Символьное решение уравнений

В MathCad можно быстро и точно найти численное значение корня с помощью функции root. Но имеются некоторые задачи, для которых возможности MathCad позволяют находить решения в символьном (аналитическом) виде.

Решение уравнений в символьном виде позволяет найти точные или приближенные корни уравнения:

· Если решаемое уравнение имеет параметр, то решение в символьном виде может выразить искомый корень непосредственно через параметр. Поэтому вместо того, чтобы решать уравнение для каждого нового значения параметра, можно просто заменять его значение в найденном символьном решении.

· Если нужно найти все комплексные корни полинома со степенью меньше или равной 4, символьное решение даст их точные значения в одном векторе или в аналитическом или цифровом виде.

· Команда Символы Переменные Вычислить позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения. Чтобы решить уравнение символьно, необходимо:

· Напечатать выражение (для ввода знака равенства используйте комбинацию клавиш   (Ctrl=) ).

· Выделить переменную, относительно которой нужно решить уравнение, щелкнув на ней мышью.

· Выбрать пункт меню Символы Переменные Вычислить.

Нет необходимости приравнивать выражение нулю. Если MathCad не находит знака равенства, он предполагает, что требуется приравнять выражение нулю.

Чтобы решить систему уравнений в символьном виде, необходимо выполнить следующее:

· Напечатать ключевое слово Given.

· Напечатать уравнения в любом порядке ниже слова Given (для ввода знака = (Ctrl=) ).

· Напечатать функцию Find, соответствующую системе уравнений.

· Нажать Ctrl. (клавиша   CTRL,   сопровождаемая   точкой).   MathCad   отобразит символьный знак равенства   .

· Щелкнуть мышью на функции Find.

Пример 2 рис. 5.2 иллюстрирует символьное решение системы уравнений в MathCad. 

6. Интерполяция функций

Аппроксимация функций заключается в приближенной замене заданной функции f(x) некоторой функцией  так, чтобы отклонение функции   и f(x) в заданной области было наименьшим. Функция  при этом называется аппроксимирующей. Типичной задачей аппроксимации функций является задача интерполяции. Необходимость интерполяции функций в основном связана с двумя причинами:

1. Функция f(x)  имеет сложное аналитическое описание, вызывающее определенные трудности при его использовании (например,  f(x) является спецфункцией: гамма функцией, эллиптической функцией и др.).

2. Аналитическое описание функции f(x)  неизвестно, т.е. f(x)  задана таблично. При этом необходимо иметь аналитическое описание, приближенно представляющее f(x)   (например, для вычисления значений f(x)  в произвольных точках, определения интегралов и производных от f(x)  и т.п.)

 

Постановка задачи интерполяции

Простейшая задача интерполяции заключается в следующем. На отрезке [a; b] заданы n+1 точки , которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции  f(x)  в этих точках

f (x₀) = y₀,  f (x₁ )= y₁ ,…, f(x_n)=y_n                                                  (6.1)

 

Рис. 6.1. Геометрическая интерполяция

 

Требуется построить функцию  (интерполяционная функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е. такую, что

(x₀) = y₀,  (x₁ )= y₁ ,…, (x_n)=y_n                                           (6.2)

Геометрически это означает, что нужно найти кривую  некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек

 (i=0, 1, …, n) (рис. 6.1).

В такой общей постановке задача может иметь бесконечное множество решений или совсем не иметь решений.

Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции  искать полином  (интерполяционный полином) степени не выше n, удовлетворяющий условиям (6.2), т.е. такой, что

             (x₀) = y₀,  (x₁ )= y₁ ,…, (x_n)=y_n                                                  (6.3)

Полученную интерполяционную формулу

                                                     (6.4)

обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции f(x) для значений аргумента x, отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполяцией функций.

Различают два вида интерполяции:

1. глобальная – соединение всех точек f(x) единым интерполяционным полиномом;

2. локальная – соединение точек отрезками прямой (по двум точкам), отрезками параболы (по трем точкам).