2.3.2. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки

Теорема. Если С , причём функция отображает отрезок на отрезок , то

Доказательство

Пусть F(x) – первообразная для f(x), тогда

.

С другой стороны,

.

При вычислении определённого интеграла с помощью подстановки возвращаться к прежней переменной интегрирования не нужно. Однако не следует забывать о необходимости изменения пределов интегрирования.

2.3.3. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла выводится очень просто.

Пусть . Тогда

т. е.

2.4. Приближенное вычисление определённых интегралов. Понятие о численном интегрировании

Пусть требуется вычислить определённый интеграл

от непрерывной функции f(x). Если может быть найдена первообразная F(x) подынтегральной функции f(x), то интеграл может быть вычислен по формуле Ньютона – Лейбница

.

Если же первообразная не может быть найдена или если f(x) задана графически или таблично, то для вычисления интеграла прибегают к приближенным формулам, точность которых может быть сделана сколь угодно большой.

Приближенные методы вычисления определенного интеграла в большинстве случаев основаны на том, что определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), отрезком оси 0х и вертикальными прямыми x = a, x = b. Благодаря этому задача о приближенном вычислении интеграла равносильна задаче о приближенном вычислении площади криволинейной трапеции. При этом кривая y = f(x) заменяется новой кривой, которая достаточно «близка» к данной. Тогда искомая площадь приближенно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной новой кривой.

В качестве этой кривой выбирают такую, для которой площадь криволинейной трапеции подсчитывается просто. В зависимости от выбора новой кривой (метода аппроксимации) мы получаем ту или иную приближенную формулу, часто называемую квадратурной.

2.4.1. Формула прямоугольников

Формула прямоугольников основана на замене подынтегральной функции f(x) на кусочно-постоянную функцию.

Отрезок разбивается на n частей равной длины . На каждой из частей функция f(x) заменяется постоянной величиной . Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно приравнивается к площади ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Тогда

– для случая вписанной ступенчатой фигуры (штриховка)

;

– для случая описанной ступенчатой фигуры (пунктир)

Для повышения точности (уменьшения ошибки вычисления) требуется увеличивать n – число элементов разбиения отрезка на части. При этом резко возрастает количество вычислений.

2.4.2. Формула трапеций

Формула трапеций аналогична формулам прямоугольников, но f(x) заменяется на каждом отрезке длиной линейной функцией, а площадь – суммой площадей трапеций (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Формулу трапеций можно получить как среднее арифметическое формул прямоугольников.

Формула трапеций точнее, чем формулы прямоугольников; объём вычислений остаётся почти таким же.