Б. Друга стандартна границя

Розглянемо наступну числову послідовність:

.

Наближені значення (до 0.001) деяких членів послідовності дає таблиця 4

Table 4.

	10	50	100	150	1000	2000	3000	10000
	2.594	2.692	2.705	2.709	2.717	2.717	2.717	2.718

Ми доходимо таких висновків (їх можна також довести строго): a) послі-довність зростає; b) вона обмежена зверху (наприклад, числом 3). Тому (за вла-стивістю 6 загальних властивостей границь) вона має границю, яку позначають літерою e (число Ейлера; його наближене значення ми будемо в змозі знайти пі-зніше, а зараз візьмемо до уваги, що e = 2.718281828459045…). Таким чином, ми можемо написати

.

Вірним є і такий більш загальний результат

,

де x може прямувати як до , так і до . Цей же результат можна записати і в дещо іншій формі:

.

Ми запишемо всі три формули разом і назвемо їх сукупність другою стандарт-ною границею

. ( 2 )

Зауваження. Друга стандартна границя дає нам ще один тип невизначе-ності, а саме

.

Така невизначеність, наприклад, виникає, якщо треба знайти границю степеня, основа якого прямує до 1, а показник – до нескінченності. В такому випадку ви-користання другої стандартної границі стає нам в великій пригоді.

Приклад. Знайти границю .

Розв"язання дається наступним ланцюжком перетворень.

.

З другої стандартної границі можна вивести деякі важливі наслідки.

1. (Третя стандартна границя) ( 3 )

■ ■

Законність переходу до границі під знаком логарифма буде обгрунтована піз-ніше.

2. (Четверта стандартна границя) ( 4 )

■ .■

3. З формул (3), (4) випливає, що при функції є нм, які є еквівалентними своєму арґументу x,

 ,  (якщо ).

4. .

5. .

6. .

Як остаточний результат складемо таблицю еквівалентних нм

Наведемо кілька прикладів з використанням таблиці еквівалентних нес-кінченно малих.

Приклад. Знайти границю

.

= =

Приклад. Знайти границю

.

Оскільки є нм при , всі чотири мно-жники дробу під знаком границі є також нм. За таблицею еквівалентних нм послідовно маємо

  ,   ,   ,  ,

а отже

Приклад. Знайти границю

.

Відразу помічаємо, що

  .

Що стосується чисельника, перетворимо його наступним чином (з використан-ням так званої основної логарифмічної тотожності):

.

Перший з множників прямує до 1, другий

 .

Отже,

1.1.5. Відсотки в інвестиціях

Нехай

- кількість грошей, яку мають в момент часу t;

- початковий капітал (в момент часу );

- прибуток, який отримують в момент часу t;

- відсоток прибутку, віднесений до одиниці часу.

Нехай ми робимо інвестицію всього нашого початкового капіталу P до моменту часу T. В цей момент T ми матимемо наступну кількість грошей (суму початкового капіталу P і прибутку в момент часу T)

. ( 5 )

Це є формула простих відсотків.

Припустимо тепер, що ми здійснюємо n інвестицій всіх наших грошей протягом часу T (в моменти часу 0, , ,…, ).

В момент часу ми матимемо (суму початкового капіталу P і прибутку в момент )

В момент часу ми матимемо (суму інвестованого капіталу і прибутку від момента до момента )

.

В момент часу матимемо

.

Продовжуючи міркувати таким же чином, знаходимо, що в момент часу будемо остаточно мати

( 6 )

Формула (6) називається формулою складних відсотків.

Припустимо, нарешті, що протягом часу кількість інвестицій необмежено зростає, . В цьому випадку остаточна кількість грошей в момент часу T на підставі другої стандартної границі дорівнюватиме

,

( 7 )

Формула (7) називається формулою неперервних відсотків. Вона дає остаточну кількість отриманих нами грошей в момент часу T за умови, що ми здійснюємо інвестиції неперервно.