Б. Однобічні границі функції однієї змінної в точці

Нехай та . Кажуть, що x прямує до a зліва, і позначають цей факт наступним чином: . Відповідна границя функції , як-що вона існує, називається лівою границею функції в точці a і позначається

(рис. 7).

Означення 15. Число називається лівою гра-ницею функції в точці a (тобто якщо x прямує до a зліва), якщо (символічно)

.

Рис. 7 Аналогічно кажуть про прямування x до a справа ( і , ) та праву границю функції в точці a,

(рис. 7).

Означення 16. Число називається правою границею функції в точці a (тобто якщо x прямує до a справа), якщо

.

П риклад. Функція

(див. рис. 8) має в точці x = 3 ліву границю, рівну 2, та праву границю, яка дорівнює 0,

Рис. 8

.

З"ясуйте самостійно геометричний сенс правої й лівої (або, як часто-густо кажуть, однобічних) границь.

Теорема 2. Границя функції (однієї змінної) в точці a існує тоді і тільки тоді, якщо вона має в цій точці ліву й праву границі, причому обидві ці одно-бічні границі є рівними,

Справедливість теореми виплаває з означень 14 (для n = 1), 15, 16.

В. Границя числової послідовності

Приклад. Нехай задано числову послідовність

.

Її поведінку подано таблицею 3

Table 3

n	10
	0.7500000	0.6744966	0.6674449	0.6666674	0.6666667
	0.0833333	0.0078300	0.0007783	0.0000008	0.0000000

З таблиці ми бачимо, що загальний член послідовності прямує до 2/3 = 0.(6). Ми позначаємо цей факт таким чином

і кажемо, що послідовність прямує (частіше - збігається) до 2/3.

Задля точного означення висловленого факту визначмо, для яких значень n виконується нерівність

,

якщо, як і вище, є як завгодно малим додатним числом. Маємо

Позначмо далі

натуральне число, яке є цілою частиною числа

.

Ми отримуємо, що для як завгодно малого додатного числа нерівність

виконується для всіх натуральних чисел n більших, ніж знайдене число N. Сим-волічно

.

Узагальнюючи міркування прикладу, ми можемо сформулювати означен-ня границі довільної числової послідовності.

Означення 17. Число b називається границею числової послідовності

{ : },

якщо для довільного як завгодно малого додатного Рис. 9 числа існує натуральне число N таке, що для всіх натуральних чисел n, більших, ніж N, виконується нерівність

.

В такому випадку пишуть

і кажуть, що числова послідовність прямує до b (або збігається до b, є збіжною до b). Символічна форма означення 17 є такою:

,

якщо

.

Геометричний сенс означення границі полягає в наступному: всі члени послідовності з номерами n > N лежать всередині -окола точки b, а всі відповідні точки, які зображають члени послідовності, знаходяться всередині заштрихованої 2 -смуги між прямими (рис. 9).