9. Математическая обработка экспериментальных данных Элементы теории ошибок

 Изучая теорию интерполяции, вы познакомились с интерполяционными формулами, которые в точности воспроизводят значения данной функции в узлах интерполяции. Однако в ряде случаев выполнение этого условия затруднительно или даже нецелесообразно:

1. Если заданные величины х и у являются экспериментальными данными, то могут содержать в себе существенные ошибки, т.к. получены в результате измерений или наблюдений. Поэтому построение аппроксимирующего многочлена, воспроизводящего в   точности   заданное   значение   функции,   означало   бы   тщательное   копирование допущенных при измерениях ошибок.

2. Если имеются точные значения функции в некоторых точках, но число таких точек n весьма велико, то интерполяционный многочлен будет очень высокой степени.

3. Между узлами интерполяции значения интерполяционного многочлена могут сильно отклоняться от значений интерполируемой функции.

Элементы теории ошибок Случайные ошибки

 

Ошибки измерения делятся на две категории: случайные и систематические. К систематическим ошибкам относятся ошибки, искажающие результат в определенную сторону и имеющие закономерный характер. Сюда относятся инструментальные ошибки, происходящие от несовершенства инструмента, ошибки, вызванные методикой постановки эксперимента и некоторые другие. Так, например, измерение температуры термометром со смещенной нулевой точкой будет давать систематически неправильные результаты. Поскольку влияние таких ошибок на результаты наблюдения может быть более или менее точно заранее установлено, а значит и устранено, мы будем считать имеющиеся в нашем распоряжении результаты опыта свободными от систематических ошибок. Необходимо, впрочем, заметить, что фактическое исключение систематических ошибок часто является непростой задачей. Тем не менее, мы будем считать, что такое исключение уже сделано.

Оставшиеся ошибки составляют категорию случайных ошибок, рассмотрением которых мы и будем заниматься в дальнейшем. Предполагается, что случайные ошибки подчинены следующим условиям:

1)  Равные по абсолютной величине ошибки равновероятны.

2)  Малые по абсолютной величине ошибки более вероятны, нежели большие.

3) Вероятность появления ошибок, превосходящих по абсолютной величине некоторое определенное число,  практически равна  нулю.  Это число  обычно называют пределом возможных ошибок и обозначают через Е.

Пусть - функция распределения ошибок, т.е. вероятность того, что ошибка  не превосходит величины ,

.

Можно считать, что ошибки представляют непрерывную, случайную величину. Тогда вероятность того, что ошибка примет значение, заключенное между  и , с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем , выразится формулой ,

где   - плотность распределения ошибок.

 

Формула Гаусса для распределения вероятностей случайных ошибок

Вообще говоря, случайные ошибки измерений могут иметь различные законы распределения. Однако практически в подавляющем большинстве случаев принимается, что случайная ошибка распределена по нормальному закону.

Это обстоятельство может быть строго доказано, если, кроме сделанных предположений о характере случайных ошибок измерений, принять еще один постулат.

Допустим, что одним и тем же инструментом с одинаковой тщательностью произведено несколько измерений одной и той же физической величины (например, длины стержня при определенной температуре). Результатом этих измерений является некоторый ряд чисел, располагая которым мы хотим определить наиболее вероятное значение измеряемой величины, т.е. то ее значение, при котором плотность распределения достигает своего максимума.

Упомянутый постулат называется постулатом Гаусса и состоит в том, что наиболее вероятным значением искомой величины является среднее арифметическое наблюденных значений.

 

Принцип наименьших квадратов

Пусть результатами измерений некоторой величины A являются числа

.                                                        (9.1)

Будем предполагать, что все измерения произведены с одинаковой тщательностью, т.е. являются равноточными, и что случайные ошибки распределены по закону Гаусса.

Рассмотрим гипотезы, состоящие в том, что измеряемая величина равна x, а мера точности произведенных измерений равна h.

При сделанных допущениях о значениях x и h, а также, в силу теоремы умножения вероятностей, вероятность получения ряда измерений (9.1), т.е. вероятность получения ошибок, которые одновременно попадают в интервалы   для i=1, 2,…, n равна

 или, пользуясь выражением для плотности нормального распределения ,

                                    (9.2)

Так как до испытаний все значения x и h следует считать равновероятными, то вследствие теоремы Бейеса вероятность самой гипотезы пропорциональна (9.2), т. е. равна

                                      (9.3)

где G — постоянный множитель пропорциональности, куда включены также не зависящие от  h  и  x  множители и .

Отметим, что при любой  гипотезе относительно h величина (9.3) будет наибольшей, если x выбран так, что сумма

будет наименьшей. Таким образом, исходя из того, что ошибки распределены по закону Гаусса, мы пришли к следующему выводу.

Наивероятнейшим значением, которое можно получить из ряда измерений одинаковой точности, является такое значение,  для которого сумма квадратов разностей этого значения и результатов измерений является наименьшей.

10. Математическая обработка

экспериментальных данных.

Способ наименьших квадратов

 

Способ наименьших квадратов

Абсолютно точные измерения чаще всего невозможны. Для того чтобы исключить влияние ошибок, производится большое число измерений. Каждое измерение дает нам уравнение, связывающее неизвестные коэффициенты. При большом числе измерений мы приходим, следовательно, к системе, число уравнений в которой значительно больше, нежели число неизвестных. Здесь ставится задача отыскания наиболее вероятных значений коэффициентов, которые, вообще говоря, не будут точно удовле­творять ни одному из уравнений системы. Эту задачу можно сформулировать в более общем виде. Пусть дана функция

                                                (10.1)

независимой переменной x и m+1 параметра . Эти параметры постоянны, но заранее неизвестны и подлежат определению. Для их отыскания производится ряд измерений величин x и y. Подставляя их в равенство (10.1), мы получаем уравнения между параметрами , вида

                      i=1, 2, …, n              (10.2)

где x_i и y_i  - соответствующие друг другу измеренные значения, а n - число измерений. Если бы значения x и y находились точно, то для отыскания m+1 параметра достаточно было бы произвести m+1 измерение.

На самом деле, значения x и y содержат ошибки, и никакие m+1 измерений не позволят определить истинные значения параметров. Поэтому обычно производится большее число измерений (n > m+1), в результате чего число уравнений (10.2) будет больше, чем число неиз­вестных параметров. В этом случае система (10.2) будет несовместной, т.е. точные решения каких-либо m+1 из уравнений системы могут не удовлетворять остальным уравнениям. Требуется найти наиболее вероятные значения неизвестных параметров. Эти вероятные значения будут тем более близки к истинным, чем больше число наблюдений.

 Так как уравнения (10.2) удовлетворяются неточно, то будем иметь

                 i=1, 2, …, n                (10.3)

где - отклонения измеренных значений y_i, от вычисленных по формуле (10.1). Принцип    наименьших    квадратов    утверждает,    что    наивероятнейшими    значениями параметров будут такие, при которых сумма квадратов отклонений , будет наименьшей, т.е.

                           (10.4)

Функцию S называют функцией невязки.