13. Решение дифференциальных уравнений в частных производных Уравнения первого порядка

 

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых величина зависит от нескольких переменных. В этом случае решаемые уравнения содержат частные производные и называются дифференциальными уравнениями.

Полная математическая постановка задачи наряду с дифференциальными уравнениями содержит также некоторые дополнительные условия. Если решение ищется в ограниченной области, то задаются условия на её границе, называемые граничными (краевыми) условиями. Такие задачи называются краевыми задачами для уравнений с частными производными. Если одной из независимых переменных в рассматриваемой задаче является время t, то задаются некоторые условия (например, значение искомых параметров) в начальный момент t₀, называется начальными условиями. Задача, которая состоит в решении уравнения при заданных начальных условиях, называется задачей Коши для уравнения с частными производными. При этом задача решается в неограниченном пространстве и граничные условия не задаются. Задачи, при формулировке которых ставятся граничные и начальные условия, называются не стационарными (или смешенными) краевыми задачами. Получающиеся при этом решения меняются с течением времени.

В дальнейшем будем рассматривать лишь корректно поставленные задачи, т.е. задачи, решение которых существует и единственно в некотором классе начальных и граничных условий и непрерывно зависит как от этих условий, так и от коэффициентов уравнений. Решение не корректно поставленных задач выходит за рамки данного курса. Решение простейших задач для уравнений с частными производными в ряде случаев может быть проведено аналитическими методами, рассматриваемыми в соответствующих разделах математики. Это относится в основном к некоторым уравнениям первого порядка, а также к уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами. Аналитические методы полезны не только тем, что дают возможность получить общие решения, которые могут быть использованы многократно. Они имеют также огромное значение для построения численных методов. Проверка разностных схем на известных решениях простейших уравнений позволяет оценивать эти схемы, выяснить их сильные и слабые места.

К сожалению, очень многие из таких уравнений не имеют аналитического решения, и чтобы решить их, приходится прибегать к численным методам. Если для решения обыкновенных дифференциальных уравнений существует множество различных методов, то для решения дифференциальных уравнений в частных производных приходится останавливаться на широком распространённом разностном методе.

 

Типы дифференциальных уравнений в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных классифицируют либо в зависимости от математической природы - эллиптические, параболические и т.п., - либо в зависимости от физического смысла решаемых с их помощью задач - уравнение диффузии, волновое и т.п.

Чтобы    пользоваться    математической   литературой    и    литературой    по    прикладным дисциплинам, инженер должен быть знаком с обеими этими классификациями.

Мы будем рассматривать лишь достаточно узкий класс задач для уравнений первого и второго   порядков,   линейных   относительно   производных.    Напомним,   что   порядок дифференцирования уравнения определяется порядком старшей производной.

В случае 2-х независимых переменных X и Y эти уравнения можно записать в виде:

                                                 (13.1)

 здесь u=u(x,y) искомая функция. Коэффициенты a, b, c, d, e, f и правая часть g, вообще говоря, могут зависеть от переменных x, y и искомой функции u. В связи с этим уравнение (13.1) может быть:

1. с постоянными коэффициентами;

2. линейным, если g линейно зависит от u, а коэффициенты зависят только от x, y;

3. квазилинейным, если коэффициенты зависят от u, это самый общий вид (13.1).

Существуют   различные    виды   уравнений    в    зависимости    от   соотношения между коэффициентами. Рассмотрим некоторые из них. При a=b=c=f=0,  получается уравнение первого порядка вида:

                                                                                                     (13.2)

называемое уравнение переноса. На практике в этом уравнении одной из переменных может быть время t. Тогда его называют также эволюционным уравнением.

Если хотя бы один из коэффициентов a, b, c отличен от нуля, то (13.1) является уравнением второго порядка. В зависимости от знака дискриминанта  оно может принадлежать к одному из трёх типов:

1.    гиперболическому (D>0);

2.    параболическому (D=0);

3.    эллиптическому (D<0).

 Приведём примеры уравнений с частными производными, которые будем рассматривать:

1.    Волновое уравнение (гиперболическое)

                                                                                                     (13.3)

 К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, спектр колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д.

2. Уравнение теплопроводимости, или уравнение Фурье (параболическое)

                                                                     (13.4)

 Процессы распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде (направление фильтрации нефти и газа в подземных песчаниках), некоторые вопросы теории вероятностей.

 3. Уравнение Лапласа (эллиптическое)

                                                                                                    (13.5)

 

 

Метод конечных разностей

В основе решения уравнений в частных производных методом конечных разностей лежит конечноразностная аппроксимация производных. Аппроксимация осуществляется в 3 этапа:

1. Построение в области решения равномерной сетки, содержащей n узловых точек. Конфигурация сетки должна соответствовать характеру задачи и граничным условиям.

2. Использование    дифференциальных    уравнений    в частных  производных  для  получения разностного выражения, описывающего функциональные связи между соседними узлами  сетки. Разностное уравнение   записывают   для   всех   узлов   сетки   и получают в результате систему n уравнении с n неизвестными.

3. Решение полученной системы n  уравнений с n неизвестными с целью получения приближённого решения в узлах сетки.

Рис. 13.1. Двумерная сетка

На первый взгляд, эта процедура, состоящая из 3-х этапов, может показаться простой и прямо ведущей к решению, однако на самом деле это не так. Широкое разнообразие типов и размеров сеток, видов уравнений в частных производных, возможных конечно разностных аппроксимаций этих уравнений и методов решения получаемых систем уравнений делают задачу численного решения уравнения в частных производных исключительно многогранным и интересным исследованием. Рассмотрим теперь все 3 этапа решения.

 

Сетки, применяемые при представлении дифференциальных уравнений частных производных в конечно разностной форме

 

Как уже отмечалось, построение разностных схем решения уравнения с частными производными основано на введении сетки в рассматриваемом пространстве. Узлы сетки являются расчётными точками.

Все ранее приведённые уравнения в частных производных были записаны в декартовой системе координат, однако иногда бывает удобнее пользоваться другими системами координат, обладающими специальными геометрическими свойствами и учитывающими физические особенности рассматриваемой задачи. Чаще всего применяется декартова, цилиндрическая и сферическая системы координат.

 

Прямоугольная сетка

В прямоугольной области G(x,y) с границей Г стороны прямоугольника  и  делятся на элементарные отрезки точками  (i=0, 1, …, I) и  (j=0, 1, …, J). Через эти точки проводятся два семейства координатных прямых x=const и y=const , образующих сетку с прямоугольной ячейкой. Любой узел этой сетки, номер которого (j, i), определяется координатами (x_i, y_i).

Узлы сетки, лежащие на границе Г области G называются граничными узлами. Все остальные узлы внутренние. Поскольку начальные и граничные условия при постановке задач формулируются на границе расчётной области, то их можно считать заданными в граничных узлах сетки.

Прямоугольные сетки наиболее удобны при организации вычислительного алгоритма. Слоем называется множество точек, имеющих одну временную координату. Приходится решать задачи в различных системах координат.

Если расчётную область удобно задать в полярных координатах , то в ней сетка вводится с шагом  и  соответственно по радиус-вектору и полярному углу.

 

Также используется прямоугольная скошенная сетка.

Иногда и в простой расчётной области вводят не равномерную сетку. В частности, в ряде случаев необходимо проводить сгущение узлов для более точного расчёта в некоторых частях рассматриваемой области. При этом области сгущения известны заранее, или определяются в процессе решения задачи.