5.2. Задачі

5.2.1. Типові задачі

Обчислення абсолютних і відносних величин.

Задача №10. Початкові умови. У травні в збиральному цеху виробничого підприємства з 10000 запланованих до збирання одиниць виробів були зібрані та передані на склад готової продукції 9997 одиниць, а 3 одиниці після їх технічної перевірки не відповідали ТУ і були відбраковані. У процесі збирання брали участь 200 працівників. У квітні цього ж самого року з 9005 запланованих до збирання в даному цеху одиниць виробів були зібрані 9000 одиниць стандартних виробів і 5 одиниць бракованих виробів. Після оновлення технологічної лінії в червні звітного року собівартість збирання однієї одиниці знизилась з 10000 грн. до 9000 грн.

Завдання. Розрахувати: 1) відносну величину виконання планового завдання в квітні і травні поточного року, вважаючи виконаним завданням лише збирання стандартного виробу; 2) темп зростання кількості зібраних стандартних і бракованих виробів в травні порівняно з квітнем поточного року; 3) питому вагу стандартних і бракованих виробів, виготовлених в квітні, й аналогічні травневі показники; 4) відносну величину координації квітневих стандартних і бракованих виробів й аналогічні травневі показники; 5) порівняти собівартість виробу, зібраного на застарілій і новій технологічних лініях; 6) скільки виробів припадає в квітні та в травні на одного задіяного в їх збиранні працівника, а також скільки працівників припадає на 1000 (10000) одиниць зібраних ними виробів; 7) середньоденний обсяг збирання виробів квітня, травня та двох звітних місяців разом узятих; 8) середньомісячний відсоток браку; 9) середньоденну продуктивність праці одного працівника в квітні, травні та протягом двох місяців разом; 10) середню собівартість збирання одиниці виробу протягом звітного року, якщо на застарілій технологічній лінії було зібрано виробів на суму 468,10 млн.грн., а на новій – на суму 606,69 млн.грн.

Розв’язок. Вказані відносні величини розрахуємо по відповідних правилах [37: рис.5.2].

1) Відносна величина виконання планового завдання в квітні (к.) і травні (т.) поточного року обчислюється в процентах і складає відповідно

К_впзк.(%) = 9000 : 9005 · 100% ≈ 99,94%

і

К_впзт.(%) = 9997 : 10000 · 100% = 99,97%.

Р

За планом

ис. Стовпчикова діаграма % виконання

плану в квітні і травні звітного року.

Отже, на кожні 100 запланованих до збирання одиниць виробів припадає фактично зібраних одиниць (готових до експлуатації): в квітні – 99,94, а в травні – 99,97 (на 0,03 одиниці більше).

Із-за наявності браку план і в квітні, і в травні не виконано на 0,06% (99,94% – 100% = - 0,06%) і 0,03% (99,97% – 100% = - 0,03%) відповідно.

2) Відносна величина динаміки (темп зростання) розраховується як процентне співвідношення кількості травневих і квітневих стандартних (с.) (бракованих (б.)) виробів:

К_д.с.(%) = 9997 : 9000 · 100% ≈ 111,08% і К_д.б.(%) = 3 : 5 · 100% ≈ 60,00%, –

тобто в травні поточного року стандартних виробів зібрано на 11,08% (111,08% – 100% = 40% ) більше, ніж в лютому того ж самого року, або на кожні 100 одиниць стандартних виробів, зібраних в лютому, припадає 111,08 одиниць травневих стандартних виробів; щодо динаміки бракованих виробів, їх стало на 40% (60% – 100% = 40%) менше, або на кожні 100 квітневих бракованих виробів припадає 60 травневих.

3) Відносна величина структури розраховується як процентне співвідношення кількості стандартних (с.) або бракованих (б.) виробів і загальної кількості виробів відповідного місяця:

К_{стр.с.к.}(%) = 9000 : 9005 · 100% ≈ 99,9445% і

К_{стр.б.к.}(%) = 5 : 9005 · 100% ≈ 0,0555%;

К_{стр.с.т.}(%) = 9997 : 10000 · 100% = 99,9700% і

К_{стр.б.т.}(%) = 3 : 10000 · 100% = 0,0300%, –

тобто в квітні (травні) поточного року з кожних 100 одиниць виготовлених виробів стандартними є 99,9445 (99,97) одиниць, а бракованими – 0,0555 (0,03) одиниць. Сума кожної пари чисел має дорівнювати 100: 99,9445 + 0,0555 = 100 і 99,97 + 0,03 = 100 (умова нормування).

