16. Яка вибіркова оцінка є незміщеною? _______________________________.

17. Чи може бути середня квадратична похибка вибірки бути більшою за граничну похибку (якщо може, то за яких умов)?__________________________.

18. Якщо генеральна дисперсія є невідомою, який критерій застосовується для вибіркової оцінювання генерального середнього значення ознаки?__________.

19. Яка з цих формул характеризує середню квадратичну похибку без повторної вибірки?

а) б)

в) г) інша формула.

20. Яка з цих формул характеризує оптимальну чисельність повторної вибірки?

а) б) в) г) інша формула.

Глава 7.

МЕТОД РЯДІВ ДИНАМІКИ

7.1. Основні теоретичні положення

1. Зміст (завдання) методу рядів динаміки. Метод рядів динаміки – це метод статистичного аналізу, який полягає в кількісній оцінці змін ознаки (статистичного показника) у часі. Завдання методу: визначення основної тенденції розвитку, або тренду; прогнозування часових змін на майбутнє; оцінка сезонних коливань.

2. Ряд динаміки (РД) – статистичний ряд, який встановлює залежність між рівнями ряду динаміки та часом. Ряди динаміки бувають моментними й інтервальними. Основні елементи ряду – рівень ряду і час. Ряди динаміки характеризуються абсолютними, відносними та середніми показниками динаміки. Форми представлення рядів: таблична, графічна і аналітична (математичними рівняннями моделей тренду).

3. Моментний РД – ряд динаміки, який відображає стан досліджуваного явища на певні дати (моменти) часу. Моментні ряди поділяють на ряди з рівновіддаленими датами (РВД) і ряди з нерівновіддаленими датами (НВД).

4. Інтервальний РД – ряд динаміки, який відображає підсумки розвитку (функціонування) досліджуваного явища за окремі періоди (інтервали) часу.

5. Рівень РД (Y) – значення ознаки або певного статистичного показника y_i в даний i-ий момент часу t_i (в моментному ряду) або за певний i-ий період часу на встановлені дату або час t_i (в інтервальному ряду). Це – залежна змінна. і = 1, 2, …, n – порядковий номер відліку часу (значення рівня ряду динаміки).

6. Час (Т) – незалежна змінна, що зазвичай являє собою години, дні, місяці, квартали, роки, в які досліджувана ознака або показник набувають певних значень. При місячних, квартальних або річних змінах це – останній день звітного періоду або перший день наступного періоду.

7. Абсолютний приріст (Δy_i) – різниця двох значень рівня ряду динаміки в i-ий момент часу t_i; може бути базисним, різницею поточного y_i і початкового y₀ (y₀, як правило, дорівнює y₁) рівнів –

Δy_бi = y_i – y₀, (7.1)

а також ланцюговим, різницею поточного y_i і попереднього y_i-1 рівнів –

Δy_лi = y_i – y_i-1. (7.2)

Між базисним і ланцюговим абсолютним приростом існує взаємозв’язок:

Δу_бn = ΣΔy_лі. (7.3)

8. Темп зростання (Т_зi) – співвідношення двох значень рівня ряду динаміки в i-ий момент часу t_i; може бути базисним, співвідношенням поточного y_i і початкового y₀ рівнів –

Т_збi = y_i/y₀, (7.4)

а також ланцюговим, співвідношенням поточного y_i і попереднього y_i-1 рівнів –

Т_злi = y_i/y_i-1. (7.5)

Звичайно темп зростання представляють у відсотках.

9. Темп приросту (Т_пi) – співвідношення абсолютного приросту і певного значення рівня ряду динаміки в i-ий момент часу t_i; може бути базисним, співвідношенням абсолютного базисного приросту Δy_бi і початкового рівня y₀ –

Т_пбi = Δy_бi/y₀, (7.6)

а також ланцюговим, співвідношенням абсолютного ланцюгового приросту Δy_лi і попереднього рівня y_i-1 –

Т_плi = Δy_лi/y_i-1. (7.7)

Звичайно темп приросту представляють у %.

