- •Міністерство освіти і науки україни донецький національний технічний університет Косолапов ю.Ф. Математичний аналіз першого курсу частини 1 - 2
- •Донецьк 2009
- •Частина перша: вступ до аналізу. Диференціальне числення та його застосування математичний аналіз
- •Підручники
- •Збірники задач
- •1.1.2. Границя. Нескінченно малі і великі а. Границя функції в точці
- •Б. Однобічні границі функції однієї змінної в точці
- •В. Границя числової послідовності
- •Г. Границя функції на плюс або мінус нескінченності
- •Д. Нескінченно малі (нм)
- •Е. Зв"язок між границями функцій і нескінченно малими
- •Є. Нескінченно великі (нв)
- •Ж. Співвідношення між нескінченно великими (нв) і нескінчен-но малими (нм)
- •1.1.3. Властивості границь
- •А. Загальні властивості границь
- •Б. Властивості нескінченно малих
- •В. “Арифметичні” властивості границь
- •Г. Властивості нескінченно великих
- •1.1.4.Стандартні границі а. Перша стандартна границя
- •Б. Друга стандартна границя
- •1. (Третя стандартна границя) ( 3 )
- •2. (Четверта стандартна границя) ( 4 )
- •1.1.5. Відсотки в інвестиціях
- •1.2. Неперервність функцій
- •1.2.1. Неперервність функції в точці а. Основні означення
- •Б. Властивості неперервних функцій
- •В. Точки розриву
- •1.2.2. Властивості функції, неперервної на відрізку або в замкненій обмеженій області
- •1.2.3. Метод інтервалів та його узагальнення
- •2. Диференціальне числення
- •2.1.1. Задачі, які ведуть до поняття похідної а. Швидкість зміни функції
- •Б. Продуктивність праці
- •В. Дотична до кривої
- •2.1.2. Похідна і частинні похідні а. Похідна функції однієї змінної
- •Б. Частинні похідні функції декількох змінних
- •2.1.3. Похідні основних елементарних функцій
- •2.1.4. Диференційовність і неперервність
- •2.1.5. Похідні суми, різниці, добутку, частки
- •1. (Похідна суми і різниці).
- •2. (Похідна добутку).
- •3. (Похідна частки).
- •2.2. Техніка диференціювання
- •2.2.1. Похідна складеної функції
- •2.2.2. Диференціювання неявної, оберненої та параметрично заданої функцій а. Випадок неявної функції
- •Б. Випадок оберненої функції
- •В. Випадок функції, заданої параметрично
- •2.2.3. Похідні вищих порядків
- •2.2.4. Диференціал
- •2.2.5. Похідна за напрямом. Ґрадієнт
- •2.2.6. Похідні в економіці. Еластичність а. Темп зміни функції
- •Б. Граничні величини
- •В. Еластичність функції
- •Властивості еластичності
- •2.3. Основні теореми диференціального числення функцій однієї змінної
- •2.3.1. Теореми Ферма і Ролля
- •2.3.2. Теореми Лагранжа і Коші
- •2.3.3. Правило Лопіталя для розкриття невизначеностей
- •А. Невизначеності типів
- •Б. Деякі інші типи невизначеностей
- •2.3.4. Формули Тейлора і Маклорена а. Формули Тейлора і Маклорена для многочлена
- •Б. Розвинення бінома (формула бінома Ньютона)
- •В. Формули Тейлора і Маклорена для довільної функції однієї змінної
- •Г. Формула Тейлора для функції декількох змінних
- •1. Вступ до математичного аналізу 5
- •1.1. Границя функції 5
- •1.2. Неперервність функцій 43
- •2. Диференціальне числення 60
- •2.2. Техніка диференціювання 71
- •2.3. Основні теореми диференціального числення функцій однієї змінної 97
1.2.2. Властивості функції, неперервної на відрізку або в замкненій обмеженій області
Теорема 4. Якщо функція однієї змінної неперервна на відрізку [a, b], то (див. рис. 5):
1) вона набуває найбільшого M і найменшого m значень на [a, b]: існують такі точки , що
, Рис. 5 (теорема Вейерштрасса1);
2) вона набуває всіх значень, які знаходяться між m і M (теорема Больцано2-Коші3 про проміжне значення); Рис. 6 3) якщо вона має значення різних знаків в двох точках відрізка, то вона хоча б один раз між цими точками набуває нульового значення.
Зауваження. Заключення теореми можуть не справджуватись, якщо функ-ція має принаймні одну точку розриву. Наприклад, функція, графік якої зобра-жено на рис. 6а, має розрив в точках a і b і не має ні найменшого, ні найбільшо-го значень. Функція з графіком, зображеним на рис. 6b, має точку розриву , набуває найбільшого M і найменшого m значень, але не набуває жодного про-міжного значення між c і d.
Відзначимо, нарешті, що функція, яка має графік, показаний на рис. 6c, має дві точки розриву a і і тим не менш перші два заключення теореми для неї справджуються. Це означає, що умови теореми є достатніми для заключень 1), 2), 3), але вони не є необхідними.