4) Відносна величина координації розраховується як співвідношення квітневої (травневої) кількості стандартних (с.) і бракованих (б.) виробів, взяте в довільному порядку, с./б. або б./с.:

К_{коорд.с./б.к.} = 9000 : 5 = 1800,00 і К_{коорд.б./с.к.} = 5 : 9000 ≈ 0,0006;

К_{коорд.с./б.т.} = 9997 : 3 = 3332,(33) і К_{коорд.б./с.т.} = 3 : 9997 ≈ 0,0003, –

тобто в квітні (травні) поточного року на кожну одиницю виробу, визнану бракованою, припадає 1800 (3332,(33)) одиниць стандартних виробів, або на

кожну одиницю виробу, визнану стандартною, припадає 0,0006 (0,0003) одиниць бракованих виробів.

5) Відносна величина порівняння розраховується як співвідношення собівартості виробів, зібраних на застарілій (з.) і новій (н.) технологічних лініях:

К_п.з./н. = 10000 : 9000 = 1,(11) і К_п.н./з. = 9000 : 10000 = 0,90, –

тобто на кожну(-ій) гривню(-і) витрат на збирання виробу на новому (застарілому) обладнанні збирання цього виробу на застарілому (новому) обладнанні потребує 11 коп. додаткових витрат (заощаджує 10 коп.).

6) Відносна величина інтенсивності розраховується як співвідношення:

- зібраних в квітні (травні) виробів і кількості задіяних в їх збиранні працівників:

К_інт.к. = 9005 : 200 = 45,025 од./чол. і К_інт.т. = 10000 : 200 = 50,000 од./чол., –

тобто на кожного працівника припадає по 45,025 одиниць зібраних (стандартних і бракованих) виробів у квітні та по 50 одиниць у травні (на 4,875 одиниці більше);

- кількості працівників і кількості зібраних ними в квітні (травні) одиниць виробів:

а) в проміле (‰) –

К_інт.к.(‰) = 200 : 9005 · 1000‰ ≈ 22,21 чол./од. і

К_інт.т.(‰) = 200 : 10000 · 1000‰ = 20,00 чол./од.;

б) в дециміле (‰о) –

К_інт.к.(‰о) = 200 : 9005 · 10000‰о ≈ 222,10 чол./од. і

К_інт.т.(‰о) = 200 : 10000 · 10000‰о = 200,00 чол./од., –

тобто в квітні (травні) на кожну 1000 зібраних одиниць виробів припадає по 22,21 (20) працівників, а на кожні 10000 зібраних одиниць виробів припадає по 222,10 (200) працівників.

7) Середньоденний обсяг збирання стандартних виробів у поточному році становив:

- протягом квітня (30 днів)

n_с.к. = 9000 : 30 = 300,00 од./дн.,

- протягом травня (31 день)

n_с.т. = 9997 : 31 ≈ 322,48 од./дн.,

- протягом двох місяців, квітня і травня разом, (61 день)

n _с.к.+т. = (9000 + 9997) : (30 + 31) = 18997 : 61 ≈ 311,43 од./дн.,

або через n_с.к. і n_с.т. як середнє арифметичне зважене

(вагою є кількість днів у місяці) –

n _с.к.+т. = (300 · 30 + 322,48… · 31) : (30 + 31) = 18997 : 61 ≈ 311,43 од./дн., –

тобто з 9000, 9997 і 18997 одиниць стандартних виробів, зібраних відповідно в квітні, травні та протягом квітня і травня разом, кожного дня збиралось рівною мірою по 300, 322,48 і 311,43 одиниць.

8) Середньомісячний (протягом квітня і травня) відсоток браку можна обчислити в два способи: по-перше, як процентне відношення кількості бракованих виробів квітня і травня до загальної кількості зібраних в цей час виробів –

К_б.к.+т.(%) = (5 + 3) : (9005 + 10000) · 100% ≈ 0,0421%;

по-друге, через квітневе К_{стр.б.к.}(%) і травневе К_{стр.б.т.}(%) значення відсотка браку при відомих значеннях загального обсягу щомісячного збирання, як зважене середнє арифметичне (5.4), –

К_{стр.б.к.+т.}(%) = (0,0555… · 9005 + 0,03 · 10000) : (9005 + 10000) =

= 0,0555… · 0,4738 + 0,03 · 0,5262 ≈ 0,0421%,

де 0,4738 (= 9005 : (9005 + 10000)) і 0,5262 (=10000 : (9005 + 10000)) – відповідно частка квітневого і травневого збирання у двомісячному (квітень і травень разом) звітному періоді (0,4738 + 0,5262 = 1 – умова нормування).

