1. Введение в численные методы. Теория погрешностей и машинная арифметика Понятие о вычислительном эксперименте

В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание, - вычислительный эксперимент, т.е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики.

На первом этапе формулируются основные законы, управляющие данным объектом исследования (I).

Физической модели в соответствие ставиться математическая модель (II), т.е. математическое описание физического процесса с помощью алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений.

Третий этап вычислительного эксперимента состоит в построении приближенного численного метода решения задачи, т.е. в выборе вычислительного алгоритма. Под вычислительным алгоритмом понимают последовательность арифметических и логических операций, при помощи которых находится приближенное численное решение математической задачи, сформулированной на первом этапе.

На четвертом этапе осуществляется проведение расчетов на ЭВМ.

Наконец, в качестве пятого этапа вычислительного эксперимента можно выделить анализ полученных численных результатов и последующее уточнение математической модели.

Рис. 2.1. Схема вычислительного эксперимента

Классификация погрешностей

При решении задачи на ЭВМ мы всегда получаем не точное решение исходной задачи, а некоторое приближенное решение. Можно выделить следующие виды погрешностей:

1. погрешности задачи;

2. погрешности метода;

3. остаточная погрешность;

4. начальная погрешность;

5. погрешность округления;

6. погрешность действий (неустранимые).

Элементы теории погрешностей

Абсолютная и относительная погрешности

Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного А и заменяющее последнее в вычислениях.

      -  A > a  – а - приближенное значение числа А по недостатку;

- A < a  – по избытку.

Определение 1. Абсолютной погрешностью  приближенного числа a называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом A и числом a, т.е.

(1.1)

1. число А  известно, тогда  вычисляется по формуле (1.1);

2. число А неизвестно, тогда  невозможно вычислить по формуле (1.1).

В этом случае полезно вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности   ввести ее оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность.

Определение 2. Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа.

Таким образом, если  – предельная абсолютная погрешность числа а, заменяющее точное А, то

                                                                                                   (1.2)

Отсюда следует, что точное число А заключено в границах

                                                                                            (1.3)

Следовательно,  есть приближенное число А  по недостатку,  – приближение числа А по избытку.

В этом случае для краткости пользуются записью

.

Заметим, что сформулированное выше понятие предельной абсолютной погрешности является весьма широким, а именно: под предельной абсолютной погрешностью числа  понимается любой представитель бесконечного множества неотрицательных чисел , удовлетворяющих неравенству (1.2). Отсюда логически вытекает, что всякое число, большее предельной абсолютной погрешности данного приближенного числа, также может быть названо предельной абсолютной погрешностью этого числа.

Практически удобно в качестве  выбирать возможно меньшее при данных обстоятельствах число, удовлетворяющее неравенству (1.2).

Точность данного приближенного числа не характеризуется его абсолютной погрешностью. Настоящим показателем точности результата измерения или вычисления является его относительная погрешность.

Определение 3. Относительной погрешностью  приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности Т этого числа к модулю соответствующего точного числа А, т.е.,

                                              , ( )                                                 (1.4)

Отсюда .

Так же как и для абсолютной погрешности, введем понятие предельной относительной погрешности.

Определение 4. Предельной относительной погрешностью  данного приближенного числа а называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа. По определению имеем:

                                                   ,                                                         (1.5)

т.е. , отсюда .

Таким образом, за предельную абсолютную погрешность числа а можно принять:

                                                .                                                    (1.6)

т.к. , то вместо формулы (1.6) часто пользуются формулой:

                                                   .                                                   ( )

 

Десятичная запись приближенных чисел

Известно, что всякое положительное число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби

                     (1.7)

 .

На практике преимущественно приходиться иметь дело с приближенными числами, представляющими собой конечные десятичные дроби

                        (1.8)

.   

Все сохраненные десятичные ( ) знаки называются  значащими цифрами приближенного числа b, причем возможно, что некоторые из них равны нулю.

 

Значащие цифры

Определение 5. Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа и служащие лишь для обозначения десятичных разрядов его, не причисляются к значащим цифрам.

 

Верные цифры

 

Верные цифры в узком смысле:

Определение 6. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой, считая слева направо.

Таким образом, если для приближенного числа a  (1.1), заменяют точное число A, известно, что

,

то, по определению, первые n цифр   - верные.

Верные цифры в широком смысле:

Определение 7. Число a является точным приближением числа A с n верными знаками в широком смысле, понимая под этим, что абсолютная погрешность  не превышает единицы десятичного разряда, выражаемого n-й значащей цифрой приближенного числа:

Первые n цифр   - верные.