Темп приросту і темп зростання пов’язані таким рівнянням:

Т_п = Т_з – 1(100%). (7.8)

10. Темп нарощування (Т_нi) – співвідношення абсолютного ланцюгового приросту Δy_лi і початкового рівня y₀ ряду динаміки в i-ий момент часу t_i:

Т_нi = Δy_лi/y₀. (7.9)

Крім того,

Т_нi = Т_збі – Т_збі-1. (7.10)

Звичайно темп нарощування представляють у %.

11. Середній рівень РД ( ) – середнє арифметичне усіх n значень рівнів інтервального ряду динаміки:

(7.11)

Середнє хронологічне в моментному ряду з рівновіддаленими датами:

(7.12)

Зважене середнє арифметичне в моментом ряду з нерівновіддаленими датами:

(7.13)

12. Середній абсолютний приріст ( ) – середнє арифметичне усіх (n – 1) значень абсолютного приросту інтервального ряду динаміки:

(7.14)

Або

(7.15)

де (n – 1) – кількість субперіодів ряду динаміки.

13. Середній темп зростання ( ) – середнє геометричне усіх (n – 1) значень ланцюгового темпу зростання інтервального ряду динаміки:

(7.16)

Або

(7.17)

де (n – 1) – кількість субперіодів ряду динаміки.

14. Середній темп приросту ( ) – різниця середнього темпу зростання і одиниці або ста відсотків, якщо темпи представлені у відсотках:

(7.18)

15. Тренд (аналітичне вирівнювання в РД) – основна тенденція розвитку в ряду динаміки, яка обумовлена дією на досліджувані ознаку або показник основних, визначних, факторів, має прояв у стійкій систематичній зміні цієї ознаки (показника) протягом тривалого часу, що може бути представленою певною моделлю (статистичною гіпотезою), математичною функцією одного аргументу, часу: Y_t = f(t).

Поширеними є такі моделі тренду: (7.19)

а) лінійна функція

б) квадратична парабола

в) кубічна парабола

г) показникові функція

Задача визначення основної тенденції розвитку в ряду динаміки – це задача аналітичного вирівнювання даного ряду.

Аналітичне вирівнювання в РД – розповсюдження властивостей запропонованої моделі тренду на характеристики ряду. Вона зводиться до обчислення оцінок {а_j} (j = 0, 1, 2,…, k) невідомих параметрів моделі тренду (однієї чи декількох), обраної в якості робочої гіпотези, й вибору адекватної моделі. Оцінки параметрів визначаються за допомогою методу найменших квадратів. Крім аналітичного вирівнювання, в практиці статистичного вивчення тренду застосовуються методи збільшення інтервалів, плинного середнього та ін.

16. Метод найменших квадратів (МНК) щодо оцінювання параметрів моделі тренду: сума квадратів різниці фактичних y_i і теоретичних y_ti значень рівня ряду динаміки має бути найменшою:

(7.20)

Імовірнісне обґрунтування методу. Фактичні значення y_i можуть бути представлені як значення незалежних випадкових величин Y_i з математичними сподіваннями y_ti і середніми квадратичними відхиленнями σ_i, що характеризують похибку вимірювання. Якщо вважати точність вимірювання незмінною (σ_i = σ = const), то закон розподілу кожної випадкової величини Y_i визначається як нормальний з параметрами (y_ti, σ). Отже, ймовірність події Y = {y_i} буде максимальною, коли функція правдоподібності L(Y) = L(y₁, y₂, …, y_n) набуває максимального значення:

(7.21)

або коли

(7.22)

що відповідає вимогам МНК.

Застосування МНК. Якщо теоретичну криву можна представити поліномом степеню k, то визначення оцінок {a_j} (j = 0, 1, …, k) здійснюється відповідно до останнього рівняння шляхом розв’язання системи (k + 1) лінійних рівнянь:

(7.23)

де (∂F/∂a_j)_і – значення частинної похідної функції F по a_j в точці t_i.