9) Середньоденну продуктивність праці одного працівника розрахуємо як відношення кількості зібраних протягом відповідного звітного періоду одиниць виробів до кількості задіяних у збиранні працівників і тривалості цього періоду:

- протягом квітня (30 днів)

t_к. = 9005 : 30 : 200 ≈ 1,5008 од./чол.-дн.,

- протягом травня (31 день)

t_т. = 10000 : 31 : 200 ≈ 1,6129 од./чол.-дн.,

- протягом двох місяців, квітня і травня разом, (61 день)

t_к.+т. = (9005 + 10000) : 61 : 200 ≈ 1,5578 од./чол.-дн.,

або через t_к. і t_т. як середнє арифметичне зважене

(вагою є кількість днів у місяці) –

t_к.+т. = (1,5008… · 30 + 1,6129… · 31) : (30 + 31) = 95,0258… : 61 ≈ 1,5578 од./чол.-дн., -

тобто з 9005, 10000 і 19005 одиниць виробів, зібраних відповідно в квітні, травні та протягом квітня і травня разом, щоденно кожним працівником збиралось рівною мірою наближено по 1,5008, 1,6129 і 1,5578 одиниць.

10) Середня собівартість збирання одиниці виробу протягом звітного року може бути визначена як співвідношення загальної вартості зібраних протягом цього року виробів і їх кількості. Загальна вартість – це сума вартості виробів, зібраних на застарілій технологічній лінії, і вартості виробів, зібраних на новій технологічній лінії, тобто 468,10 + 606,69 = 1074,79 млн.грн. На застарілому обладнанні зібрано виробів у кількості, яка визначається співвідношенням відповідної вартості та собівартості: 468,10 : 10000 = 0,046810 млн.од. (або 46810 од.). На новому обладнанні зібрано виробів у кількості, яка визначається співвідношенням відповідної вартості та собівартості: 606,69 : 9000 = = 0,067410 млн.од. (або 67410 од.).

Отже, загальна кількість зібраних протягом звітного року виробів дорівнює 0,046810 + 0,067410 = 0,11422 млн.од. (або 114220 од.).

Таким чином, шукана величина собівартості визначається як середнє гармонічне (5.6):

= (468,10 + 606,69) : (468,10 : 10000 + 606,69 : 9000) = 1074,79 : 0,11422 ≈

≈ 9409,82 (грн.).

Вона характеризує те, що із 1074,79 млн.грн. загальної вартості 114220 одиниць виробів, зібраних на застарілій та новій технологічних лініях протягом звітного року, на збирання однієї одиниці виробу у середньому, на рівних, потрібно витрачати 9409,82 грн.

Узагальнюючі числові характеристики дискретного ряду.

Задача №11. Завдання. У варіаційному дискретному ряду, побудованому в задачі №3, визначити наступні числові характеристики закономірності розподілу місячних витрат на купівлю продуктів харчування 20-ти обстежених сімей:

- середнє арифметичне;

- структурні середні: а) моду та б) медіану;

- показники варіації: а) (абсолютний) розмах варіації; б) (середні) середнє лінійне абсолютне відхилення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення; в) (відносні) коефіцієнт осциляції, відносне лінійне відхилення, коефіцієнт варіації;

- числові характеристики асиметрії й ексцесу.

Розв’язок.

Усі проміжні розрахунки зручно звести в розрахункову таблицю.

Розрахункова таблиця

j	xj, грн.	fj		xj · fj, грн.	|xj – | · fj, грн.	(xj – )² · fj, грн.²	(xj – )³ · fj, грн.³	(xj – )4 · fj, грн.4
1	2	3		4	5	6	7	8
1	500	1		500	1070	1144900	-1225043000	1310796010000
2	600	1		600	970	940900	-912673000	885292810000
3	700	1		700	870	756900	-658503000	572897610000
4	800	1		800	770	592900	-456533000	351530410000
5	1000	2		2000	1140	649800	-370386000	211120020000
6	1200		1	1200	370	136900	-50653000	18741610000
7	1400		1	1400	170	28900	-4913000	835210000
8	1500		3	4500	210	14700	-1029000	72030000
9	1700		1	1700	130	16900	2197000	285610000
10	1800		2	3600	460	105800	24334000	5596820000
11	2000		2	4000	860	369800	159014000	68376020000
12	2300		1	2300	730	532900	389017000	283982410000
13	2400		1	2400	830	688900	571787000	474583210000
14	2700		1	2700	1130	1276900	1442897000	1630473610000
15	3000		1	3000	1430	2044900	2924207000	4181616010000
Σ	x		20	31400	11140	9302000	1833720000	9996199400000

1) Середні витрати розрахуємо за формулою середнього арифметичного зваженого ((5.4) і з.№3/рис.):

= (500 · 1 + 600 · 1 + 700 · 1 + 800 · 1 + 1000 · 2 + 1200 · 1 + 1400 · 1 +

+ 1500 · 3 + 1700 · 1 + 1800 · 2 + 2000 · 2 + 2300 · 1 + 2400 · 1 +

+ 2700 · 1 + 3000 · 1) : 20 = 31400 : 20 = 1570,00 (грн.).

