Уравнения первого порядка

Будем считать, что искомая функция u зависит от времени t и одной пространственной переменной x. Тогда линейное уравнение переноса может быть записано в виде:

(13.6)

 Расчётная  область  при  решении  уравнения  (13.6)  может  быть  как  бесконечной,  так  и ограниченной. В первом случае, задавая начальные условия при t=0

(13.7)

получаем задачу Коши для полуплоскости . На практике обычно приходится решать уравнение переноса в некоторой ограниченной области (например, в прямоугольнике ). Начальное условие (13.7) в этом случае задаётся на отрезке l₁; граничное условие нужно задать при x=0, т.е. на отрезке l₂, поскольку a>0 возмущение распространяется вправо. Это условие записывается в виде

                                                                  (13.8)

значит, задача состоит в решении уравнения (13.6) с начальными и граничными условиями (13.7) и (13.8) в ограниченной области G:

.

 

Построим в области G равномерную прямоугольную сетку с помощью прямых  (i=0, 1, …, I) и  (j=0, 1, …, J). Вместо функции  будем рассматривать сеточные функции, значения которых в узлах (x_i, t_j) соответственно равны . Для построения разностной схемы нужно выбрать шаблон. Примем его в виде правого нижнего уголка.

При  этом  входящие  в  уравнение   (13.6)   производные   аппроксимируют  конечноразностными соотношениями с использованием односторонних разностей:

                                                                               (13.9)

Решая разностное уравнение относительно единственного неизвестного значения   на j+1 слое, получаем следующую схему:

                                            

    i=1,2, …, I и  j=0, 1, …, J-1.     (13.10)

 Полученная схема явная - т.е. значения сеточной функции в каждом узле верхнего слоя t=t_j+1 выражаются явно с помощью соотношения (13.10) через ранее найденные её значения на предыдущем слое.

Для начала счёта по схеме (13.10), т.е. для высчитывания сеточной функции на 1-ом слое, необходимы её значения на слое j=0. Они определяются начальными условиями (13.7), которые записываем для сеточной функции: , i=0, 1,2, …, I  (13.11)

Граничное условие (13.8) также записывается в сеточном виде:

                                                   j=0, 1, …, J.   (13.12)

Таким образом, решение исходной дифференциальной задачи (13.6) - (13.8) сводится к решению разностной задачи (13.10) - (13.12).

Найденное значение сеточной функции  принимаются в качестве значений искомой функции U в узлах сетки.

Схема условно устойчива; условие устойчивости имеет вид:

                                                                                                       (13.13)

Если a<0  условие (13.13) не выполняется, и схема (13.10) не сходится.

Можно построить сходящуюся схему и для случая a<0. В качестве шаблона возьмем левый нижний уголок:

 

                                              (13.14)

эта схема сходится если

                                                                                                         (13.15)

При построении явной разностной схемы (13.10) производная  в уравнении (13.6) аппроксимирована с помощью значений сеточной  функции на j-ом   слое;   в  результате   получилось  разностное уравнение (13.9), в котором использовано значение сеточной функции  лишь в одном узле верхнего слоя. Если производную  аппроксимировать на (j+1)-м слое (правый уголок), то получится неявная схема. Разностное уравнение.

       (13.16)

Разрешая   это   уравнение   относительно ,    приходим   к следующей схеме:

    ,                                                            (13.17)

Эта двухслойная трехточечная схема первого порядка точности. Она, безусловно, устойчива. Хотя формально данная схема строилась как неявная, практическая организация счёта по ней проводится так же, как и для явной схемы.

Эти разностные схемы решения уравнения линейного переноса называются схемами бегущего счёта. Они позволяют последовательно находить значения сеточной функции в узлах разной сетки.