Інакше, в ліву частину тотожності, як в рівняння функції, замість y_ti підставляється права частина рівняння моделі тренду, після чого функція диференціюється по невідомих оцінках, а кожна похідна прирівнюється до нуля; отримана в такий спосіб система нормальних рівнянь (їх кількість співпадає з кількістю (k + 1) невідомих параметрів) розв’язується за допомогою правила Крамера (спосіб визначників) або у спосіб взаємного виключення змінних (методом Гауса).

Для вибору значень t_i застосовують спосіб відліку часу від умовного початку, яким вважається центр досліджуваного часового відрізка, а самім значення, зліва та справа від центру (t = 0), послідовно присвоюються відповідно від’ємні та додатні цілі числа: або всі підряд, якщо кількість моментів часу (n) є непарним числом (між сусідніми моментами часу відстань умовно дорівнює одиниці), або лише непарні, якщо ця кількість є парним числом (між сусідніми моментами часу відстань умовно дорівнює двійці), – так, що Σt = 0. Якщо відстань між сусідніми моментами часу залишити одиничною, то встановлювані числа виходять кратними ½. Підстановка таких значень t_i у формулу моделі тренду дає теоретичні (гіпотетичні) значення y_ti рівня ряду динаміки, сума яких повинна бути такою ж самою, як і сума фактичних значень y_i ряду:

Σy_ti ≡ Σy_i. (7.24)

17. Адекватна модель тренду – така модель, яка у розумінні МНК найкращим чином відображає основну тенденцію розвитку в ряду динаміки. Відбір адекватної моделі здійснюється за допомогою критерію найменшої середньої квадратичної похибки апроксимації: адекватною є та модель, для якої дана похибка є найменшою. До того ж, адекватними можуть вважатись лінійна модель, квадратична (кубічна) парабола і показникова функція, якщо є незмінними у часі відповідно Δy_лi, Т_плi і Т_злi.⁹ Якщо Δy_лn→ 0 (розвиток з уповільненням в кінці ряду), в якості тренду застосовується півлогарифмічна модель:

Y_t = a₀ + a₁lgt. (7.25)

18. Середня квадратична (стандартизована) похибка (СКП) апроксимації (σ_{апрокс.}) – середнє квадратичне відхилення фактичних y_i і теоретичних y_ti значень рівня ряду динаміки:

(7.26)

де – значення похибки апроксимації (залишок u_i), яка є нормальною випадковою величиною з параметрами (0, σ).

Перевірка відповідності розподілу похибки нормальному закону може проводитись через дослідження показників асиметрії й ексцесу, за методом Вестергарда, RS-критерієм і т.ін.

У більшості практичних задач σ є невідомим параметром, а n – обмежений декількома одиницями об’єм спостережень, тому похибка апроксимації має t-розподіл, а стандартизована похибка обчислюється з поправкою на (n – 1) ступенів свободи t-критерію:

(7.27)

19. Лінійна модель тренду (рівномірний розвиток) – функція виду , в якій оцінки параметрів

(7.28)

показують відповідно точку перетину прямої лінії тренду з віссю ординат і швидкість зміни Y_t, якщо застосовувати спосіб визначників; а також

, (7.29)

якщо застосовувати спосіб відліку часу від умовного початку. В останньому випадку а₀ – це середній рівень ряду динаміки, а₁ – це середній ланцюговий абсолютний приріст.

Лінійна модель є адекватною, якщо Δy_лi = const.

20. Квадратична парабола як модель тренду (рівноприскорений або рівноуповільнений розвиток) – функція виду , в якій

(7.30)

оцінки параметрів, визначені у спосіб відліку часу від умовного початку. а₀ і а₁ ідентичні відповідним оцінкам лінійної моделі, а₂ характеризує інтенсивність розвитку Y: прискорення, якщо а₂ > 0, і його уповільнення, якщо а₂ < 0.

Квадратична парабола є адекватною моделлю, якщо Т_плi = const.

21. Кубічна парабола як модель тренду (розвиток із змінним прискоренням або уповільненням) – функція виду , в якій

(7.31)

оцінки параметрів, визначені у спосіб відліку часу від умовного початку. а₀, а₁ і а₂ ідентичні відповідним оцінкам квадратичної параболи, а₃ характеризує зміну прискорення: воно зростає, якщо а₃ > 0, і зменшується, якщо а₃ < 0.