2) Структурні середні.

А) Модою є найчисельніші витрати ((5.9) і з.№3/рис.) – М_о = 1500 грн.

Б) Медіана ділить цей ряд за об’ємом навпіл (з.№3/рис.), зліва та справа від неї «знаходяться» по 10 сімей. Враховуючи те, що об’єм цього ряду є парним числом, медіана визначається як середнє арифметичне значень 10-ої й 11-ої одиниць упорядкованої за зростанням значень ознаки сукупності даних: М_е = (1500 + 1500) : 2 = 1500 (грн.).

3) Показники варіації.

А) Абсолютний показник варіації, розмах варіації, розрахуємо як різницю максимального і мінімального значень витрат ((5.12) і з.№3/рис.):

R = 3000 – 500 = 2500 (грн.).

Б) Середні показники варіації:

- середнє лінійне абсолютне відхилення витрат розрахуємо за формулою зваженого СЛАВ ((5.13) і з.№3/рис.):

= (|500 – 1570| · 1 + |600 – 1570| · 1 + |700 – 1570| · 1 + |800 – 1570| · 1 +

+ |1000 – 1570| · 2 + |1200 – 1570| · 1 + |1400 – 1570| · 1 + |1500 – 1570| · 3 +

+ |1700 – 1570| · 1 + |1800 – 1570| · 2 + |2000 – 1570| · 2 + |2300 – 1570| · 1 +

+ |2400 – 1570| · 1 + |2700 – 1570| · 1 + |3000 – 1570| · 1) : 20 = 11140 : 20 =

= 557,00 (грн.);

- дисперсію витрат розрахуємо за формулою зваженої дисперсії (5.15):

D = ((500 – 1570)² · 1 + (600 – 1570)² · 1 + (700 – 1570)² · 1 + (800 – 1570)² · 1 +

+ (1000 – 1570)² · 2 + (1200 – 1570)² · 1 + (1400 – 1570)² · 1 + (1500 – 1570)² · 3 +

+ (1700 – 1570)² · 1 + (1800 – 1570)² · 2 + (2000 – 1570)² · 2 + (2300 – 1570)² · 1 + + (2400 – 1570)² · 1 + (2700 – 1570)² · 1 + (3000 – 1570)² · 1) : 20 =

9302000 : 20 = 465100,00 (грн.²);

- середнє квадратичне відхилення витрат розрахуємо як корінь квадратний з дисперсії (5.17):

σ = √465100 ≈ 681,98 (грн.).

В) Відносні показники варіації:

- коефіцієнт осциляції (5.18)

К_о = 2500 : 1570 · 100 ≈ 159,24 (%);

- відносне лінійне відхилення (5.19)

К_d = 557 : 1570 · 100 ≈ 35,48 (%);

- коефіцієнт варіації (5.20)

υ = 681,98 : 1570 · 100 ≈ 43,44 (%).

4) Числові характеристики асиметрії й ексцесу.

А) Асиметрія:

- абсолютну асиметрію розрахуємо як різницю середнього арифметичного і моди (медіани):

Δ_s = 1570 – 1500 = 70 (грн.);

- відносну асиметрію визначимо як Пірсонівську міру (4.8):

А_s = (1570 – 1500) : 681,98 ≈ 0,1026;

- процент асиметрії Ліндеберга (зліва від середнього арифметичного значення витрат зосереджено 11 (k₁ = 55%) одиниць сукупності)

γ₁(%) = 55 – 50 = 5 (%);

- коефіцієнт асиметрії Ліндеберга (4.6)

γ₁ = ((500 – 1570)³ · 1 + (600 – 1570)³ · 1 + (700 – 1570)³ · 1 + (800 – 1570)³ · 1 +

+ (1000 – 1570)³ · 2 + (1200 – 1570)³ · 1 + (1400 – 1570)³ · 1 + (1500 – 1570)³ · 3 +

+ (1700 – 1570)³ · 1 + (1800 – 1570)³ · 2 + (2000 – 1570)³ · 2 + (2300 – 1570)³ · 1 +

+ (2400 – 1570)³ · 1 + (2700 – 1570)³ · 1 + (3000 – 1570)³ · 1) : (20 · 681,98³) ≈

≈ 1833720000 : 6343800326,334370 ≈ 0,289057;

- СКВ для γ₁ становить (6.11/е)

σ(γ₁) = √(6 · (20 – 2) : ((20 + 1) · (20 + 3))) ≈ 0,472866;

- співвідношення |γ₁| і σ(γ₁) дає

|γ₁|/σ(γ₁) = 0,289057 : 0,472866 ≈ 0,6113.

