1.7.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби

Интегрирование рациональной дроби проводится по следующему алгоритму:

1. если дана неправильная рациональная дробь, то необходимо выделить из нее целую часть, т. е. представить в виде

,

где M(x) – многочлен, а – правильная рациональная дробь;

2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

,

где , т. е. трехчлен имеет комплексные сопряженные корни;

3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:

4) вычислить неопределенные коэффициенты . Для этого привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольные числовые значения.

В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.

Случай 1. Знаменатель имеет только действительные различные корни.

Случай 2. Знаменатель имеет только действительные корни, причем некоторые из них – кратные.

Случай 3. Среди корней имеются простые комплексные корни.

Случай 4. Среди корней знаменателей имеются кратные комплексные корни, т. е. разложение знаменателя содержит повторяющиеся квадратичные множители.

1.8. Интегрирование иррациональных функций

1. Интегралы вида , где R – рациональная функция; m₁, n₁, m₂, n₂, … – целые числа

С помощью подстановки , где s – наименьшее общее кратное чисел n₁, n₂, …, указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной дроби.

2. Интегралы вида

Такой интеграл приводится к интегралу от рациональной функции новой переменной с помощью следующих подстановок Эйлера.

Первая подстановка Эйлера. Если , то полагаем

.

Перед корнем возьмем для определенности знак плюс. Тогда

,

откуда x определяется как рациональная функция от t:

(значит, dx тоже будет выражаться рационально через t), следовательно,

,

т. е. оказывается рациональной функцией от t.

Так как , x и dx выражаются рационально через t, то, следовательно, данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции от t.

3. Интегралы вида

С помощью подстановки этот интеграл приводится к рассмотренному в п. 1.8.2.

4. Интегралы дифференциальных биномов , где m, n, p – рациональные числа

Интегралы от дифференциальных биномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях:

1) p – целое число; тогда данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

2) – целое число; в этом случае данный интеграл рационализируется с помощью подстановки , где s – знаменатель дроби p;

3) – целое число; в этом случае к той же цели ведет подстановка , где s – знаменатель дроби p.