9.2.3. Площадь поверхности вращения
Пусть дуга AB кривой у = f (x) вращается вокруг оси Oх (рис. 9.12). Элемент дуги кривой dl описывает поверхность, близкую к поверхности усеченного конуса. Считая точку х лежащей на середине dx, получим площадь поверхности этого элементарного конуса по формуле усеченного конуса
,
где dl − дифференциал дуги плоской кривой. В нашем случае она имеет уравнение y = f (x), тогда
,
а вся поверхность получится интегрированием
.
Рис. 9.12
9.3. Механические приложения кратных интегралов
Пусть в пространстве R3 задано тело T с элементом объема dV (рис. 9.13). Тогда масса этого элемента может быть вычислена по формуле
,
де
– функция плотности. Тогда вся масса
тела
.
Рис. 9.13
Элементарный статический момент относительно плоскости хOу
.
Момент всего тела относительно плоскости х0у
.
Аналогично находятся моменты относительно других плоскостей:
,
.
Из
механики известны формулы для вычисления
координат
центра тяжести тела
где
m
– масса
тела;
– статические моменты относительно
плоскостей координат. Тогда
.
Аналогично
вычисляются
и
.
Моменты инерции относительно осей координат соответственно равны:
,
,
.
9.4. Примеры физических приложений определённых интегралов
Масса неоднородного стержня с линейной плотностью
(рис. 9.14) вычисляется по формуле
Рис. 9.14
Заряд, распределенный вдоль диэлектрического стержня с линейной плотностью q(x), вычисляется аналогично массе неоднородного стержня
Количество тепла, сосредоточенного в неравномерно нагретом стержне, вычисляется столь же просто:
где с – удельная теплоёмкость единицы массы; s – площадь сечения стержня (s = const); γ – плотность массы материала стержня; Т – температура.
Подумайте, что изменится, если s = s(x).
Р
абота
А упругого
элемента (пружины) при растяжении из
свободного состояния, когда конец
элемента имеет абсциссу x
= 0, до того
положения, когда его конец будет иметь
абсциссу x
= h
(рис. 9.15),
вычисляется следующим образом.
Сила F, уравновешивающая растянутый упругий элемент, равна cx: F = cx, где с – жесткость пружины (положим для простоты с = const).
Тогда
Подумайте, каков геометрический смысл связи графиков силы F(x) и работы A(x).
1 Якоби К. (1804-1851) – немецкий математик.