Б) Ексцес:

- процент ексцесу Ліндеберга (зліва та справа від середнього арифметичного значення витрат на відстані в половину СКВ зосереджено 7 (k₂ = 35%) одиниць сукупності)

γ₂(%) = 35 – 38,9 = -3,9 (%);

- коефіцієнт ексцесу Ліндеберга (4.7)

γ₂ = ((500 – 1570)⁴ · 1 + (600 – 1570)⁴ · 1 + (700 – 1570)⁴ · 1 + (800 – 1570)⁴ · 1 +

+ (1000 – 1570)⁴ · 2 + (1200 – 1570)⁴ · 1 + (1400 – 1570)⁴ · 1 + (1500 – 1570)⁴ · 3 + (1700 – 1570)⁴ · 1 + (1800 – 1570)⁴ · 2 + (2000 – 1570)⁴ · 2 + (2300 – 1570)⁴ · 1 + (2400 – 1570)⁴ · 1 + (2700 – 1570)⁴ · 1 + (3000 – 1570)⁴ · 1) : (20 · 681,98⁴) – 3 ≈

≈ 9996199400000 : 4326360200000 – 3 ≈ -0,689467;

- СКВ для γ₂ становить (6.11/е)

σ(γ₂) = √(24 · 20 · (20 – 2) · (20 – 3) : ((20 + 1)² · (20 + 3) · (20 + 5))) ≈ 2,107324;

- співвідношення |γ₂| і σ(γ₂) дає

|γ₂|/σ(γ₂) = 0,689467 : 2,107324 ≈ 0,3272.

Висновки. Із загальних 31400 грн. місячних витрат на купівлю продуктів харчування 20-ти обстежених сімей на кожну сім’ю у середньому, на рівних, припадає по 1570 грн. (середнє арифметичне значення витрат) (з.№3/рис.).

Даний розподіл є одномодальним, мода становить 1500 грн., сімей з такими витратами – 3, більше, ніж сімей з іншими витратами. По 50% (по 10) сімей витрачають на продукти харчування менше та більше 1500 грн., саме таке значення має медіана (з.№3/рис.).

Абсолютна розбіжність (розмах варіації) мінімальних (500 грн.) і максимальних (3000 грн.) витрат обстежених сімей становить 2500 грн. (з.№3/рис.). Абсолютна відмінність витрат кожної сім’ї від середніх витрат (1570 грн.) на рівних становить 557 грн. (СЛАВ) (з.№3/рис.), аналогічна квадратична міра дорівнює 681,98 грн. (СКВ), а їх відповідні відношення до середніх витрат, 35,48% (відносне лінійне відхилення) і 43,44% (коефіцієнт варіації), свідчать про те, що даний розподіл є кількісно неоднорідним (К_d > 32%), і варіація є суттєвою (υ > 40%).

Порівнюючи СЛАВ і СКВ, можна сказати, що за їх співвідношенням (557,00/681,98 ≈ 0,8167 (81,67%)) цей вибірковий розподіл можна наближено вважати нормальним. Для останнього воно становить 0,798, або майже 80%. Розбіжність є меншою за 5%. До того ж, відношення абсолютних значень коефіцієнтів асиметрії й ексцесу Ліндеберга до СКВ останніх становлять відповідно 0,6113 і 0,3272, що не перевищує трьох. Це дає підстави вважати асиметрію й ексцес несуттєвими, а розподіл за даними характеристиками – нормальним. Хоча, насправді, даний розподіл має правосторонню асиметрію (середнє арифметичне відрізняється від моди (медіани) на 70 грн., додатними є Пірсонівська міра асиметрії (0,1026), процент (5%) і коефіцієнт (0,289057) асиметрії Ліндеберга) і є плосковершинним (має від’ємні значення процента (-3,9%) і коефіцієнта (-0,689467) ексцесу Ліндеберга). Про наближеність даного розподілу до нормального свідчать також результати перевірки їх узгодженості за критерієм згоди А.М.Колмогорова в задачі №8.

Узагальнюючі числові характеристики інтервального ряду.

Задача №12. Завдання. У варіаційному інтервальному ряду, побудованому в задачі №4, визначити наступні числові характеристики закономірності розподілу місячних витрат на купівлю продуктів харчування 20-ти обстежених сімей:

- середнє арифметичне;

- структурні середні: а) моду та б) медіану;

- показники варіації: а) (абсолютний) розмах варіації; б) (середні) середнє лінійне абсолютне відхилення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення; в) (відносні) коефіцієнт осциляції, відносне лінійне відхилення, коефіцієнт варіації;

- числові характеристики асиметрії й ексцесу.

Розв’язок.

Усі проміжні розрахунки зручно звести в розрахункову таблицю.