Кубічна парабола є адекватною моделлю, якщо Т_плi = const.

22. Показникова функція як модель тренду (розвиток по експоненті) – функція виду , в якій

(7.32)

оцінки параметрів, визначені у спосіб відліку часу від умовного початку. а₁ – це темп зростання досліджуваного явища в одиницю часу, тобто інтенсивність розвитку.

Показникова функція є адекватною, якщо Т_злi = const.

23. Екстраполяція в РД – розповсюдження закономірностей, виявлених під час аналізу динаміки досліджуваного явища, на його майбутню часову зміну. Ця закономірність є базою прогнозування і, як вважають, зберігається на час прогнозування t_n+l, де l – строк прогнозування (період випередження). Чим коротший строк прогнозування, тим надійніше результат екстраполяції. Звичайно прогнозування виконується на один період зміни часу вперед. Мірою надійності є середня квадратична похибка екстраполяції, а сама екстраполяція виконується шляхом інтервального оцінювання.

24. Середня квадратична похибка екстраполяції (σ_екстр.) – залишкове середнє квадратичне відхилення фактичних y_i і теоретичних y_ti значень рівня ряду динаміки, скориговане за кількістю m ступенів свободи t-критерію:

(7.33)

де m = n – s, s – кількість оцінюваних параметрів адекватної моделі тренду.

25. Інтервальна оцінка прогнозованого рівня РД. Передбачає обчислення границь довірчого інтервалу І_α можливих, прогнозованих, значень рівня ряду динаміки з використанням t-критерію, який характеризує розподіл ймовірностей похибки екстраполяції. Границі довірчого інтервалу визначаються із заданим рівнем значущості α:

(7.34)

де – точкова оцінка екстрапольованого рівня, тобто рівень тренду на час екстраполяції t_n+l; t_m;1-α/2 = ‌‌|t|_m;1-α – значення t-критерію на рівні значущості α і з кількістю ступенів свободи m (визначається зі статистичних таблиць).

Добуток |t|_m;1-α і σ_екстр. є граничною похибкою екстраполяції.

26. Гранична похибка екстраполяції (δ_екстр.) – максимальне значення похибки екстраполяції:

, (7.35)

де – значення похибки екстраполяції, яка є асимптотично нормальною з параметрами (0, σ) за умов ЦГТ.

У більшості практичних задач похибка екстраполяції має t-розподіл, а гранична похибка обчислюється з поправкою на m ступенів свободи t-критерію:

(7.36)

27. Сезонні коливання – більш-менш стійкі внутрішньорічні коливання рівня ряду динаміки – чергування збільшень і зменшень значень досліджуваної ознаки (показника), обумовлені впливом сезонних факторів (сезону або пори року).

Методи вивчення сезонних коливань: плинного середнього, збільшення інтервалів, аналітичного вирівнювання, постійного середнього, змінного середнього, рядів Фур’є.

Зазвичай, вимірювання сезонних коливань виконується за допомогою індексу сезонності (середнього індексу сезонності) з побудовою моделі сезонної хвилі.

28. Метод збільшення інтервалів. Застосовується для виявлення тренду в рядах динаміки з коливаннями рівня ряду, які маскують основну тенденцію його зміни у часі, а відлічування часу відбувається у характерні скінчені звітні періоди, як правило, помісячно, поквартально, щороку.

Зміст методу. Досліджуваний період розбивається на декілька однакових характерних субперіодів (наприклад: місяці поєднані в квартали, квартали – у роки), в межах яких початкові значення рівня ряду динаміки послідовно додаються; отримані нові значення на певні звітні дати представляють згладжений ряд.

29. Метод плинного середнього. Застосовується для виявлення тренду в рядах динаміки з коливаннями рівня ряду, які маскують основну тенденцію його зміни у часі, зазвичай, періодичними (циклічними) змінами Y.

