Глобальная интерполяция

Параболическая интерполяция

Классический подход основывается на требовании строгого совпадения значений f(x) и  в точках x_i  (i=0, 1, …, n) (6.3).

Будем искать интерполяционную функцию  в виде полинома степени n (6.4).

Этот полином имеет n+1 коэффициент. Естественно предположить, что n+1  условий (6.3), наложенные на полином (6.4), позволяют однозначно определить его коэффициенты. Действительно, требуя для  выполнения условий (6.3), получаем систему n+1  уравнений с  n+1  неизвестными:

,         (i=0, 1, …, n)                                                (6.5)

Решая эту систему относительно неизвестных , мы получим аналитическое выражение полинома (6.4). Система (6.5) всегда имеет единственное решение, т.к. ее определитель

,

 

известный в алгебре как определитель Вандермонда, отличен от нуля. Отсюда следует, что интерполяционный полином  для  функции f(x), заданной таблично, существует и единственен.

 

Интерполяционная формула Лагранжа

Пусть на отрезке[a; b] даны n+1 различных значений аргумента:  и известны для функций y=f(x) соответствующие значения выражений (6.1).

Требуется построить полином L_n (x) степени не выше n, имеющий в заданных узлах  те же значения, что и функция f(x), т.е. такой, что

L_n (x_i)=y_i , (i=0, 1, …, n)

Будем искать L_n (x) в виде

                                                 (6.6)

где  - полином степени n, причем

                                                      (6.7)

 Очевидно, что требование (6.7) с учетом (6.6) обеспечивает выполнение условий (6.3).

Так как искомый полином  обращает в нуль в n точках , то он имеет вид

                                (6.8)

Где  - постоянный коэффициент. Полагая в формуле (6.8) x=x_i и учитывая, что , получим:

.

Отсюда

.

Заметим, что ни один из множителей не равен нулю. Подставляя C_i в (6.8), а также с учетом (6.6) окончательно имеем:

.                   (6.9)

 

Это и есть интерполяционная формула Лагранжа.

7. Интерполяция функций Интерполяционные формулы Ньютона

 

До сих пор не делалось никаких предположений о заданных значениях аргумента, которые могли     быть     совершенно     произвольными. 

Предположим     дополнительно,     что рассматриваемые значения аргумента являются равноотстоящими, т.е. образуют арифметическую прогрессию.

В этом случае шаг таблицы   (i=0, 1, 2, …,n) является величиной постоянной. Для таких таблиц построение интерполяционных формул (как впрочем, и вычисление по этим формулам) заметно упрощается.

Прежде чем перейти к рассмотрению этого вопроса, познакомимся с понятием конечных разностей.

 

Конечные разности

Пусть функция задана таблицей с постоянным шагом. Разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции называют конечными разностями первого порядка:

, (i=0, 1, 2, …, n).

Из конечных разностей первого порядка образуются конечные разности второго порядка:

, (i=0, 1, 2, …, n).

Продолжая    этот    процесс, можно по заданной таблично функции составить таблицу конечных разностей (табл. 7.1).

Таблица 7.1

Таблица конечных разностей

Конечные разности любого порядка могут быть представлены  через  значения функции.

Действительно,   для разностей первого порядка это следует из определения.  Для разностей второго порядка имеем:

Методом математической индукции можно доказать, что:

.                                  (7.1)

 

Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть для функции, заданной таблично с постоянным шагом, составлена таблица конечных разностей. Будем искать интерполяционный полином в виде:

       (7.2)

Это полином степени n. Значение коэффициентов  найдем из условия совпадения значений исходной функции и полинома  в узлах интерполяции. Полагая  , из (7.2) находим:

.

Далее, придавая x значение x₁  и x₂  последовательно, получаем:

.

Найдем коэффициенты :

Аналогично можно найти и другие коэффициенты. Общая формула имеет вид:

k=0, 1, 2, …, n

 

Подставляя эти выражения в формулу (7.2), получим следующий вид интерполяционного полинома:

.  (7.3)

 

Практически формула (7.3) применяется в несколько ином виде. Положим

, т.е. . Тогда

,  и т.д.

 

Окончательно имеем:

      (7.4)

 

Полученное выражение называется первой интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования вперед.

Вторая интерполяционная формула Ньютона

Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае:

, т.е. t < 0 и интерполяционную формулу Ньютона можно получить в виде:

     (7.5)

 Формулу (7.5) называют    второй    интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования назад.

Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функции, т.е. для нахождения значений функции y для значений аргументов x, лежащих вне пределов таблицы. Если x < x₀ и x близко к x₀, то выгодно применять первую интерполяционную формулу Ньютона, причем тогда .

Если x < x_n и x близко к x_n, то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона, причем .

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперед и экстраполирования назад, а вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот - для интерполирования назад и экстраполирования вперед.

Операция экстраполирования менее точна, чем операция интерполяции в узком смысле слова.