Розрахункова таблиця

j	xнj–xвj, грн.	xj´, грн.	fj	xj ´· fj, грн.	|xj´ – | × × fj, грн.	(xj´ – )² × × fj, грн.²	(xj´ – )³ × × fj, грн.³	(xj´ – )4 × × fj, грн.4
1	500-1000	750	4	3000	3600	3240000	-2916000000	2624400000000
2	1000-1500	1250	4	5000	1600	640000	-256000000	102400000000
3	1500-2000	1750	6	10500	600	60000	6000000	600000000
4	2000-2500	2250	4	9000	2400	1440000	864000000	518400000000
5	2500-3000	2750	2	5500	2200	2420000	2662000000	2928200000000
Σ	х	x	20	33000	10400	7800000	360000000	6174000000000

1) Середні витрати розрахуємо через значення ознаки x_j´ у середині кожного інтервалу, умовно, за формулою середнього арифметичного зваженого ((5.5) і з.№4/рис.):

= (750 · 4 + 1250 · 4 + 1750 · 6 + 2250 · 4 + 2750 · 2) : 20 = 33000 : 20 =

= 1650,00 (грн.).

2) Структурні середні.

А) Модою є умовне значення витрат ((5.10) і з.№4/рис.) з модального інтервалу, яким є третій, найчисельніший (f₃ = 6), інтервал:

М_о = 1500 + 500 · (6 – 4) : (2 · 6 – 4 – 4) = 1750 грн.

Б) Медіана знаходиться в третьому інтервалі та ділить цей ряд за об’ємом навпіл ((5.11) і з.№4/рис.), зліва (справа) від неї «знаходяться» умовно по 10 сімей: в першому та другому разом – вісім (4 + 4) сімей, до 10-ти не вистачає двох сімей, які «відходять вліво» з третього інтервалу так, що

М_е = 1500 + 500 · (10 – 8) : 6 ≈ 1666,67 (грн.).

3) Показники варіації.

А) Абсолютний показник варіації, розмах варіації, розрахуємо як різницю максимального і мінімального значень витрат ((5.12) і з.№4/рис.):

R = 3000 – 500 = 2500 (грн.).

Б) Середні показники варіації:

- середнє лінійне абсолютне відхилення витрат розрахуємо умовно, за формулою зваженого СЛАВ (5.14):

= (|750 – 1650| · 4 + |1250 – 1650| · 4 + |1750 – 1650| · 6 + |2250 – 1650| · 4 +

+ |2750 – 1650| · 2) : 20 = 10400 : 20 = 520,00 (грн.);

- дисперсію витрат розрахуємо умовно, за формулою зваженої дисперсії (5.16):

D = ((750 – 1650)² · 4 + (1250 – 1650)² · 4 + (1750 – 1650)² · 6 + (2250 – 1650)² · 4

+ (2750 – 1650)² · 2) : 20 = 7800000 : 20 = 390000,00 (грн.²);

- середнє квадратичне відхилення витрат розрахуємо як корінь квадратний з дисперсії (5.17):

σ = √390000 ≈ 624,50 (грн.).

В) Відносні показники варіації:

- коефіцієнт осциляції (5.18)

К_о = 2500 : 1650 · 100 ≈ 151,52 (%);

- відносне лінійне відхилення (5.19)

К_d = 520 : 1650 · 100 ≈ 31,52 (%);

- коефіцієнт варіації (5.20)

υ = 624,50 : 1650 · 100 ≈ 37,85 (%).

4) Числові характеристики асиметрії й ексцесу.

А) Асиметрія:

- абсолютну асиметрію розрахуємо як різницю середнього арифметичного і моди (медіани) ([37]: рис.5.4):

Δ_s = 1650 – 1750 = -100 (грн.),

Δ_s = 1650 – 1666,67 = -16,67 (грн.);

- відносну асиметрію визначимо як Пірсонівську міру (4.8):

А_s = (1650 – 1750) : 624,50 ≈ -0,1601,

А_s = (1650 – 1666,67) : 624,50 ≈ -0,0267;

- коефіцієнт асиметрії Ліндеберга (4.6)

γ₁ = ((750 – 1650)³ · 4 + (1250 – 1650)³ · 4 + (1750 – 1650)³ · 6 +

+ (2250 – 1650)³ · 4 + (2750 – 1650)³ · 2) : (20 · 624,50³) =

= 360000000 : 4871103122,5 ≈ 0,073905;

- СКВ для γ₁ становить (6.11/е)

σ(γ₁) = √(6 · (20 – 2) : ((20 + 1) · (20 + 3))) ≈ 0,472866;

- співвідношення |γ₁| і σ(γ₁) дає

|γ₁|/σ(γ₁) = 0,073905 : 0,472866 ≈ 0,1563.

