Аппроксимация в виде линейной комбинации функций

Часто функцию f(x) выбирают в виде линейной комбинации подходящих функций

                                                          (10.5)

Можно выбрать любую функцию f(x), лишь бы она была линейной относительно своих коэффициентов. Если предполагается, что данные могли бы быть смоделированы в виде линейной комбинации произвольных функций (10.1), следует использовать функцию linfit, чтобы вычислить коэффициенты a_i. Это так называемая аппроксимация линейной комбинацией функций (рис. 10.1).

Рис. 10.1. Использование функции linfit для нахождения коэффициентов в линейной комбинации функций

Полиномиальная аппроксимация в Mathcad

Эти функции полезны, когда есть набор измеренных соответствующих значений y и x, между которыми ожидается полиномиальная зависимость, и нужно приблизить эти значения с помощью полинома наилучшим, в определённом смысле, образом.

Используйте regress, когда нужно использовать единственный полином, чтобы приблизить все данные. Функция regress допускает использование полинома любого порядка. Однако на практике не следует использовать степень полинома выше n=4 (рис. 10.2).

Рис. 10.2. Аппроксимация полиномами различной степени

С помощью функции regress

Так как regress пытается приблизить все точки данных, используя один полином, это не даст хороший результат, когда данные не связаны единой полиномиальной зависимостью. Например, предположим, ожидается, что y_i зависят линейно от x в диапазоне от x₁ до x₁₀ и ве­дут себя подобно кубическому полиному в диапазоне от x₁₁ до x₂₀. Если используется regress с n=3, можно получить хорошее приближение для второй половины, но плохое - для первой. Функция loess облегчает эти проблемы, выполняя локальное приближение. Вместо создания одного полинома, как это делает regress, loess создаёт различные полиномы второго порядка в зависимости от расположения на кривой.

Она делает это, исследуя данные в малой окрестности точки, представляющей интерес. Аргумент span управляет размером этой окрестности. По мере того, как диапазон становится большим, loess становится эквивалентным regress с n=2. Значение по умолчанию - span = 0,75.

Рис. 10.3 показывает, как span  влияет на приближение, выполненное функцией loess .

Рис. 10.3. Влияние различных значений span на функцию loess

 

11. Численное интегрирование и дифференцирование Численное интегрирование

 

Если функция f(x) непрерывна на определенном отрезке [a; b] и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b может быть вычислен по формуле Ньютона - Лейбница

(11.1)

где .

Однако во многих случаях первообразная функции F(x) не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной; вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле (11.1) может быть затруднительным или даже практически не выполнимым. Кроме того, на практике подынтегральная функция f(x) часто задается таблично и тогда само понятие первообразной теряет смысл. Аналогичные вопросы возникают при вычислении кратных интегралов. Поэтому большое значение имеют приближенные и в первую очередь численные методы вычисления определенных интегралов.

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Пусть на отрезке [a; b] задана функция y=f(x). С помощью точек  разобьем [a;b]  на n элементарных отрезков , причем i=1, 2,…,n. На каждом из этих отрезков выберем произвольную точку  и найдем произведение S_i значения функции в этой точке  на длину элементарного отрезка :

Рис. 11.1

                                                                         (11.2)

Составим сумму таких произведений:

(11.3)

Сумма S_n  называется    интегральной    суммой.    Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличение числа точек разбиения; при этом длина наибольшего из этих отрезков стремиться к 0:

                                                (11.4)

Теорема. (О существовании определенного интеграла). Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b], ни от выбора точек .

Геометрический смысл введенных понятий для случая f(x)>0 проиллюстрирован на рис. 11.1. Абсциссами точек M_i является значение , ординатами - значение . Выражение (11.2) при i=1, 2,…,n  описывает площади элементарных прямоугольников, интегральная сумма (11.3) -площадь ступенчатой фигуры, образуемой этими прямоугольниками. При неограниченном увеличении числа точек деления и стремлении к нулю всех элементов  верхняя граница фигуры переходит в линию y=f(x). Площадь ломаной фигуры, которую называют криволинейной трапецией, равна определенному интегралу (11.4).

Методы численного интегрирования основаны на аппроксимации подынтегральной функции с помощью интерполяционных многочленов, что позволяет приближенно заменить определенный интеграл интегральной суммой (11.3):

  (11.5)

где x - узлы интерполяции, A - коэффициенты, R - остаточный член, погрешность метода.

В   зависимости   от   способа   (11.5)   вычисления   получаются   разные   методы   численного интегрирования.

Следует   отметить,   что   к   вычислению   определенного   интеграла   сводятся   многие практические задачи: вычисление площади фигур, определение работы переменной силы.