7.3. Замена переменных в кратных интегралах

7.3.1. Общая формула замены переменных

Рассмотрим в Е³ три семейства поверхностей

(7.5)

Поверхности называют координатными поверхностями, а линии их пересечения – координатными линиями.

Тогда все точки пространства можно задать тройкой чисел  − криволинейными координатами точки. А соотношение (7.5) можно считать формулами преобразования координат. Элемент объёма в этой системе координат тоже криволинейный, и уже нельзя считать, что он равен произведению трех измерений

Если соотношения (7.5) разрешить относительно x, y, z

то получим отображение области V пространства Oxyz на область V₁ пространства (рис. 7.16). При этом взаимная однозначность отображений гарантируется условием

. (7.6)

Рис. 7.16

Определитель в (7.6) называется функциональным определителем или Якобианом¹. Можно показать, что коэффициент искажения элементарного объёма равен модулю Якобиана, т. е.

Отсюда для тройного интеграла имеем

Для двойного интеграла формулы будут выглядеть проще:

1. формулы преобразования

2. Якобиан

;

3. формула замены переменных в двойном интеграле

.

7.3.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Положение точки М на плоскости можно определить, задав величины:

1. расстояние r от этой точки до начала координат 0;

2. у гол между радиусом-вектором и осью Ox (рис. 7.17).

При этом считают, что .

Упорядоченная пара чисел (r, называется полярными координатами точки М. Связь с декартовыми координатами осуществляется при помощи формул

Якобиан

.

Тогда двойной интеграл в полярных координатах

.

7.3.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах

Положение любой точки М в пространстве можно определить, задав три величины:

1. расстояние r от этой точки до оси Oz;

2. угол θ между координатной плоскостью Oxz и плоскостью, проходящей через точку М и ось Oz;

3. расстояние z от точки М до координатной плоскости Oxy (рис. 7.20).

4. П ри этом предполагается, что

Упорядоченная тройка чисел ( называется цилиндрическими координатами точки М, которые связаны с декартовыми координатами соотношениями:

Цилиндрическая система координат является ортогональной (ортогональны касательные плоскости к координатным поверхностям Координатными поверхностями здесь являются поверхности:

• – цилиндрическая поверхность;

• – плоскости, проходящие через ось Oz;

• – плоскости, перпендикулярные оси Oz.

Якобиан отображения в цилиндрическую систему имеет вид

.

Тогда запись тройного интеграла в цилиндрических координатах

7.3.4. Запись тройного интеграла в сферической системе координат

Положение точки М в пространстве можно определить, задав три величины:

1. р асстояние r от этой точки до начала координат 0;

2. угол между координатной плоскостью Oxz и плоскостью, проходящей через точку М и ось Oz;

3. угол между радиусом-вектором и осью Oz (рис. 7.24).

При этом считают, что

Упорядоченная тройка чисел (r, называется сферическими координатами точки М. Связь с декартовыми координатами осуществляется при помощи формул

Сферические координаты тоже являются ортогональными. Координатными поверхностями здесь являются

• − сфера радиуса r;

• − плоскость, проходящая через ось Oz;

• − коническая поверхность с углом при вершине и с осью, совпадающей с Oz.

Якобиан отображения из декартовой в сферическую систему координат

Поэтому тройной интеграл в сферических координатах записывают в виде