Б) Ексцес:

- коефіцієнт ексцесу Ліндеберга (4.7)

γ₂ = ((750 – 1650)⁴ · 4 + (1250 – 1650)⁴ · 4 + (1750 – 1650)⁴ · 6 +

+ (2250 – 1650)⁴ ·4 + (2750 – 1650)⁴ · 2) : (20 · 624,50⁴) – 3 =

= 6174000000000 : 3042003900001,25 – 3 ≈ -0,970417;

- СКВ для γ₂ становить (6.11/е)

σ(γ₂) = √(24 · 20 · (20 – 2) · (20 – 3) : ((20 + 1)² · (20 + 3) · (20 + 5))) ≈ 2,107324;

- співвідношення |γ₂| і σ(γ₂) дає

|γ₂|/σ(γ₂) = -0,970417 : 2,107324 ≈ 0,4605.

Висновки. Із загальних умовних 33000 грн. місячних витрат на купівлю продуктів харчування 20-ти обстежених сімей на кожну сім’ю у середньому, на рівних, припадає по 1650 грн. (середнє арифметичне значення витрат) (з.№4/рис.).

Даний розподіл є одномодальним, мода становить 1750 грн., сімей з витратами від 1500 грн. до 2000 грн. – 6, більше, ніж сімей з іншими витратами. По 50% (по 10) сімей витрачають на продукти харчування менше та більше 1666,67 грн., саме таке умовне значення має медіана (з.№4/рис.).

Абсолютна розбіжність (розмах варіації) мінімальних (500 грн.) і максимальних (3000 грн.) витрат обстежених сімей становить 2500 грн. (з.№4/рис.). Абсолютна відмінність витрат кожної сім’ї від середніх витрат (1570 грн.) на рівних умовно становить 520 грн. (СЛАВ) (з.№4/рис.), аналогічна квадратична міра дорівнює 624,50 грн. (СКВ), а їх відповідні відношення до середніх витрат, 31,52% (відносне лінійне відхилення) і 37,85% (коефіцієнт варіації), свідчать про те, що даний розподіл є кількісно однорідним (К_d < 32%), і варіація є несуттєвою (υ < 40%).

Порівнюючи СЛАВ і СКВ, можна сказати, що за їх співвідношенням (520,00/624,50 ≈ 0,8327 (83,27%)) цей вибірковий розподіл можна наближено вважати нормальним. Для останнього воно становить 0,798, або майже 80%. Розбіжність є меншою за 5%. До того ж, відношення абсолютних значень коефіцієнтів асиметрії й ексцесу Ліндеберга до СКВ останніх становлять відповідно 0,1563 і 0,4605, що не перевищує трьох. Це дає підстави вважати асиметрію й ексцес несуттєвими, а розподіл за даними характеристиками – нормальним. Хоча, насправді, даний розподіл не є симетричним (середнє арифметичне відрізняється від моди (медіани) на -100 (-16,67) грн., від’ємною є також Пірсонівська міра асиметрії (-0,1601 і -0,0267), однак коефіцієнт асиметрії Ліндеберга є додатним (0,073905), що створює неоднозначність у визначенні сторонності асиметрії) і, до того ж, є плосковершинним (має від’ємне значення коефіцієнта ексцесу Ліндеберга (-0,970417)).

Перевірити наближеність даного розподілу до нормального можна за допомогою критерію згоди χ²-Пірсона, але його використання буде некоректним через недостатні значення інтервальної частоти, по-перше, і, по-друге, через додаткове перетворення дискретного розподілу на інтервальний.

Види дисперсії (елементи дисперсійного аналізу).

Задача №13. Завдання. У варіаційному дискретному ряду, побудованому в задачі №3, знайти міжгрупову дисперсію, середнє внутрішніх групових дисперсій, загальну дисперсію, а також коефіцієнт детермінації щодо оцінки впливу типу місцевості (міська та сільська) 20-ти обстежених сімей на їх витрати на купівлю продуктів харчування, якщо ці витрати розподілились за типовою ознакою «тип місцевості проживання» наступним чином (таблиця).

Таблиця

Витрати на купівлю продуктів харчування (грн.) 20-и обстежених сімей N-ої обл.,

які проживають в сільській і міській місцевості

Сільська місцевість (l = 1)	Міська місцевість (l = 2)
500, 600, 700, 800, 1000, 1400, 1500, 1500, 2000, 2300	1000, 1200, 1500, 1700, 1800, 1800, 2000, 2400, 2700, 3000

Розв’язок.

Усі проміжні розрахунки зручно звести в розрахункову таблицю.

