n_l – кількість одиниць, відібраних з кожної l-ї типової групи; ω_l і σ_l² – відповідно частка і дисперсія l-ї типової групи.

36. Серійна (гніздова) вибірка – ω-процентна власно-випадкова або механічна вибірка, утворена безповторним відбором відокремлених серій (гнізд) одиниць з ГСС, кожна (-е) з яких містить в собі декілька одиниць (необов’язково в рівній кількості), які в повному обсязі й потрапляють у цю вибірку. Вона застосовується у сукупностях, представлених відокремленими одна від іншої групами: серіями, партіями, упаковками і т.ін., – наприклад, коробками зі штучним товаром, окремі з яких розпаковуються для перевірки якості товару. Контрольну перевірку проходить невелика кількість серій, що забезпечує економічність методу, але при цьому збільшується похибка репрезентативності.

Для визначення СКП в якості показника варіації використовується міжсерійна (міжгрупова) дисперсія, а об’єм ВСС і ГСС – це відповідно кількість серій у ВСС (r) і ГСС (R):

- для частки ω альтернативної ознаки (з.№18)

(6.31)

де – (6.32)

міжсерійна дисперсія вибіркової частки, ω_l і – відповідно частка l-ї типової групи і середня частка вибірки;

- для середнього значення ознаки

де – (6.33)

міжсерійна дисперсія вибіркового середнього, і – відповідно середнє l-ї типової групи і загальне вибіркове середнє.

37. Комбінована вибірка – вибірка, утворена як комбінація певної систематичної вибірки та випадкової вибірки. Так, для комбінації серійної і власно-випадкової вибірок СКП визначається так:

а) для повторного відбору

(6.34)

б) для безповторного відбору

(6.35)

38. Стихійна вибірка («першого-ліпшого») – випадкова вибірка, об’єм і склад якої заздалегідь невідомі й обумовлені лише активністю респондентів. Її недоліки: неможливо встановити, яку генеральну сукупність представляють опитувані, що дає невизначеність по репрезентативності вибірки. Застосовується в експедиційних опитуваннях, часто – в теле- і радіо-опитуваннях.

39. Метод снігового клубка – «зручна» вибірка, перша випадкова одиниця-респондент якої уможливлює контакт з новими наступними й пов’язаними метою дослідження, одиницями, доступ до інформації про які в звичайному порядку ускладнений. Застосовується в кореспондентських опитуваннях, через контакт респондента з друзями, колегами, знайомими, які підходять під умови відбору і можуть взяти участь у дослідженні.

40. Маршрутне опитування – випадкова вибірка, одиниці якої відбираються з ГСС за маршрутною схемою по даних-координатах датчика випадкових чисел. Звичайно застосовується в опитуваннях мешканців квартир і будинків, номери яких визначаються на карті населеного пункту по комбінації цифр у числі з таблиці (генератора) випадкових чисел, наприклад, у числі 230192: «23» – це номер вулиці на карті; «01» – номер будинку; «92» – номер квартири.

41. Способи відбору одиниць ГСС у ВСС. Розрізняють такі способи відбору:

а) за повторюваністю певних одиниць ГСС у вибірці:

- безповторний,

- повторний;

б) за кількістю одночасно відібраних одиниць:

- індивідуальний,

- груповий,

- комбінований;

в) за кількістю етапів (кроків, ступенів) відбору:

- одноступінчастий,

- багатоступінчастий.

42. Безповторна випадкова вибірка об’єму n (безповторний відбір) – вибірка, в якій застосований спосіб безповторного відбору (без повернення відібраних одиниць в ГСС), тобто кожна одиниця ГСС має рівний шанс потрапити у вибірку, причому, не більше, ніж один раз із n випробувань. Ця вибірка є поширеною (з.№15).

43. Повторна випадкова вибірка об’єму n (повторний відбір) – вибірка, в якій застосований спосіб повторного відбору (з поверненням відібраних одиниць в ГСС), тобто кожна одиниця ГСС має рівний шанс потрапити у вибірку, причому, у кількості разів, що не перевищує об’єм вибірки n (з.№№15, 16).

44. Індивідуальний відбір – відбір, при якому одиниці ГСС потрапляють у вибірку окремо від інших одиниць.

45. Груповий відбір – відбір, при якому одиниці з ГСС потрапляють у вибірку разом з іншими одиницями окремими групами або серіями.

46. Комбінований відбір – відбір, який є комбінацією індивідуального та групового відборів.

47. Одноступінчастий відбір – відбір, при якому кожна відібрана у ВСС одиниця відразу після одного кроку відбору з ГСС «бере участь» в обчисленні оцінки параметра. Прикладами такого відбору є власно-випадкова і серійна вибірки.

48. Багатоступінчастий відбір – відбір, при якому кожна відібрана з ГСС одиниця потрапляє у вибірку після не однократного, а після двох і більше кроків (ступенів) відбору, наприклад, після попереднього відбору з ГСС окремих груп і остаточного відбору з останніх окремих одиниць. Прикладом такого відбору є комбінована вибірка: типова вибірка (1-ий крок відбору) з механічною (2-ий крок відбору).

Контрольні питання

1. Вибірковий метод: зміст; поняття генеральної та вибіркової статистичних сукупностей, параметра ГСС і його вибіркової оцінки; типові теоретичні розподіли ймовірностей.

2. Класична імовірнісна модель вибірки, ω-процентна вибірка, репрезентативна та мала вибірки.

3. Властивості вибіркової оцінки, надійна оцінка.

4. Деякі вибіркові оцінки й їх властивості, обчислення оцінок методами моментів і найбільшої правдоподібності.

5. Деякі вибіркові розподіли й їх властивості, умови застосування.

6. Вибірковий метод для скінченої сукупності, повторна та безповторна вибірка.

7. Методологія інтервального оцінювання: довірча ймовірність, середньоквадратична та гранична похибка вибірки, коефіцієнт довіри та довірчий інтервал (дво- й односторонній).

8. Особливості розрахунку середньоквадратичної похибки для повторної та безповторної вибірки.

9. Коефіцієнт довіри: визначення, обчислення як квантилей певних розподілів.

10. Визначення границь довірчого інтервалу для генеральної частки.

11. Визначення границь довірчого інтервалу для генерального середнього з відомою генеральною дисперсією.

12. Визначення границь довірчого інтервалу для генерального середнього з невідомою генеральною дисперсією.

13. Визначення границь довірчого інтервалу для генеральної дисперсії.

14. Оптимальна чисельність вибірки, умови та порядок розрахунку оптимальної чисельності вибірки для схем повторного й безповторного відбору.

15. Види вибірок, їх сутність, умови й особливості застосування.

16. Способи відбору одиниць у вибірку, умови й особливості застосування.