2. Теория погрешностей и машинная арифметика Погрешности арифметических действий Погрешность функции

 

 Теорема. Предельная абсолютная погрешность функции y=f(x) равна произведению абсолютной величины ее производной на ее абсолютную погрешность  аргумента.

/

Предельная относительная погрешность функции:

,

 

Пусть, например,   . Тогда

,

 

т.е. предельная относительная погрешность степени равна предельной относительной погрешности основания, умноженной на абсолютную величину показателя степени.

Рассмотрим теперь вопрос об оценке предельной абсолютной погрешности функции   двух независимых переменных:

                                                                                    (2.1)

предельная относительная погрешность

.

Ясно, что аналогичное равенство имеет место и для дифференцируемой  функции любого большего числа аргументов.

Погрешности арифметических действий

 

1. Пусть u = x + y + z + … + t. Тогда

.

Следовательно, предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.

При установлении предельной относительной погрешности суммы надо различать два случая:

a) все слагаемые имеют одинаковые знаки. В первом случае, считая для простоты все слагаемые положительными, имеем:

,

т.е., относительная погрешность суммы слагаемых одного знака заключена между наименьшей и наибольшей относительными погрешностями слагаемых.

б) слагаемые имеют разные знаки. Пусть x > 0, y > 0 и u = x - y. Тогда (сохраняя прежние обозначения) будем иметь:

.

 

2. Положим u = xyz    .

Формула позволяет определить предельную абсолютную погрешность

.

Отсюда

,

 

т.е., предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

3. Положим, наконец, , . Формула (2.1) позволяет определить предельную абсолютную погрешность.

Отсюда

,

т.е., предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.

Итак, для оценки погрешности мы получили следующие правила:

1) При сложении и вычитании абсолютные погрешности складываются.

2) При умножении и делении относительные погрешности складываются; при возведении в степень относительные погрешности умножаются на абсолютную величину показателя степени.

3) При отыскании значения функции абсолютная погрешность функции равна произведению абсолютной погрешности аргумента на абсолютную величину производной.

 

Требования, предъявляемые к вычислительному алгоритму

1. Требование точности.

2. Требование реализуемости.

3. Требование экономичности.

4. Требования отсутствия аварийной остановки ЭВМ в процессе вычислений.

 

Результаты вычислительного эксперимента:

Машинная бесконечность .

Машинный нуль .

Машинное эпсилон .

 

Сложение чисел различной абсолютной точности

1) выделить числа, десятичная запись которых обрывается ранее других, и оставить их без изменения;

2) остальные числа округлить по образцу выделенных, сохраняя один или два запасных десятичных знака;

3) произвести сложение данных чисел, учитывая все сохраненные знаки;

4) полученный результат округлить на один знак.