8. Криволинейные интегралы

8.1. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги кривой

Ранее было введено понятие интеграла по мере области. Рассмотрим случай, когда в качестве «области» выбрана гладкая кривая L (кривая называется гладкой, если положение касательной при перемещении точки касания по кривой изменяется непрерывно).

П усть на кривой L задана функция f(M) точки этой кривой (рис. 8.1). Тогда можно ввести следующее понятие интеграла:

(8.1)

который называется криволинейным интегралом по длине дуги кривой (криволинейным интегралом первого рода).

В выражении (8.1) предполагается, что − длина участка дуги l_i.

Если в выражении (8.1) положить f (x,y) = 1 на всей дуге L, то в соответствии с одним из свойств интеграла по мере интеграл

(8.2)

выражает длину дуги L. Найдем эту длину.

Разобьем кривую L на частичные дуги точками и соединим эти точки отрезками. За приближенную длину дуги кривой можно принять длину вписанной в неё ломаной. Очевидно, что при увеличении числа звеньев ломаной такая замена будет всё более точной. Для большого класса кривых, называемых спрямляемыми, существует предел последовательности длин ломаных при бесконечном увеличении числа звеньев, или когда длина наибольшего из звеньев стремится к нулю. Этот предел логично принять за длину дуги кривой.

С читая кривую спрямляемой, найдём её длину. Выделим i-тый участок (рис. 8.2).

Тогда длина отрезка

.

Пользуясь формулой конечных приращений, найдем

.

Тогда

.

Суммируя , получим длину ломаной

.

Переходя к пределу, получим точное значение длины дуги кривой

. (8.3)

Под знаком предела стоит интегральная сумма, составленная для функции

.

Тогда выражение (8.3) представляет собой интеграл, определяющий длину дуги L

.

Сравнивая последнее выражение с (8.2), можно видеть, что

.

Логично предположить, что последняя формула позволяет вычислить интеграл по длине дуги кривой, когда подынтегральная функция равна 1. Выражение

(8.4)

называется дифференциалом дуги плоской кривой. Он выражает длину бесконечно малого участка дуги. Исходя из соображений интегральной суммы очевидна формула для вычисления криволинейного интеграла I рода

. (8.5)

Если кривая L задана параметрически

то, подставляя и в (8.4) и (8.5), получим

или ; (8.6)

. (8.7)

Обобщением на случай пространственной кривой будут формулы

Если кривая L задана в полярных координатах , то, помня о формулах перехода к прямоугольным координатам, получим следующие параметрические уравнения этой кривой:

где полярный угол θ логично принять за параметр. Тогда находим

,

.

В соответствии с выражениями (8.6) и (8.7) получим

,

,

где – полярные углы начала и конца дуги кривой L.

Если функцию f(x, y, z) считать линейной плотностью массы изогнутого стержня L, т. е. , то в соответствии с (8.1) его масса вычисляется по формуле

.

8.2. Криволинейные интегралы по координатам

8.2.1. Понятие о векторном поле

Если каждой точке М некоторого пространства поставлен в соответствие вектор длина и направление которого зависят от точки пространства, то говорят, что в этом пространстве задано векторное поле.

Таким образом, векторное поле – это вектор-функция где Если – координаты в то

или

Векторное поле называется плоским, если R = 0, а функции P и Q не зависят от z , т. е.

Примерами векторных полей являются поле скоростей жидкости, поле сил тяготения, поле электрической и магнитной напряженности.

П редставим себе линию, касательные к которой в каждой точке М совпадают с векторами в этой точке. Эта кривая является огибающей векторного поля , и её называют векторной линией (рис. 8.3).

Рассмотрим элемент дуги векторной линии (рис. 8.4)

.

При вектор Δ по направлению будет стремиться к касательной. Поэтому можно говорить об ориентированном элементе дуги кривой l

.

Так как он направлен по касательной, то

.

Условие коллинеарности может быть записано в виде

. (8.8)

Тогда

Получили дифференциальные уравнения векторной линии. Решением этой системы будут параметрические уравнения

В гидродинамике это линии тока, в электротехнике – силовые линии.