Розрахункова таблиця

xj1, грн.	fj1	xj1 · fj1, грн.	(xj1 – )² · fj1, грн.²	xj2, грн.	fj2	xj2· fj2, грн.	(xj2 – )² · fj2, грн.²
500	1	500	532900	1000	1	1000	828100
600	1	600	396900	1200	1	1200	504100
700	1	700	280900	1500	1	1500	168100
800	1	800	184900	1700	1	1700	44100
1000	1	1000	52900	1800	2	3600	12100
1400	1	1400	28900	2000	1	2000	12100
1500	2	3000	72900	2400	1	2400	8100
2000	1	2000	72900	2700	1	2700	240100
2300	1	500	592900	3000	1	3000	624100
Σ	10	12300	3361000	Σ	10	19100	3629000

1) Міжгрупову дисперсію (5.22) розрахуємо через значення середніх витрат сімей кожної групи і через загальне середнє їх значення:

- середні витрати сільських сімей

= (500 + 600 + 700 + 800 + 1000 + 1400 + 1500 ∙ 2 + 2000 + 2300) : 10 =

= 12300 : 10 = 1230,00 (грн.);

- середні витрати міських сімей

= (1000 + 1200 + 1500 + 1700 + 1800 ∙ 2 + 2000 + 2400 + 2700 + 3000) :

: 10 = 19100 : 10 = 1910,00 (грн.);

- загальні середні витрати становлять 1570,00 грн. (з.№11/1).

Отже, міжгрупова дисперсія

δ² = ((1230 – 1570)² ∙ 10 + (1910 – 1570)² ∙ 10) : (10 + 10) = 2312000 : 20 =

= 115600 (грн.²).

2) Середнє внутрішніх групових дисперсій (5.23) розрахуємо через значення дисперсій витрат кожної окремої групи:

- дисперсія витрат сільських сімей

σ₁² = ((500 – 1230)² + (600 – 1230)² + (700 – 1230)² + (800 – 1230)² +

+ (1000 – 1230)² + (1400 – 1230)² + (1500 – 1230)² ∙ 2 + + (2000 – 1230)² +

+ (2300 – 1230)²) : 10 = 3361000 : 10 = 336100,00 (грн.²);

- дисперсія витрат міських сімей

σ₂² = ((1000 – 1910)² + (1200 – 1910)² + (1500 – 1910)² + (1700 – 1910)² +

+ (1800 – 1910)² ∙ 2 + (2000 – 1910)² + (2400 – 1910)² + (2700 – 1910)² +

+ (3000 – 1910)²) : 10 = 3629000 : 10 = 362900,00 (грн.²);

Отже, середнє внутрішніх групових дисперсій

= (336100 ∙ 10 + 362900 ∙ 10) : (10 + 10) = 6990000 : 20 = 349500,00 (грн.²).

3) Загальна дисперсія (5.21) становить 465100 грн.² (з.№11/3-б).

Перевіримо виконання правила додавання дисперсій (5.24), відповідно до якого загальна дисперсія визначається як сума міжгрупової дисперсії і середнього внутрішніх групових дисперсій. Насправді, 115600 + 349500 = 465100.

4) Значення коефіцієнта детермінації (5.25) визначимо як співвідношення міжгрупової та загальної дисперсій:

η² = 115600 : 465100 ≈ 0,2485 (24,85%), –

яке свідчить про те, що лише 24,85% варіації витрат на купівлю продуктів харчування обумовлені впливом місцевості проживання, а решта (75,15%) – впливом інших факторів, наприклад, розміром доходів, кількістю членів сім’ї, тощо.

Узагальнюючі числові характеристики альтернативної ознаки.

Задача №14. Завдання. За умов задачі №6 розрахувати середнє і дисперсію альтернативної ознаки «стать», якщо серед 43 членів 20-ти обстежених сімей 23 – жінки і 20 – чоловіки.

Розв’язок.

Позначимо наявність жіночої статі одиницею (1), а чоловічої – нулем (0).

Середнє значення (5.8) та дисперсію (5.26) альтернативної ознаки «стать» визначимо через питому вагу жінок і чоловік серед 43-ох обстежених:

ω ₁ = 23 : 43 ≈ 0,534884 і ω_о = 20 : 43 ≈ 0,465116 (0,534884 + 0,465116 = 1).

1. Середнє ≈ 0,534884.

2) Дисперсія σ_ω² ≈ 0,534884 ∙ 0,465116 ≈ 0,248783.

Рис. Кругова діаграма структури сукупності 43-х

обстежених за ознакою «стать»:

група «0» – чоловіки; група «1» – жінки

Якщо через одиницю представити наявність чоловічої статі, то середнє зміниться з 0,534884 на 0,465116, а дисперсія залишається такою ж самою. Це пов’язано з тим, що середнє альтернативної ознаки, з одного боку, є відносною величиною структури і характеризує питому вагу значення ознаки у статистичній сукупності (рис.), в даному випадку – 23-ох жінок серед 43-ох обстежених, а, з іншого боку, ця характеристика має зміст середнього та характеризує, скільки одиниць даної ознаки припадає на відповідну кількість одиниць сукупності, в даному випадку з кожної умовної сотні обстежених 53,4884 – жінки (53,4884%).