Зміст методу. Досліджуваний період розбивається на декілька однакових характерних циклів зі зміщенням у часі кожного наступного циклу по відношенню до попереднього на одиницю часу; в межах кожного циклу обчислюється середнє арифметичне початкових значень рівня ряду динаміки; отримані нові значення на певні звітні дати представляють згладжений ряд. Осереднення можна проводити в один або декілька етапів, в останньому випадку – з поступовим зменшенням бази осереднення (тривалості циклу).

30. Індекс сезонності (i_s) – відносна величина порівняння фактичних значень y_i рівня ряду динаміки і відповідних теоретичних (розрахункових) його значень y_ti:

(7.37)

В якості теоретичних значень рівня ряду динаміки можуть застосовуватись значення, обчислені за методом ковзного середнього або шляхом аналітичного вирівнювання цього ряду.

31. Середній індекс сезонності ( ) – середнє арифметичне значень індексу сезонності однойменних періодів (з номером j = 1, 2, …, J) ряду динаміки (наприклад: однойменних місяців або кварталів) за декілька (K) років:

, – (7.38)

якщо внутрішньорічна динаміка має чітко виражену тенденцію розвитку (метод змінного середнього). Відношення середнього арифметичного значень рівня ряду динаміки однойменних періодів (з номером j = 1, 2, …, J) і середнього рівня ряду динаміки:

, – (7.39)

якщо внутрішньорічна динаміка більш-менш рівномірна (метод постійного середнього).

Для того, щоб вважати тренд «незмінним» («постійним») у часі, інтенсивність змін значень рівня ряду динаміки (середній темп приросту) не повинна (не повинен) перевищувати 5 %. Середнє арифметичне середніх індексів сезонності, визначених методом постійного середнього, завжди дорівнює 1 (100 %).

32. Модель сезонної хвилі – крива (ламана лінія), яка характеризує зміну середнього індексу сезонності, зазвичай у відсотках, протягом умовного року у значеннях, що відповідають звітним періодам цього року, наприклад: щомісячно, щоквартально.

33. Метод рядів Фур’є щодо аналізу сезонних коливань – метод аналітичного представлення сезонних змін досліджуваної ознаки (показника) рядом Фур’є:

(7.40)

де k = 1, 2, … визначає номер гармоніки;

(7.41)

середній рівень ряду динаміки;

(7.42)

коефіцієнти Фур’є.

Застосовується у випадках, коли коливання ряду динаміки відбуваються в межах року Т (Т = 2π, n = 12) і представленні місячними значеннями в моменти часу t_i = πi/6, а розкладення функції Y_t на ортогональні складові sin і cos дає найкращу збіжність до фактичної динаміки Y у розумінні МНК.

Контрольні питання:

1. Метод рядів динаміки: призначення та спектр вирішуваних завдань, використовувані специфічні методи й їх відповідне призначення.

2. Ряд динаміки: визначення, види, елементи та правила побудови.

3. Абсолютні та відносні показники динаміки, їх значення та застосування для вирішення завдань методу.

4. Середні показники динаміки, їх значення та застосування для вирішення завдань методу.

5. Поняття тренду, використовувані математичні моделі тренду.

6. Лінійна модель тренду й її властивості.

7. Квадратична парабола як модель тренду й її властивості.

8. Кубічна парабола як модель тренду й її властивості.

9. Показникова функція як модель тренду й її властивості.

10. Аналітичне вирівнювання в рядах динаміки: мета, метод найменших квадратів (МНК) щодо оцінки параметрів тренду, адекватна математична модель та критерії її вибору, середня квадратична похибка апроксимації.

11. Екстраполяція в рядах динаміки: мета, алгоритм розрахунку довірчого інтервалу прогнозованого рівня ряду динаміки на певному рівні значущості t-критерію.

12. Сезонні коливання: поняття, особливості прояву у статистичних рядах, методи аналізу, застосовувані статистичні показники.

13. Методи плинного середнього та збільшення інтервалів для виявлення основної тенденції розвитку в рядах динаміки (на прикладі сезонних коливань).

14. Метод постійного середнього в аналізі сезонних коливань з постійним трендом.

15. Метод змінного середнього в аналізі сезонних коливань із змінним трендом.

16. Метод рядів Фур’є у моделюванні сезонних коливань.