Аналогічні теореми є справедливими для функцій декількох змінних.
Означення 7. Об"єднання області та її границі називається замкненою областю,
.
Означення 8. Область на площині (або в просторі будь-якого виміру) називається обмеженою, якщо вона міститься всередині якогось кола (відповід-но якоїсь сфери) з центром в початку координат.
Теорема 5. Якщо функція декількох змінних неперервна в замкненій обмеженій області , то:
1) вона набуває в своїх найбільшого M і найменшого m значень;
2) вона набуває всіх значень, заключених між m і M;
3) якщо вона має різні знаки в двох точках області, то вона в ній принай-мні один раз набуває нульове значення.
1.2.3. Метод інтервалів та його узагальнення
Третя частина теореми 4 часто застосовується в так званому методі інтер-валів для розв"язання нерівностей або визначення знаків функцій.
Н ехай функція однієї змінної має, наприклад, три нулі b, c, e і дві точки розриву a, d на множині всіх дійс-них чисел (рис. 7). Точки a, b, c, d, e породжують шість інтервалів Рис. 7 ,
на кожному з яких функція має один і той же сталий знак.
Дійсно, якби в двох точках якогось інтервалу функція мала різні знаки, то вона повинна була б хоча б один раз перетворитися в нуль між цими точками. Але це неможливо, бо всі нулю функції вже враховано.
Для знаходження знака функції на названих інтервалах треба знайти її знак в якійсь одній точці кожного інтервалу. На рис. 7 літерами
позначено точки, довільно вибрані на інтервалах, і показано можливий розподіл знаків функції.
Приклад. Розв"язати нерівність
для випадку .
Розглянемо функцію
.
Вона неперервна на і має два нулі , що породжують три інтервали
.
Для точок і першого і третього інтервалів маємо
,
а для точки середнього інтервалу маємо
.
Отже, нерівність виконується для
,
або, що те ж саме, якщо
.
Доведіть самостійно, що для випадку розв"язком нерівності буде
.
В загальному випадку розв"язок нерівності можна записати у вигляді
Приклад. Задано функцію
Знайти інтервали, на яких вона має сталий знак, є невід"ємною або недодатною, а також ліву і праву границі функції в точках її розриву.
Областю визначення функції є об"єднання трьох інтервалів
;
точки є точками розриву другого роду функції, тому що при пряму-ванні x до 0 або до 5 знаменник прямує до нуля, а чисельник набуває відмінні від нуля значення - відповідно . Функція має два нулі, а саме , бо .
Нулі і точки розриву функції утворюють п"ять інтервалів
.
Оскільки, наприклад,
то на інтервалах
функція є додатною, на інтервалах
невід"ємною; на інтервалах
вона є від"ємною, а на інтервалах
недодатною.
Далі, враховуючи знаки функції в околах точок , отримуємо
.
Аналогічний метод можна застосовувати для випадку функцій двох змінних.
Приклад. Знайти область визначення функції двох змінних x, y
.
Розглянемо функцію (підкореневий вираз даної функції Z)
.
Областю визначення функції Z є множина точок площини xOy, для яких виконується нерівність
.
Функція дорівнює нулю на колі і не існує на колі . Ці кола поділяють площи-ну xОy на три частини 1, 2, 3 (див. рис. 8), в кожній з яких Рис. 8 функція має сталий знак (на підставі заключення 3 теореми 5). Для визначення цього знака ми знаходимо знаки функції в довіль-ній точці кожної частини, наприклад,
.
Отже, функція є додатною в частинах 1 і 3.
Відповідь. Областю визначення функції Z є заштриховане об"єднання круга (без його границі ) і зовнішності кола , включно з цим колом.
Приклад. Дослідити функцію
і побудувати наближений ескіз її графіка.
Будемо проводити дослідження в такому порядку.
1) Область визначення функції є . Графік функції не перетинає прямої , яка перпендикулярна до осі Ox.
2) Знаходимо інтервали, де функція має сталі знаки (скорочено: знаходи-мо інтервали знакосталості функції). Точки x = 0 (нуль функції) і x = 8 (точка розриву другого роду) утворюють три інтервали . На інтер-валі функція додатна, так що її графік лежить вище осі Ox. На інтервалах функція від"ємна, і її графік лежить нижче осі Ox.
3) Знаючи знаки функції, ми знаходимо її ліву і праву границі в точці розриву x = 8, а саме:
Отже, графік функції необмежено здіймається вго-ру, якщо і необмежено спускається вниз при .
4) Границя функції при
. Рис. 9 Це означає, що графік функції необмежено спускається вниз, якщо .
5) Знаходимо точки перетину графіка функції з осями Ox, Oy.
Oy: x = 0 y = 0 O(0;0);
Ox: y = 0 x = 0 O(0;0).
Беручи до уваги всі отримані результати, будуємо ескіз графіка (рис. 9).
Приклад. Самостійно проведіть дослідження і побудуйте ескіз графіка функції
.
.
Рис. 10
Вказівки.
1) .
2) на , на .
3) .
4) .
5) .
Ескіз графіка показано на рис. 10.