- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •1.3. Таблица основных интегралов
- •1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой
- •1.5. Интегрирование по частям
- •1.6. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
- •1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •1.7.1. Интегрирование простейших дробей
- •1.7.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби
- •1.8. Интегрирование иррациональных функций
- •2. Интегралы вида
- •3. Интегралы вида
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •1. Интегралы вида , где r – рациональная функция
- •2. Интегралы вида
- •5. Тригонометрические подстановки
- •6. Интегралы вида
- •1.10. Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
- •2. Интеграл по мере области
- •2.1. Понятие интеграла по мере области
- •2.2. Основные свойства интеграла по мере области
- •2.3. Вычисление определенного интеграла
- •2.3.1. Формула Ньютона − Лейбница
- •2.3.2. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки
- •2.3.3. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям
- •2.4. Приближенное вычисление определённых интегралов. Понятие о численном интегрировании
- •2.4.1. Формула прямоугольников
- •2.4.2. Формула трапеций
- •2.4.3. Формула парабол (Симпсона)
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •3.2. Несобственные интегралы от разрывных функций
- •3.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
- •4. Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом
- •5. Понятие об интегралах, зависящих от параметра
- •6. Понятие о гамма-функции
- •7. Вычисление кратных интегралов
- •7.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •7.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •7.3. Замена переменных в кратных интегралах
- •7.3.1. Общая формула замены переменных
- •7.3.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •7.3.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •7.3.4. Запись тройного интеграла в сферической системе координат
- •8. Криволинейные интегралы
- •8.1. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги кривой
- •8.2. Криволинейные интегралы по координатам
- •8.2.1. Понятие о векторном поле
- •8.2.2. Определение криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.3. Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.4. Формула Грина
- •8.2.5. Независимость криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования
- •9. Приложения кратных интегралов
- •9.1. Геометрические приложения кратных интегралов
- •9.2. Вычисление геометрических характеристик тел вращения
- •9.2.1. Объём тела с заданным поперечным сечением
- •9.2.2. Объём тела вращения
- •9.2.3. Площадь поверхности вращения
- •9.3. Механические приложения кратных интегралов
- •9.4. Примеры физических приложений определённых интегралов
1. Неопределенный интеграл
1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
Пусть дана функция Тогда производная Оператор, сопоставляющий функции её производную, называется оператором дифференцирования D:
Рассмотрим обратную задачу: зная функцию найти функцию , производная которой равна
(1.1)
Говорят, что функция F(x) является первообразной для функции f(x).
Теорема 1 (о виде первообразных). Любые две первообразные для одной и той же функции различаются лишь на постоянную величину.
Доказательство. Пусть F(x) и Ф(х) – две первообразные для функции f(x), т. е.
Таким образом, любая первообразная для заданной функции имеет вид
Здесь – какая-либо первообразная; С – произвольная постоянная.
Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается
(1.2)
В (1.2) f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением. Процедура вычисления неопределённого интеграла называется интегрированием функции f(x).
Геометрический смысл неопределённого интеграла ясен из рис. 1.1, где показано множество кривых, каждая из которых может быть получена сдвигом кривой y = F(x) в направлении оси ординат. Неопределённый интеграл есть произвольный элемент y = F(x) + С указанного семейства кривых.
На неопределённый интеграл можно смотреть как на оператор, действующий из С в С1:
Оператор интегрирования иногда обозначают следующим образом:
имея в виду, что если заменить точку функцией f(x), то получится значение оператора на функции f(x).
Теорема 2 (о существовании неопределённого интеграла). Для всякой функции класса существует неопределённый интеграл на том же отрезке .
В данном курсе доказательство этой теоремы не рассматривается.
1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
(1.3)
Доказательство:
2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению
Доказательство:
3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
Доказательство:
4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:
(1.4)
Доказательство. Знак равенства в (1.4) понимается как совпадение производных для левой и правой частей. Отсюда следует очень простое доказательство
5. Неопределённый интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, если интегралы существуют:
(1.5)
Доказательство. Доказательство проводится аналогично доказательству свойства 4:
,
Из равенств (1.4), (1.5) следует, что оператор интегрирования является линейным оператором.
1.3. Таблица основных интегралов
Приведём основные формулы для интегрирования элементарных функций. Часть этих формул известна из школьного курса математики.
частный случай
Приведенные формулы проверяют с помощью дифференцирования. Например, проверим формулу 15:
Аналогично убеждаемся в справедливости формулы 3:
.
В качестве упражнения докажите справедливость формул 13, 14, 16.