- •Міністерство освіти і науки україни донецький національний технічний університет Косолапов ю.Ф. Математичний аналіз першого курсу частини 1 - 2
- •Донецьк 2009
- •Частина перша: вступ до аналізу. Диференціальне числення та його застосування математичний аналіз
- •Підручники
- •Збірники задач
- •1.1.2. Границя. Нескінченно малі і великі а. Границя функції в точці
- •Б. Однобічні границі функції однієї змінної в точці
- •В. Границя числової послідовності
- •Г. Границя функції на плюс або мінус нескінченності
- •Д. Нескінченно малі (нм)
- •Е. Зв"язок між границями функцій і нескінченно малими
- •Є. Нескінченно великі (нв)
- •Ж. Співвідношення між нескінченно великими (нв) і нескінчен-но малими (нм)
- •1.1.3. Властивості границь
- •А. Загальні властивості границь
- •Б. Властивості нескінченно малих
- •В. “Арифметичні” властивості границь
- •Г. Властивості нескінченно великих
- •1.1.4.Стандартні границі а. Перша стандартна границя
- •Б. Друга стандартна границя
- •1. (Третя стандартна границя) ( 3 )
- •2. (Четверта стандартна границя) ( 4 )
- •1.1.5. Відсотки в інвестиціях
- •1.2. Неперервність функцій
- •1.2.1. Неперервність функції в точці а. Основні означення
- •Б. Властивості неперервних функцій
- •В. Точки розриву
- •1.2.2. Властивості функції, неперервної на відрізку або в замкненій обмеженій області
- •1.2.3. Метод інтервалів та його узагальнення
- •2. Диференціальне числення
- •2.1.1. Задачі, які ведуть до поняття похідної а. Швидкість зміни функції
- •Б. Продуктивність праці
- •В. Дотична до кривої
- •2.1.2. Похідна і частинні похідні а. Похідна функції однієї змінної
- •Б. Частинні похідні функції декількох змінних
- •2.1.3. Похідні основних елементарних функцій
- •2.1.4. Диференційовність і неперервність
- •2.1.5. Похідні суми, різниці, добутку, частки
- •1. (Похідна суми і різниці).
- •2. (Похідна добутку).
- •3. (Похідна частки).
- •2.2. Техніка диференціювання
- •2.2.1. Похідна складеної функції
- •2.2.2. Диференціювання неявної, оберненої та параметрично заданої функцій а. Випадок неявної функції
- •Б. Випадок оберненої функції
- •В. Випадок функції, заданої параметрично
- •2.2.3. Похідні вищих порядків
- •2.2.4. Диференціал
- •2.2.5. Похідна за напрямом. Ґрадієнт
- •2.2.6. Похідні в економіці. Еластичність а. Темп зміни функції
- •Б. Граничні величини
- •В. Еластичність функції
- •Властивості еластичності
- •2.3. Основні теореми диференціального числення функцій однієї змінної
- •2.3.1. Теореми Ферма і Ролля
- •2.3.2. Теореми Лагранжа і Коші
- •2.3.3. Правило Лопіталя для розкриття невизначеностей
- •А. Невизначеності типів
- •Б. Деякі інші типи невизначеностей
- •2.3.4. Формули Тейлора і Маклорена а. Формули Тейлора і Маклорена для многочлена
- •Б. Розвинення бінома (формула бінома Ньютона)
- •В. Формули Тейлора і Маклорена для довільної функції однієї змінної
- •Г. Формула Тейлора для функції декількох змінних
- •1. Вступ до математичного аналізу 5
- •1.1. Границя функції 5
- •1.2. Неперервність функцій 43
- •2. Диференціальне числення 60
- •2.2. Техніка диференціювання 71
- •2.3. Основні теореми диференціального числення функцій однієї змінної 97
Г. Властивості нескінченно великих
1. Якщо , то .
■Нехай, наприклад,
.
Тоді за означенням нв, які прямують до ,
.■
В символічному запису властивість має вигляд
.
2. Якщо , то .
В символічному запису
.
Зауваження. Ситуації, виражені символами,
або ,
належать до невизначеностей і потребують спеціального розгляду.
нв·вн =нв, тобто добуток двох нв є нв. Символічно
.
Зауваження. Частка двох нв дає нам невизначеність типу
.
4. Нехай f (x), g (x) – дві функції, перша з яких є нв при , а друга має ненульове значення або ненульову границю в точці ( або ж ). Тоді добуток f (x)·g (x) цих функцій є нв при .
Аналогічна властивість є справедливою і для іншіх типів граничного пе-реходу. Її символічний запис
, якщо .
Зауваження. Якщо ж , отримуємо невизначеність типу
.
Зауваження. Зберемо до купи всі вищезгадані типи невизначеностей:
, , , , .
Нижче до них приєднаються ще декілька типів.
Приклад. Знайти границю
Спочатку проаналізуємо умову.
Функції є нм при , а тому дроби
.
є нв. Помножаючи їх, відповідно, на тричлен , який має в точці значення , і на , отримаємо функції, які фігурують в прикладі в дуж-ках і які на підставі властивості 4 є нв при . Помічаючи далі, що обидві функції мають в точці одні й ті ж ліву і праву границі ( і відповід-но), доходимо висновку, що ми маємо справу з невизначеністю типу
.
Для її розкриття розпочнімо з зведення дробів до спільного знаменника, а далі діятимемо за ситуацією.
.
Приклад. Многочлен n-го степеня
,
при є нв, причому еквівалентною своєму старшому члену .
■ Виносячи за дужки, отримуємо добуток
нескінченно великої і функції, яка при має скінченну ненульову гра-ницю . Тому цей добуток є нв при . Далі маємо
. ■
Приклад. Обчислити границю
.
Оскільки тут
, ,
маємо
1.1.4.Стандартні границі а. Перша стандартна границя
Першою стандартною називається така границя
( 1 )
■Використовуючи тригонометричний круг, ми зу-пинимось на випадку (рис. 14). Знаходячи пло-щі трикутників AOC, AOB та кругового Рис. 14 сектора OAmC, ми бачимо, що
.
Звідси
,
або
.
Ця подвійна нерівність залишається вірною і при .
Оскільки , ми от-римуємо результат (1) на підставі тео- Рис. 15 реми про проміжну функцію (теореми про двох міліціонерів).■
Графік функції
зображено на рис.15 Наслідки.
1. .
Доведімо третю з цих границь. Решту доведіть самостійно.
■ ■
2. При функції є нескінченно малими (нм), еквівалентними своєму арґументу x:
x, x, x, x (якщо ) .
Приклад. За властивістю 3 “арифметичних” властивостей границь
Приклад. Знайти границю.
.
Оскільки (на підставі формул зведення)
,
ми маємо розкрити тут невизначеність типу . За “арифметичними” влас-тивостями границь (з використанням формули про різницю кубів двох чисел, яка дорівнює добутку їх різниці і неповного квадрата їх суми)
,
оскільки
.
Тепер введімо заміну змінної звідки
.
Таким чином,
Тут для фіксації еквівалентності ми використали позначення , бо в ре-дакторі формул на ПК символ "" відсутній.